专题05 特殊三角形（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·浙江金华·九年级统考期中）如图，在ΔABC中，AB=6,AC=4,BC=3，将ΔABC绕点A顺时针旋转60°得到ΔAED，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校联考二模）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补D．三角形的一个外角大于任何一个内角
3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为24，AC＝8，则DC为（ ）
A．6B．8C．9D．10
4．（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD=32，则EF的长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．（2023上·河南洛阳·九年级洛阳市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，若CD=2，∠BOC=120°，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．2D．5
7．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ABC的度数为（ ）
A．22度B．23度C．24度D．25度
8．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3，则BD的长是（ ）
A．2B．23C．3D．33
9．（2022·江苏宿迁·校考三模）如图①，在△ABC中，点P从点B出发，沿B→C方向以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，线段AP的长y(cm)随时间x(s)变化的关系图象，当△ABP与△APC面积相等时，AP的长为（ ）
A．3B．2C．23D．4
10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，延长AC至F，使CF=12AC，若AB=10，则EF的长是（ ）
A．8B．6C．5D．4
11．（2023·河南安阳·统考一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①AB=OB；②∠BCD=60°；③∠BAD=120°；④CD=2OD．其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠B=90°,AB=5,BC=12，点D是边AC上的动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，则EF的最小值是（ ）

A．12013B．6013C．3013D．132
13．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
14．（2022·山东潍坊·统考二模）如图，在△ABC中，BC=6，∠ACB=60°，以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，BC于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点D；作射线CD．若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，则BN+MN的最小值为（ ）
A．3B．32C．4D．33
15．（2022·河南商丘·统考二模）如图1，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB−BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（ ）
A．5B．8C．52D．213
二、填空题
16．（2023·贵州贵阳·统考二模）在数轴上画出表示无理数的点的方法：如图，点O为数轴上的原点，作射线OM垂直于数轴，以点A(点A对应有理数3)为圆心，4个单位长度为半径画弧交射线OM于点B，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数是 ．
17．（2023上·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是 ．
18．（2023·广西河池·校考一模）如图，a∥b，交直线l于A、B两点，过点A作AC⊥l交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2= 度．
19．（2023·湖北黄冈·三模）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiā）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
20．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，BC=3，AC=4，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则线段EF的长为 ．
21．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，且AD=AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE= ．
22．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连结AE、AF、EF，且∠AEB＝∠AEF，若AB＝3BE，AE=10，则AF＝ ．
23．（2023下·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中， AB=6,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F为边DC的中点， ∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE，若DM=2，则DE的长为 ．
24．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB=4，BC=43，则PE+PB的最小值为 ．
25．（2023·四川自贡·统考一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB=23，BC=6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．
三、解答题
26．（2023下·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．
（1）求AC的长；
（2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．
27．（2022上·陕西西安·八年级统考期中）如图，△ABC为等边三角形，点E、D分别为AB、AC上一点，且BE=AD，CE、BD相交于点O，求∠EOB的度数．
28．（2022下·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．
(1)求证：∠BCA=∠EAC；
(2)若CE=3，AC=4，求△COE的周长．
29．（2022·广西河池·统考一模）如图，在▱ABCD中，AB>AD．
(1)尺规作图：在AB上截取AE，使得AE=AD（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）；
(2)在（1）所作的图形中，连接DE，证明：∠ADE=∠CDE．
30．（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
(1)EF＝_______；
(2)点P在MN上运动，则PA+PC的最小值为_______．
31．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．

(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AB=4，AE=2，求菱形BEDF的边长．
32．（2023·重庆·统考中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
33．（2023·福建泉州·重庆实验外国语学校校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E为AD的中点．
（1）在CD边上求作一点F，使得∠CFB=2∠ABE；
（2）在（1）中，若AB=9，BC=6，求BF的长．
34．（2022·山东枣庄·统考一模）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（22OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
(2)将△MON绕点O顺时针旋转．如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
35．（2022下·四川自贡·八年级校考期中）在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，
(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．
①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；
②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．
【能力提升】
36．（2024上·广西钦州·九年级统考期末）综合与探究．
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC上一点（0（1）连接DE，试判断△ADE的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，连接AF，使得∠DAF=45°，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
（3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，DF，DB三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．
37．（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在△ACB和△ECD中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M．

(1)求证：△ADC≌△BEC；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数；
(3)如图2，当α=60°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，判断△CPQ的形状，并加以证明．
38．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）点P是直角△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F．Q为斜边AB的中点．
(1)当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是______，QE与QF的数量关系______．
(2)当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．
(3)当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并予证明．
39．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，以线段OA为边，在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>3)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形BCD，连接DA并延长，交y轴于点E．
(1)求证：OC=AD；
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出∠CAD的度数；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时点D的横坐标.
40．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）【模型呈现】
如图1，AD为△ABC的中线，BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD=DE．
【应用1】
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且∠EAF=∠EFA．若EF=4，EC=3，求线段BF的长．
【应用2】
如图3，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．