专题04 全等三角形（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2022·云南红河·统考二模）数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，∠AOB是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于12MN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是∠AOB的角平分线．小敏作图的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
2．（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD=10，则DE的长度为（ ）
A．10B．6C．4D．2
3．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在△ABC中，AD＝BD＝3，AE平分∠CAD，DE垂直AB，”他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确的是（ ）
A．他发现CE＝DE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B．他发现CE＝DE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．他发现AE＝BE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D．他发现AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
4．（2023·河北石家庄·校考二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形ABCD是矩形．
求证：AC=BD．以下是排乱的证明过程：
①∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，
②∵四边形ABCD是矩形，
③∵BC=CB，
④∴AC=BD，
⑤∴ΔABC≅ΔDCB
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．②⑤③①④D．③⑤②①④
5．（2023·安徽·九年级专题练习）如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE=DF；②AE=AF；③∠ABD=∠ACD；④∠EDB=∠FDC，其中正确的序号是（ ）
A．②B．①②C．①②③D．①②③④
6．（2023上·江苏·八年级校考周测）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为 （ ）

A．40°B．50°C．55°D．60°
7．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）

A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
8．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为（ ）
A．1B．2C．1+2D．2+22
9．（2023上·山东·八年级校联考阶段练习）如图，任意画一个∠A=60°的ΔABC，再分别作ΔABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBD+SΔPCE=SΔPBC，其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤B．②③⑤C．①②⑤D．①②③④
10．（2023·湖南娄底·校考一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于12BD．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．（2023上·重庆·八年级万州外国语学校天子湖校区校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F．下列结论：
①∠B＝∠ACG；
②CE＝DF；
③∠CED＝∠CDE；
④S△AEC：S△AEG＝AC：AG．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．（2022下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝9，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
13．（2022·广东广州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（ ）
A．43B．2C．3D．4
14．（2023·安徽·校联考二模）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF，BE相交于G，则AGGF的值为（ ）
A．23B．35C．22D．54
15．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角△AEF．有下列四个结论：①∠CAF=∠DAE；②点E在线段BD上；③当∠AEC=135°时，CE平分∠ACD；④若点F在BC上以一定的速度由B向C运动，则点F的运动速度是点E运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
16．（2022上·山东青岛·九年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，DF的延长线与CB的延长线交于点H，CE与DH相交于点G．若CG=45，则BG的长为 ．
17．（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图，若△ABC≌△EFC，且CF=3cm，则BC= ．

18．（2023·山东济宁·校考一模）如图，在△ABC中，点A的坐标为−1,1，点B的坐标为3,1，点C的坐标为−2,3，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 ．
19．（2022·云南临沧·统考一模）如图，在四边形AOBC中，∠A=∠B=90∘，BC=AC．有以下四个结论：①∠AOC=∠BOC，②∠ACO=∠BCO，③OC=2AC，④OA=OB，其中一定正确的结论有 ．（填序号）
20．（2023上·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，已知∠MOS=∠NOS，PA⊥OM，垂足是A，如果AP=5cm，那么点P到ON的距离等于 cm．
21．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，在Rt△ADC中，∠C=90°，B在CD的延长线上，连接AB，点E在AC上，连接DE，AD平分∠BAC，CE=2AE，DB=DE，CD=3，则AC的长为 ．
22．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，B点坐标为1,2，将△ABC 沿AC翻折，使B点落在D点位置，AD交y轴于点E，则D点坐标为 ．
23．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，DH＝23CD，连接GH，则GH的最小值为 ．
24．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若DP=2，则正方形的边长为 ．
25．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在ΔABC中，∠ACB=45°，AB=4，点E、F分别在边BC、AB上，点E为边BC的中点，AB=3AF，连接AE、CF相交于点P，则ΔABP面积最大值为 ．
三、解答题
26．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中（ABBC．点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为17，求△ACF与△BDE的面积之和．
40．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）【概念呈现】：在平面内，如果两个三角形有一条边相等，我们将这两条相等的边拼在一起组成一个四边形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，把这条相等的边叫做这个四边形的“等腰直角线”；若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”，把这条相等的边叫做这个四边形的“真等腰直角线”．
(1)【概念理解】：如图①，若AD=BD=CD，∠C=45°，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形；
(2)【深度理解】：如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD>AD>AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想AC与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)【拓展提高】：阅读材料：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，这就是著名的勾股定理．如图③，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线，且BD是其中等腰直角三角形的一条直角边，AD=1，AB=2，∠BAD=45°，求AC的长．