专题03 分式（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（22-23下·成都·期末）2022年6月5日神舟十四号发射成功，神舟十四号飞行任务之一是建造国家太空实验室，该实验室将建立世界上第一套由氢钟、铷钟、光钟组成的空间冷原子钟组，其授时精度可达到0.0000000000000023秒，将0.0000000000000023用科学记数法表示为（ ）
A．2.3×10−15B．2.3×10−14C．23×10−14D．0.23×10−16
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：0.0000000000000023＝2.3×10−15．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（22·23下·乐山·期末）若分式2x−1有意义，则（ ）
A．x≠0B．x≠−1C．x≠1D．x≠2
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式2x−1有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
3．（22-23上·邢台·阶段练习）计算19+（﹣20）0的结果是（ ）
A．39B．20C．19D．1
【答案】B
【分析】根据有理数的加法运算法则和零指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：19+（﹣20）0＝19+1＝20．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的加法运算和0指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则和零指数幂的运算法则．
4．（22-23上·永州·期末）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．13B．xπC．2x（x≠0）D．x+23
【答案】C
【分析】形如AB，B中含有字母且B≠0的代数式是分式，根据分式的定义判断即可．
【详解】解：上列代数式中，属于分式的是：2x（x≠0），其他三项分母中不含字母
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
5．（22·23上·菏泽·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．a2是分式
C．数据3，3，3，2，1，1，1没有众数D．第七次全国人口普查是全面调查
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解: A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、a2是单项式，单项式是整式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、数据3，3，3，2，1，1，1众数为3、1，故原命题是假命题，不符合题意；
D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法，难度不大．
6．（22-23下·南阳·期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A．9x2B．2x6x2yC．xx2−xyD．x−1x2−2x+1
【答案】A
【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，即可得出答案.
【详解】解：A：分子和分母没有公因式不能再约分，因此此选项符合题意；
B：分子和分母都含有2x这个因式，可以再约分，2x6x2y=13xy，因此此选项不符合题意；
C：分子和分母都含有x这个因式，可以再约分，xx2−xy=1x−y，因此此选项不符合题意；
D：分子与分母都含有这个因式，可以再约分，x−1x2−2x+1=x−1x−12=1x−1，因此此选项不符合题意；
故选A.
【点睛】此题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题.
7．（22·23上·保定·期末）课堂上老师布置了四个运算题目，小明的解答如图所示，他做对的题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法的运算法则、同底数幂的乘法法则、零指数幂、负整数指数幂分别判断得出答案．
【详解】解：①a9÷a3=a6，原计算错误；②3a2⋅2a3=6a5，原计算正确；③2−2=14，原计算错误；④(π−3.14)0=1，原计算正确．
所以小明做正确的有2题，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、负整数指数幂、零指数幂，正确掌握同底数幂的除法、同底数幂的乘法、负整数指数幂、零指数幂的运算法则是解题关键．
8．（22-23上·德州·阶段练习）如果分式|x|−1x2+x−2的值为0，那么x的值是（ ）
A．±1B．1C．﹣2D．﹣1
【答案】D
【分析】由题意根据分式的值为零的条件即分子为零且分母不为零进行分析求解即可．
【详解】解：依题意得|x|-1=0且x2+x-2=（x+2）（x-1）≠0，
则|x|=1且x≠-2且x≠1．
解得：x=-1．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．
9．（22-23下·新乡·期中）把分式2x2x+y中的x，y都扩大两倍，那么分式的值（ ）
A．扩大两倍B．不变C．不能确定D．缩小两倍
【答案】A
【分析】分别用2x和2y代换原分式的x和y即可解出此题．
【详解】解：分别用2x和2y代换原分式钟的x和y，
得2×2x22x+2y=8x22(x+y）=2×2x2x+y，
所以化简后的结果是原式的两倍；
故选：A．
【点睛】本题考查了对分式性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．
10．（22·23上·牡丹江·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．−a+ba−b=−1B．ba=bcacC．0.1a−+b=a−3b2a+bD．−a−b−a+b=a−ba+b
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A．−a+ba−b=−a−ba−b=−1，故此选项符合题意；
B．ba=bcacc≠0，故此选项不符合题意；
C．0.1a−+b=0.1a−0.3b×100.2b+b×10=a−3b2a+10b≠a−3b2a+b，故此选项不符合题意；
D．−a−b−a+b=−a+b−a−b=a+ba−b≠a−ba+b，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．（23·24上·武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式1a2+1+1b2+1的值是（ ）
A．3B．1C．−3D．−1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=3，ab=1，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，
∴a+b=3，ab=1，
∴1a2+1+1b2+1
=1a2+ab+1b2+ab
=1aa+b+1ba+b
=13a+13b
=a+b3ab
=33×1
=1，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
12．（22·23下·苏州·一模）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x>1 B．x≥1 C．x0，解得x>1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义得条件，熟知分式分母不为0及二次根式根号里面需要大于等于0是解题的关键．
13．（22-23·文山·三模）已知a4+1a4=14，那么a2+1a2的值为（ ）
A．4B．−4C．±4D．16
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．
【详解】解：∵a4+1a4=14，
∴a2+1a22=a4+2⋅a2⋅1a2+1a4
=14+2
=16，
∴a2+1a2=4或a2+1a2=−4（舍去），
故选A．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
14．（22·23上·菏泽·期末）计算4xx2−4−2x−2的结果是（ ）
A．2x+2B．2x−2C．−2x+2D．−2x−2
【答案】A
【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：4xx2−4−2x−2
=4xx+2x−2−2x−2
=4xx+2x−2−2x+2x+2x−2
=4x−2x+2x+2x−2
=4x−2x−4x+2x−2
=2x−2x+2x−2
=2x+2，
故选：A．
【点睛】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键．
15．（22·23上·永州·期中）当x分别取值12021、12020、12019,⋯,12、1、2,⋯,2019、2020、2021时，求出代数式x21+x2的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于（ ）
A．1B．2020C．202012D．0
【答案】C
【分析】先把x=n和x=1n代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为1，然后把x=1代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．
【详解】因为将一对倒数代入代数求和得(1n)21+(1n)2+n21+n2=n2n2+1+11+n2=1，即当x分别取值1n，n(n为正整数)时，计算所得的代数式的值之和为1；而当x=1时，121+12=12．
所以，当x分别取值12021、12020、12019，…，12、1、2，…，2019、2020、2021时， 计算所得各代数式的值之和为2020个1的和再加上12即是2020+12=202012．
故选择：C
【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为1，观察数据特征，找出各数据代入代数式求值后的关系是解题的关键．
16．（22-23上·哈尔滨·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
①任何数的0次幂都等于1；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；
④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【分析】根据0指数幂的定义，等边三角形的判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，等腰三角形三线合一性质逐个进行判断即可．
【详解】解：∵0的0次幂不存在，∴①错误；有两个角为60°三角形一定是等边三角形，所以②正确；等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，所以③正确；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合；所以④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了，0指数幂的定义，等边三角形的判定的应用，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，注意：任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解题的关键．
17．（22·23上·柳州·期中）下列等式从左到右变形正确的是（ ）
A．yx=y+1x+1B．yx=ayaxC．3b3a=baD．ba=b2a2
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选择项．
【详解】解：A．根据分式基本性质知道yx≠y+1x+1，故选项错误；
B．a=0时，yx=ayax不成立，故选项错误；
C．3b3a=ba，故选项正确；
D．当a、b异号时ba≠b2a2，故选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质．
18．（22·23上·河源·期中）要使分式x+3x2−6x+9有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≠−3
C．x≠0且x≠3D．x≠3且x≠−3
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：∵分式x+3x2−6x+9有意义，
∴x2−6x+9≠0，
∴x−32≠0，
∴x−3≠0，
∴x≠3，
∴分式x+3x2−6x+9有意义，x的取值范围x≠3，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
19．（22·23下·西安·阶段练习）若a=−3−2，b=−13−2，c=−140，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．aba+c
∴c+ca+b+c+a+aa+b+c+b+ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c
∴2c+2a+2ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c
∵2c+2a+2ba+b+c=2
∴ca+b+ab+c+ba+c0时，判断M与N的大小关系，并说明理由；
(2)设y=2M+N．若x是整数，求y的整数值．
【答案】(1)M≥N，理由见解析
(2)y的整数值为：4，0，3，1
【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；
（2）先表示y，再求y的整数值．
【详解】（1）解：M≥N，理由如下：
M−N=x+12−2xx+1
=x+12−4x2x+1
=x−122x+1，
∵x>0，
∴x+1>0，
∵x−12≥0，
∴x−122x+1≥0，
∴M−N≥0，
∴M≥N；
（2）解：y=2M+N
=2x+12+2xx+1
=4x+1+2xx+1
=2x+1+2x+1
=2+2x+1，
∵x，y是整数，
∴x+1是2的因数，
∴x+1=±1，±2，
对应的y值为：y=2+2=4或y=2+−2=0或y=2+1=3或y=2−1=1．
∴y的整数值为：4，0，3，1．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
54．（22·23下·徐州·阶段练习）在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式x2−3x−1x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t－2．
原式=t−22−3t−2−1t=t2−7t+9t=t−7+9t，所以x2−3x−1x+2=x−5+9x+2．
这样，分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式（x－5）与一个分式9x+2的和的形式．
(1)使用分离整式法将分式2x+4x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_________．
(2)已知分式x2−3x+7x−3的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)2+2x+1
(2)x=4或2或10或−4
【分析】（1）根据题意将2x+4x+1化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
（2）设t=x−3，则x=t+3，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．
【详解】（1）2x+4x+1=2x+1+2x+1＝2+2x+1，
故答案为：2+2x+1．
（2）设t=x−3，则x=t+3，
∴x2−3x+7x−3=t+32−3t+3+7t=t2+6t+9−3t−9+7t=t2+3t+7t=t+3+7t，
∴x2−3x+7x−3=x−3+3+7x−3，
=x+7x−3，
∵x是整数，
∴x−3=±1，±7，
解得：x=4或2或10或−4．
【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键．
55．（23·24上·全国·课时练习）有甲，乙两块边长为a米（a>7）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．

【答案】甲试验田的单位面积产量高
【分析】由总产量除以总面积可得单位面积产量，再比较大小即可．
【详解】解：由题意，得甲试验田的单位面积产量为180a+1a−1=180a2−1（千克），
乙试验田的单位面积产量为130a−12千克．
∵180a2−1−130a−12=180a−1−130a+1a−12a+1=50a−310a−12a+1，且a>7，
∴50a−310a−12a+1>0，即180a2−1>130a−12，
∴甲试验田的单位面积产量高．
【点睛】本题考查的是列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算的应用，理解题意，确定解题的方法是解本题的关键．
①a9÷a3=a3；②3a2⋅2a3=6a5；③2−2=−4；④(π−3.14)0=1．