专题04 全等三角形（知识串讲+10 大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）

③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）如图，AB=CD，BF=CE，AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的证明．由BF=CE可得BE=CF，从而通过“SSS”即可证明△ABE≌△DCF．
【详解】∵BF=CE，
∴BF−EF=CE−EF，即BE=CF．
在△ABE和△DCF中，
AB=DCAE=DFBE=CF，
∴ △ABE≌△DCFSSS．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图，点E，F在CD上，AC∥BD，AC=BD，CF=DE，求证：△AEC≌△BFD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明∠C=∠D，CE=DF，再运用SAS即可证明△AEC≌△BFD．
【详解】证明：∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，
∵CF=DE，
∴CF+EF=DE+EF，即CE=DF，
在△AEC与△BFD中，
AC=BD∠C=∠DCE=DF，
∴△AEC≌△BFDSAS．
【变式2】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图所示，点E在AB上，点D在AC上，∠B=∠C，AD=AE．求证：△ABD≌△ACE．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用AAS证明△ABD≌△ACE即可．
【详解】证明：在△ABD和△ACE中，
∠A=∠A∠B=∠CAD=AE，
∴△ABD≌△ACEAAS．
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED．请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：∵∠1=∠2（ ），
∴∠1+______=∠2+______，
∴∠AEC=______，
在△AEC和△BED中，∠A=∠BAE=______∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED（ ）．
【答案】已知，∠AED，∠AED，∠BED，ASA
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证∠AEC=∠BED，再由ASA证△AEC≌△BED即可．
【详解】解：∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
∴∠AEC=∠BED，
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
故答案为：已知，∠AED，∠AED，∠BED，ASA．
【变式4】（2023上·天津静海·八年级校考期中）如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O，求证：△ABC≌△DEF
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，△ABC和△DEF是两个直角三角形，根据HL证明即可．
【详解】证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，
即AB=DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
AB=EDAC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL．
【变式5】（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）将△ABC和△DEF如图放置．已知AB=DE，∠D+∠CHF=180°，AB∥EF，
求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质．由等角的补角相等求得∠D=∠CHE，利用三角形内角和定理求得∠F=∠ACB，由平行线的性质求得∠ABC=∠DEF，再利用AAS即可证明△ABC≌△DEF．
【详解】证明：∵∠D+∠CHF=180°，∠CHE+∠CHF=180°，
∴∠D=∠CHE，
∵∠D+∠F+∠DEF=180°=∠CHE+∠ACB+∠DEF，
∴∠F=∠ACB，
∵AB∥EF，
∴∠ABC=∠DEF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEFAAS．
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边在AB右侧作正方形AEFH，连接AF，交CD于点N，连接EN．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
(1)求证：BE=CG；
(2)求证：BE+DN=EN．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据正方形的性质先证明△BAE≅△GEFAAS，得出AB=EG=BC即可得证；
（2）延长EB到M，使得BM=DN，连接AM，先证明△ADN≅△ABM(SAS)，再证明△AEM≅△AENSAS即可求解．
【详解】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFH是正方形，且FG⊥BG，
∴∠AEF=∠ABE=∠EGF=90°，AE=EF，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
在△BAE和△GEF中，
∠B=∠G∠BAE=∠GEFAE=EF，
∴△BAE≅△GEFAAS，
∴AB=EG=BC，
∴BC−EC=EG−EC，
即BE=CG；
（2）延长EB到M，使得BM=DN，连接AM，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，EA=EF，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABM=90°.
在△ADN和△ABM中
AD=AB∠D=∠ABMDN=BM
∴△ADN≅△ABM(SAS)，
∴AM=AN，∠DAN=∠BAM，
∵EA=EF，∠AEF=90°，
∴∠EAF=45°，
∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠DAN+∠BAE=45°.
∴∠EAM=∠EAN=45°，
又∵AE=AE，
∴△AEM≅△AENSAS，
∴ME=EN，
∴EB+DN=EB+BM=EM=EN．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F．
(1)求证：△ABE≌△ACD
(2)直接写出图中所有全等三角形（△ABE≌△ACD除外）．
【答案】(1)见解析
(2)Rt△ABD≌Rt△ACD，△ABE≌△ABD，△AEF≌△ADF，△BEF≌△BDF
【分析】（1）本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定等知识点，由等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，由角平分线定义得到∠BAD=∠BAE，因此∠BAE=∠CAD，然后根据SAS即可证明结论；
（2）本题主要考查了全等三角形的判定，由全等三角形的判定定理进行判断即可解答；灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACDSAS．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACDHL，
∵AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB，
∴△ABE≌△ABDSAS，
∴BE=BD，
∵AE=AD，∠FAE=∠FAD，AF=AF，
∴△AEF≌△ADFSAS，
∴EF=DF，
∵FB=BF，BE=BD，
∴△BEF≌△BDFSSS，
∴图中所有全等三角形有：Rt△ABD≌Rt△ACD，△ABE≌△ABD，△AEF≌△ADF，△BEF≌△BDF．
【变式2】（2021下·福建福州·七年级校联考期中）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是边BC上一点，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．

(1)如图1，当点F在CD边上时，求BE的长．
(2)如图2，若EF⊥DF，求BE的长．
【答案】(1)2
(2)23
【分析】（1）如图1中，证明△ABE≌△ECFAAS，即可解决问题．
（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．证明△EFM≌△DNCASA，设NC=FM=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=8，
∵EF⊥AE，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°=∠FEC+∠EFC，
∴∠AEB=∠EFC，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE，
∴△ABE≌△ECFAAS，
∴CE=AB，
∵AB=6，
∴CE=6，
∴BE=BC−CE=2．
（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BN于点M，

同理可证△ABE≌△EMF，
∴AB=EM=6，BE=FM，
设BE=x，则FM=BE=x，EC=8−x，
∵EF⊥DF，
∴∠NFE=∠DCB=90°，
∴∠CDF+∠CND=90°=∠FEC+∠CND，
∴∠FEC=∠CDF，
在矩形ABCD中，AB=DC，
∴CD=AB=EM， 而∠EMF=∠DCN=90°，
∴△EFM≌△DNCASA，
∴NC=FM=x，EN=EC+CN=EC+BE=8，NM=EN−EM=2，
即在Rt△FMN中，FN2=FM2+NM2=x2+22，
在Rt△EFM中，EF2=FM2+EM2=x2+62，
在Rt△EFN中，FN2+EF2=EN2，
即x2+4+x2+36=64，解得x=23（负根舍去），
即BE=23．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式3】（2023下·湖北随州·八年级统考期末）已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点．

(1)如图1，连接AE，CE，求证：△ADE≌△CDE；
(2)如图2，F是AE延长线上一点，CF⊥CE，EF交CD于点G，判断△CFG的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若AB=3，CG=2DG，连接DF，直接写出DF的长为___________．
【答案】(1)见解析
(2)△CFG为等腰三角形，见解析
(3)13
【分析】（1）可得AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，即可求证；
（2）可证∠FCG=∠AGD，由∠AGD=∠CGF，即可求证；
（3）过F作FH⊥CD于点H，可证HG=DG，从而可证△FHG≌△ADG，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴ AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中
AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴ △ADE≌△CDE（SAS）．
（2）解：△CFG为等腰三角形，
理由如下：
∵ CF⊥CE，
∴ ∠FCG+∠ECG=90°，
由（1）知∠DAG=∠ECD，
∵ ∠DAG+∠AGD=90°，
∴ ∠FCG=∠AGD，
∵ ∠AGD=∠CGF，
∴ ∠FCG=∠CGF，
∴ FG=CF，
∴ △CFG为等腰三角形．
（3）解：如图，过F作FH⊥CD于点H，

∴∠FHG=∠ADG=90°，
由（2）知CH=HG，
∴CG=2HG，
∵ CG=2DG，
∴ HG=DG，
在△FHG和△ADG中
∠FHG=∠ADGHG=DG∠HGF=∠AGD，
∴ △FHG≌△ADG（ASA），
∴ FH=AD，
∵ AB=3
∴ FH=3，HD=2，
∴ DF=HD2+FH2
=22+32=13．
故答案：13．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：（2022上·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2= 度．
【答案】135
【分析】作辅助线，使△ADB为等腰直角三角形，根据全等三角形△DFB≌△BEC，可得到∠DBF=∠2，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，∠DAB=∠DBA=45°，
由图可知，在△DFB和△BEC中，
DF=BE∠DFB=∠BEC=90°FB=EC，
∴△DFB≌△BECSAS，
∴∠DBF=∠2，
∵∠DBA=45°，
∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=180°−45°=135°，
故答案为：135．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
【变式1】（2022上·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3= 度．
【答案】90
【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1=45°,根据网格的特点可知∠3=45°，即可求解．
【详解】解：如图，
在△ABC与△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠1=∠4，
∵FD∥CG，
∴∠2=∠FDC，
同理可得△DCG≌△CEB，
∴EC=ED，∠2=∠BEC，
∵∠BEC+∠ECB=90°，
∴∠2+∠EBC=90°，
∴∠ECD=90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
即∠4+∠FDC=∠1+∠2=45°，
根据网格的特点可知∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2=45°是解题的关键．
【变式2】（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 .
【答案】45°/45度
【分析】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，则∠1=∠3，根据外角的性质卡得∠4=∠2+∠3，即可求解．
【详解】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，
∴∠1=∠3，
∵∠4=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=∠4=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出∠1=∠3是解题的关键．
【变式3】（2022·山东济南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β= 度．
【答案】45
【分析】连接AB，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AB

∵图中是4×4的正方形网格
∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE
∴△ADB≌△CEA(SAS)
∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC
∵∠ABD+∠BAD=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∵BD∥CE
∴∠BCE=∠DBC=β
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β
∴α+β=45°
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（2023上·河南漯河·八年级统考期中）如图，已知△ABC，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作△DEF，使△DEF≌△ABC，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”）
(2)分别求作∠ABC和∠ACB的平分线，两平分线交于点O；
(3)在（2）的条件下，若∠A=70°，则∠BOC的度数为________．（直接写出结果）
【答案】(1)图形见解析，SSS
(2)图形见解析
(3)125°
【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）根据三条对应边相等可得到两个三角形全等， 据此可画出全等三角形；
（2）根据角平分线的性质可作出图形；
（3）根据角平线的性质以及三角形内角和可求出角度；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：图形如下：
，
首先根据BC的长度确定EF，
然后以点E为圆心，AB的长为半径，画圆，以点F为圆心，AC的长为半径画圆，两个圆的交点为一点D，此时三角形的三条对应边分别相等，两个三角形全等，
∴故答案为：SSS；
（2）解：如图所示：

，
以点B为圆心，以定长为半径画圆，交AB,BC分别于点M、N，
再分别以点M、N为圆心，以大于12MN长为半径画圆，交点为一点Q，连接BQ并延长，
用同样的方法可求出点P，连接CP并延长，此时BQ的延长线与CP的延长线交于一点O，即为所求；
（3）解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°，
由（2）可得BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12×110°=55°，
∴∠BOC=180°−55°=125°，
故答案为：125°．
【变式1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=12BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57，求EFCF的值．
【答案】(1)见解析
(2)EFCF=710
【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；
（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知CD=12BC，进一步证明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57，设CF=5a，BC=7a，得到DF=12BC=72a，EF=72a，得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．
理由是：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝12BC，
∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且BE=12BC；
（2）解：如图2，连接DF．
在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴CD=12BC，
由（1）可知BE=12BC，AE=AD，
∴BE=BD，
又∵AB=AB，
∴△ABE≌△ABD（SSS），
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
∵CF⊥AB，
∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=sin∠CBF=CFCB=57，
设CF=5a，BC=7a，
∵CD=12BC，
∴DF=12BC=72a，
∴EF=72a，
∴EFCF=710．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键
【变式2】（2021·湖北武汉·九年级专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，△ABC≅△A′B′C′，AD是△ABC的中线．
（1）求作ΔA′B′C′的中线A′D′（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD=A′D′
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）做线段B′C′的垂直平分线，找到B′C′的中点，连接A′ 与中点即可．
（2）由已知全等三角形得到相关条件，从而证明△ACD≅△A′C′D′，就可得出对应线段相等．
【详解】解：（1）如图：A′D′即为所求．
（2）∵△ABC≅△A′B′C′，
∴AC=A′C′,∠C=∠C′,BC=B′C′，
∵AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的中线，
∴CD=12BC,C′D′=12B′C′，
∴CD=C′D′，
∴△ACD≅△A′C′D′，
∴AD=A′D′．
【点睛】本题主要考查线段中垂线的画法、三角形全等的证明等相关知识点，能够根据条件灵活选用定理是解题的关键．
【变式3】（2020上·上海奉贤·八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点A'不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见详解；（2）234
【分析】（1）作BD的中垂线MN，作点A关于MN的对称点A′，连接A′D、A′B，则△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图2，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．
【详解】解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD＝12×20×15+12×24×7＝234，
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=2
【点睛】】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作图-复杂作图，正确的画出图形是解题的关键．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：（2020上·江西南昌·八年级期末）如图，以O为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt△OAB和Rt△OCD，且点C在线段AB上（A、B除外），求证：AC2+BC2=CD2

【答案】证明见解析
【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明．
【详解】解：连接BD，
∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
AO=BO∠AOC=∠BODCO=DO，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD，
∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，
∴在Rt△CBD中，BD2+BC2=CD2
即AC2+BC2=CD2．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形．
【变式1】（2024上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考期中）如图，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD．求证：△ABO≌△DCO．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质；连接BC，由SSS可判定△ABC≌△DCB，由全等三角形的性质得∠A=∠D，再由AAS即可得证；掌握判定方法及性质，作出恰当辅助线，构建△ABC≌△DCB是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接BC，
在△ABC和△DCB中
AB=DCAC=DBBC=CB，
∴ △ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠A=∠D，
在△ABO和△DCO中
∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC，
∴ △ABO≌△DCO(AAS)．
【变式2】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，AC与BD交于点O，AC=DB．求证：OA=OD．

【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先根据HL判定△ABC≌△DCB，再根据AAS判定△AOB≌△DOC，即可证明，准确找到边长之间的关系和角度之间的关系是解题的关键．
【详解】证明：连接BC，如图所示：
，
∵AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∠A=∠D=90°AC=DBBC=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCBHL，
∴AB=DC，
在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D=90°∠AOB=∠DOCAB=DC，
∴△AOB≌△DOCAAS，
∴OA=OD．
【变式3】（2020·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明见解析．
【分析】连接OC，先根据题意得出∠ABO=90°，然后再证明△AOB≌△AOC即可
【详解】如图：连接OC.
∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°.
∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠AOC.
∵OC=OD，∴∠CDO=∠DCO,
∴∠AOB=∠AOC.
又OA=OA，OB=OC,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠ACO=∠ABO=90°
故AC是⊙O的切线.
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，要证某线是
圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（2023上·全国·八年级期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到ΔADC≌ΔEDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6