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专题04 二次函数及其应用（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）
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这是一份专题04 二次函数及其应用（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用），文件包含专题04二次函数及其应用分层训练全国通用原卷版docx、专题04二次函数及其应用分层训练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·陕西·模拟预测）函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肃定西·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
①ac<0；
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③−1和3是方程ax2+b−1x+c=0的根；
④当−10
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2023·四川南充·统考三模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点1,2且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2其中−18a⑤a≤−1 其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022上·湖北武汉·九年级统考期中）抛物线y=2x−12−1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y=2x2+bx+c，则b,c的值为（ ）
A．b=4,c=−2B．b=2,c=4C．b=4,c=4D．b=−12,c=20
5．（2023·山东济南·一模）若抛物线y=−x2+4x−2向上平移mm>0个单位后，在−1A．m≥2B．06．（2022·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3B．6C．8D．9
7．（2022上·山东济南·九年级山东大学附属中学阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n(mA．pC．m8．（2022·湖北黄石·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc<0B．2a−b>0C．b2−4ac<0D．a+b+c>0
9．（2022·四川成都·统考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图像和反比例函y=a+b+cx的图像在同一坐标系中大致是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·安徽宣城·校联考一模）若二次函数y＝2x2－ax－a＋1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．0B．1C．－1D．2
11．（2022·广东广州·统考一模）将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线y=2x2，则原抛物线是( )
A．y=2x2−8x−5B．y=2x2−8x+10
C．y=2x2+8x+3D．y=2x2−4x+7
12．（2022·浙江·统考二模）点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=−x2+2x+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3>y2>y1B．y3>y1=y2C．y1>y2>y3D．y1=y2>y3
13．（2022·浙江杭州·模拟预测）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过Ax1,y1,Bx2,y2,C(2−m,n),D(m,n)y1≠n，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD
14．（2022·福建·九年级统考学业考试）若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像对称轴为直线x=−12经过不同的5点A(p,q)，B(0,y0)，C(2,y1)，D(2,y2)，E(−1−p,q)，则y0，y1，y2的大小关系（ ）
A．y0>y1>y2B．y0y2>y1D．y1>y0>y2
15．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）二次函数y=3x2可以由y=3x−22+4经过怎样的平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
二、填空题
16．（2022·福建厦门·校考模拟预测）抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为 ．
17．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
18．（2022·山东德州·校联考一模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y=x2−4x−m上的两点，且x1<24，则y1 y2（填“>”、“<”或“=”）
19．（2022·江苏泰州·校考一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0），经过A−4,1，B2,1，C−5,y1，D2,y2四点，则y1与y2的大小关系是y1 y2（填“>”、“<”或“=”）．
20．（2022·江苏无锡·统考一模）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
21．（2023·上海·校考一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+4x−3先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
22．（2022·河南·模拟预测）把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为y=x2-2x+3,则b的值为 .
23．（2023·上海松江·统考一模）已知一个二次函数的图像经过点0,2，且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符合要求的解析式）．
24．（2022·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）沿着x轴正方向看，抛物线y=x2−2在y轴左侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．
25．（2022·贵州遵义·一模）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是 ．
三、解答题
26．（2022·江西·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
27．（2022·江苏无锡·统考二模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间有如表关系：
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按照单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价x定为多少才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？
28．（2022·江苏徐州·校考二模）小爱同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)写出该函数的一条性质： ；
(2)方程−(|x|−1)2=−1的解为： ；
(3)若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
29．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考一模）小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份(9月1日至9月30日)进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y(个)与销售时间x(天)之间有如下关系：y=−2x+80(1≤x≤30，且x为整数)；又知销售价格z(元/个)与销售时间x(天)之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
(1)直接写出z关于x的函数关系式；
(2)求出在这30天(9月1日至9月30日)的试销中，日销售利润W(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式；
(3)“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低a%而日销售量就比9月30日提高了6a%(其中a为小于15的正整数)，日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．(参考数据：502=2500，512=2601，522=2704)
30．（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线y＝x2 ＋bx＋c经过点A（4，3），B（－1，8），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，求m，n的值．
31．（2022·吉林长春·统考一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−4,0)，B(1,0) 两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+b1经过点A，C．
(1)求抛物线和直线AC函数解析式；
(2)若点D是y轴左侧抛物线上一点，且DC=DA，求点D的坐标；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使线段EA绕点E逆时针旋转90°得到线段EA1且A1刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2022·浙江温州·统考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
33．（2023·山西长治·校联考二模）2023年10月18日，成部嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉样物“嘉乐宝”深受大家的喜爱． 嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件商品降价3元，平均每天的销售量为______件．
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
(3)店主想要获得每天2200元的利润，小明认为不可能，请说明理由．
34．（2022·贵州铜仁·中考真题）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．
（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？
【能力提升】
35．（2022·上海崇明·统考二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，对称轴为直线x=1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
36．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过原点O，与x轴上另一交点为A，它的对称轴为x=2与x轴交于点C，直线y=−2x−1经过抛物线上一点B−2,m，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
(3)在该抛物线上是否存在一点P，使得PB=PE．若存在，求出点P的横坐标m；若不存在，请说明理由．
37．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，抛物线C1:y=−x2+bx+c与x轴于交A−1,0,A3,0两点，交y轴于点C，连接BC，点D为BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥y轴，交BC于点E．点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接PA,BP，若S△ABP=203S△AOC，求点P的坐标；
(3)求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标．
38．（2023上·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）如图①，抛物线y=−x2+a+1x−a与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
(1)求a的值；
(2)求△ABC外接圆圆心的坐标______；
(3)如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d，且∠QPB=45°，求点Q的坐标．
39．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=x2−2x+k是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)求此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
(2)点B2,b在这个黄金抛物线上．
①点Cc,−12在这个黄金抛物线的对称轴上，求∠OBC的正弦值．
②在射线AB上是否存在点P，使以点P、A、D所组成的三角形与△AOD相似，且相似比不为1．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2x+ca≠0与x轴交于A、B3，0两点，与y轴交于点C0，−3，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
x
−1
0
1
3
y
−1
3
5
3
销售单价x（元）
30
35
40
┄
70
┄
每天的销售量y（件）
100
90
80
┄
20
┄
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·陕西·模拟预测）函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肃定西·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
①ac<0；
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③−1和3是方程ax2+b−1x+c=0的根；
④当−1
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2023·四川南充·统考三模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点1,2且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2其中−1
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022上·湖北武汉·九年级统考期中）抛物线y=2x−12−1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y=2x2+bx+c，则b,c的值为（ ）
A．b=4,c=−2B．b=2,c=4C．b=4,c=4D．b=−12,c=20
5．（2023·山东济南·一模）若抛物线y=−x2+4x−2向上平移mm>0个单位后，在−1
A．3B．6C．8D．9
7．（2022上·山东济南·九年级山东大学附属中学阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n(m
A．abc<0B．2a−b>0C．b2−4ac<0D．a+b+c>0
9．（2022·四川成都·统考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图像和反比例函y=a+b+cx的图像在同一坐标系中大致是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·安徽宣城·校联考一模）若二次函数y＝2x2－ax－a＋1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．0B．1C．－1D．2
11．（2022·广东广州·统考一模）将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线y=2x2，则原抛物线是( )
A．y=2x2−8x−5B．y=2x2−8x+10
C．y=2x2+8x+3D．y=2x2−4x+7
12．（2022·浙江·统考二模）点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=−x2+2x+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3>y2>y1B．y3>y1=y2C．y1>y2>y3D．y1=y2>y3
13．（2022·浙江杭州·模拟预测）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过Ax1,y1,Bx2,y2,C(2−m,n),D(m,n)y1≠n，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD
14．（2022·福建·九年级统考学业考试）若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像对称轴为直线x=−12经过不同的5点A(p,q)，B(0,y0)，C(2,y1)，D(2,y2)，E(−1−p,q)，则y0，y1，y2的大小关系（ ）
A．y0>y1>y2B．y0
15．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）二次函数y=3x2可以由y=3x−22+4经过怎样的平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
二、填空题
16．（2022·福建厦门·校考模拟预测）抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为 ．
17．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
18．（2022·山东德州·校联考一模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y=x2−4x−m上的两点，且x1<2
19．（2022·江苏泰州·校考一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0），经过A−4,1，B2,1，C−5,y1，D2,y2四点，则y1与y2的大小关系是y1 y2（填“>”、“<”或“=”）．
20．（2022·江苏无锡·统考一模）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
21．（2023·上海·校考一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+4x−3先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
22．（2022·河南·模拟预测）把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为y=x2-2x+3,则b的值为 .
23．（2023·上海松江·统考一模）已知一个二次函数的图像经过点0,2，且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符合要求的解析式）．
24．（2022·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）沿着x轴正方向看，抛物线y=x2−2在y轴左侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．
25．（2022·贵州遵义·一模）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是 ．
三、解答题
26．（2022·江西·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
27．（2022·江苏无锡·统考二模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间有如表关系：
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按照单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价x定为多少才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？
28．（2022·江苏徐州·校考二模）小爱同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)写出该函数的一条性质： ；
(2)方程−(|x|−1)2=−1的解为： ；
(3)若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
29．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考一模）小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份(9月1日至9月30日)进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y(个)与销售时间x(天)之间有如下关系：y=−2x+80(1≤x≤30，且x为整数)；又知销售价格z(元/个)与销售时间x(天)之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
(1)直接写出z关于x的函数关系式；
(2)求出在这30天(9月1日至9月30日)的试销中，日销售利润W(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式；
(3)“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低a%而日销售量就比9月30日提高了6a%(其中a为小于15的正整数)，日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．(参考数据：502=2500，512=2601，522=2704)
30．（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线y＝x2 ＋bx＋c经过点A（4，3），B（－1，8），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，求m，n的值．
31．（2022·吉林长春·统考一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−4,0)，B(1,0) 两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+b1经过点A，C．
(1)求抛物线和直线AC函数解析式；
(2)若点D是y轴左侧抛物线上一点，且DC=DA，求点D的坐标；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使线段EA绕点E逆时针旋转90°得到线段EA1且A1刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2022·浙江温州·统考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
33．（2023·山西长治·校联考二模）2023年10月18日，成部嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉样物“嘉乐宝”深受大家的喜爱． 嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件商品降价3元，平均每天的销售量为______件．
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
(3)店主想要获得每天2200元的利润，小明认为不可能，请说明理由．
34．（2022·贵州铜仁·中考真题）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．
（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？
【能力提升】
35．（2022·上海崇明·统考二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，对称轴为直线x=1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
36．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过原点O，与x轴上另一交点为A，它的对称轴为x=2与x轴交于点C，直线y=−2x−1经过抛物线上一点B−2,m，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
(3)在该抛物线上是否存在一点P，使得PB=PE．若存在，求出点P的横坐标m；若不存在，请说明理由．
37．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，抛物线C1:y=−x2+bx+c与x轴于交A−1,0,A3,0两点，交y轴于点C，连接BC，点D为BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥y轴，交BC于点E．点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接PA,BP，若S△ABP=203S△AOC，求点P的坐标；
(3)求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标．
38．（2023上·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）如图①，抛物线y=−x2+a+1x−a与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
(1)求a的值；
(2)求△ABC外接圆圆心的坐标______；
(3)如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d，且∠QPB=45°，求点Q的坐标．
39．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=x2−2x+k是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)求此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
(2)点B2,b在这个黄金抛物线上．
①点Cc,−12在这个黄金抛物线的对称轴上，求∠OBC的正弦值．
②在射线AB上是否存在点P，使以点P、A、D所组成的三角形与△AOD相似，且相似比不为1．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2x+ca≠0与x轴交于A、B3，0两点，与y轴交于点C0，−3，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
x
−1
0
1
3
y
−1
3
5
3
销售单价x（元）
30
35
40
┄
70
┄
每天的销售量y（件）
100
90
80
┄
20
┄
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