专题05 尺规作图（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、解答题
1．（2023·江苏无锡·校联考二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：AEAB=5−12．（这个比值5−12叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
3．（2023·福建福州·福建省福州华侨中学校考模拟预测）如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠CAB=∠EAD=90°，AC=AB，AD=AE，H为BC的中点，连接BD．

(1)尺规作图：求作点F，使得BD=BF，BD⊥BF，点F在BD下方；
(2)在（1）的条件下，求证：E，H，F三点共线．
4．（2023下·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图1，E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上．
（1）若BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）请在图2中用圆规和无刻度的直尺画出四边形AECF，使得四边形AECF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
5．（2022下·福建龙岩·八年级校联考期中）如图△ABC中，∠ACB=900，AC=5−1，BC=5+1
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
在线段AB上取一点O，使AO=BO，并连结CO
(2)求线段CO的长度
6．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在BC上，请利用尺规作图法，求作∠BEF，使得∠BEF=∠BAD，EF与AB边交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

7．（2023下·江苏常州·七年级统考期中）如图，已知△ABC．
(1)在图中先画△ABC的中线AD，再画△ACD的中线CE（不需要写画法）；
(2)在（1）的条件下，若△CDE的面积是3，则△ABC的面积是__________．
8．（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．
9．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为6．

(1)如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点．
①尺规作图：作∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）：
②求BD的长度．
(2)如图，AB是⊙O的非直径弦，点C在AB上运动，∠ACD=∠BCD=60°，点C在运动的过程中，四边形ADBC的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
10．（2023·福建福州·统考二模）如图，已知∠MON，A，B分别是射线OM，ON上的点．
（1）尺规作图：在∠MON的内部确定一点C，使得BC//OA且BC=12OA；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中，连接OC，用无刻度直尺在线段OC上确定一点D，使得OD=2CD，并证明OD=2CD．
11．（2023·山东淄博·统考二模）（1）已知如图1：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上（保留作图痕迹）．
（2）如图2，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC＝∠ADF，AE＝BC．求证：△ACD是等腰三角形．
12．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，AD=AC，点E在线段AC上，连接BE，BE的延长线交AD于点F．
(1)用尺规完成以下基本作图：在∠BAC内部作∠CAG，使得∠CAG=∠ABE，AG交BE边于点M，交BC于点N，交DC的延长线于点G．(保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，求证：AF=CG．完成下列填空．
证明：∵四边形ABCD是菱形；
∴AB=AD=CB=CD，AB∥DC，∠BAC=∠DAC；
∵AD=AC；
∴△ABC与 均为等边三角形；
∴AB= ，∠D=∠ACD=60°；
∴∠BAF= =120°；
在△AFB与△CGA中，
∠BAF=∠ACGAB=CA∠ABF=∠CAG
∴△AFB≌△CGA(ASA)；
∴______________________ ．
13．（2023·广东汕头·统考一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
14．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在△ABC中，∠B=25°,∠BAC=115°．
（1）尺规作图：作边AB的中垂线交边BC于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O．
（2）判断：在（1）所作图形中，直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由．
15．（2022·黑龙江绥化·统考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆⊙O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；
(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．
16．（2022上·贵州贵阳·九年级统考阶段练习）数学课上，老师提出一个问题：已知：Rt△ABC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小红的作法如下：作线段AC的垂直平分线交AC于点O，过O点作射线BM，在射线OM上截取OD=OB，连接DA，DC.则四边形ABCD即为所求．
(1)请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）保留作图痕迹；
(2)求证：四边形ABCD是矩形．
17．（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径．
(1)在AC上求作点D，使得∠ABD=∠CAD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB＝10，BC＝6，求BD的长．
18．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
(1)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AC=4，BD=2，求cs∠BCE的值．
19．（2023·浙江温州·校联考一模）（1）如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）
（2）如图，直线l表示一条公路，点A，点B表示两个村庄．现要在公路上造一个车站，并使车站到两个村庄A，B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由．（要求尺规作图，不写作法）
20．（2022·广东韶关·统考一模）如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；
（2）求△ABE的周长．
【能力提升】
21．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为AB与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形ABCD是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线AC的对称点M′；
(3)在图2中找格点C，使四边形BCNM为矩形；
(4)在图2中画MN的垂直平分线．
22．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）网格中每个小正方形的顶点称为格点，图中A，B，C，D，E均为格点，仅用无刻度直尺依次完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．

(1)在图1中，先在CD上画点M，使BE⊥EM，再在BC上画点N，使得使△DEM∽△CMN；
(2)在图2中，先在AD上画点F，使BF平分∠ABE，再在BE上画点H，使得HB=HF．
23．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）如图是由小正方形组成的9×9网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A,B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)如图1，在BC上找一点E使∠BAE=45°，再在AB上找一点F，使EF⊥AB；
(2)如图2，D为BC上一点，作C关于AB的对称点，过D作DP⊥AB于点P．
24．（2023·河北唐山·统考二模）（1）已知，在ΔABC中，AB=AC，求作ΔABC的内心O，以下甲乙两同学的做法：
甲：如图1
①作AB垂直平分线DE
②作BC的垂直平分线FG
③FG,DE交于点O
则点O即为所求
乙：如图2
①作∠ABC的角平分线BD
②作BC的垂直平分线EF
③BD,EF交于点O
则点O即为所求
甲同学的做法__________；乙同学的做法__________（填写正确或不正确）
（2）如图3ΔABC中， ∠ACB>∠ABC，
①用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不写作法，保留痕迹）
②若①中的射线CM交AB于点D,AB=9,AC=6，求AD的长
25．（2023·陕西汉中·一模）如图，已知矩形ABCD中．
(1)请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)在（1）的条件下若AD=10，AB=6，求出tan∠BEC的值．