专题04 投影与视图（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】从上边看得到的平面图形是：
故选B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
2．（2023·湖北宜昌·统考二模）下列几何体只有左视图和主视图相同，与俯视图不同的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此判断即可．
【详解】解：A、球的三视图都是圆形，故本选项不符合题意；
B．正方体的三视图都是大小相同的正方形，故本选项不符合题意．
C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故本选项符合题意；
D、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左图是一个圆形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（2023·贵州贵阳·校考模拟预测）如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．是该几何体的俯视图，故不符合题意；
B．是该几何体的左视图，故不符合题意；
C． 不是该几何体的三视图，故不符合题意；
D． 是该几何体的主视图，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．
4．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可.
【详解】解：从左边看，看到的图形分为三层两列，左边一列一共有三个小正方形，右边一列从下到上一共有两个小正方形，即看到的图形为，
故选B.
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.
5．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．32B．332C．3D．33
【答案】D
【分析】先将圆锥侧面展开，设∠BAB′＝n°，根据三视图，即可得到答案.
【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°．
∵nπ·6180＝4π，
∴n＝120即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°,∠BAF＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAF ＝6×32＝33，
∴最短路线长为33．
故选D．
【点睛】本题考查三视图、圆锥、平面展开—最短路径，解题的关键是掌握三视图、圆锥、平面展开—最短路径.
7．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据从前面看的到的视图是主视图解答即可．
【详解】解：从前面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
因为每个小正方形的面积为1，所以该几何体的主视图面积是4．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，确定主视图是解题关键．
8．（2023·山东临沂·二模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据左视图是指从几何体的左侧观察得出的图形，据此可得答案．
【详解】解：由几何体可知：左视图有两层，每层各有两个小正方形，且相交线为实线，
故它的左视图是C，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图解．
9．（2023·四川·统考中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A．20πB．18πC．16πD．14π
【答案】B
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．
【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为r=42=2，
∴这个几何体的表面积
=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
=πr2+2πrℎ+πrl
=22π+2×2×2π+3×2π=18π，
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体是解题的关键．
10．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）观察如图所示的几何体，从左面看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从左面只看到两列，左边一列3个正方形、右边一列1个正方形，据此解答即可．
【详解】解：观察几何体，从左面看到的图形是
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为（ ）
A．6B．7C．10D．13
【答案】C
【分析】从主视图和左视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最少与最多的数目．
【详解】解：由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块．
由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一列与第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最底层有一块即可．
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第二列中有一个二层，其余为一层，第三列一层，共10块．
故选：C．
【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
12．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．60πcm2B．65πcm2C．90πcm2D．130πcm2
【答案】B
【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长＝52+122=13（cm）
所以这个圆锥的侧面积＝12·2π×5×13=65π（cm2），
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
13．（2023·新疆乌鲁木齐·中考真题）在下列的四个几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．球
【答案】D
【详解】试题分析：A．圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
B．圆锥主视图是三角形，俯视图是圆，不符合题意；
C．正三棱柱的主视图是矩形，俯视图是正三角形，不符合题意；
D．球的主视图与俯视图都是圆，符合题意；
故选D．
考点：简单几何体的三视图．
14．（2023·河北沧州·统考二模）如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．
【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
15．（2023·湖北恩施·统考一模）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )

A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
二、填空题
16．（2023·河南·模拟预测）某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图，则该几何体的体积为
【答案】3π
【分析】根据三视图可以判断该几何体为倒放的圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，据此求得其体积即可．
【详解】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，
故体积为：πr2h=π×1×3=3π，
故答案为3π．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的三视图并清楚其体积的计算方法．
17．（2023·江苏无锡·统考一模）长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为 ．
【答案】3
【详解】解：根据三视图可得长方体的长为4、宽为3、高为1，
则左视图的面积=宽×高=3．
故答案为：3
【点睛】本题考查利用三视图求面积，明确三视图之间的关系是解题关键．
18．（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 m．
【答案】12
【分析】设地面影长对应的树高为xm，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙上的影长CD即为树的高度．
【详解】解：设地面影长对应的树高为xm，
由题意得，x5=10.5，
解得x=10，
∵墙上的影子CD长为2m，
∴树的高度为10+2=12m．
故答案为：12．
【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
19．（2023·甘肃天水·校联考一模）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 .
【答案】9.6
【详解】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解.
设树的高度为x米，由题意得
解得
则树的高度为9.6米．
考点：本题考查的是比例式的应用
点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式.
20．（2023·辽宁大连·校联考一模）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为 米．
【答案】7.5
【分析】根据同一时刻，影长与实际长度成比例列出方程求解即可.
【详解】解：设这棵杨树高度为xm，
由题意得，2.11.5＝10.5x，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是原方程的解，
即这棵杨树高为7.5m．
故答案为7.5．
【点睛】本题考查投影与视图，根据同一时刻，影长与实际长度成比例列出方程是解题的关键.
21．（2023·广东广州·统考一模）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是 ．
【答案】43
【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高，继而根据三角形面积公式进行求解即可得．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2=4π，解得r=2，
因为圆锥的主视图是等边三角形，
所以圆锥的母线长为4，
所以它的左视图的高=42−22=23，
所以左视图的面积为12×4×23=43，
故答案为43．
【点睛】本题考查了三视图的相关计算以及圆锥的计算，熟练掌握圆锥的俯视图与圆锥的底面圆直径、主视图与圆锥母线长之间的关系是解题的关键．
22．（2023·广东广州·统考一模）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是 （结果保留π）．
【答案】100π
【分析】根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为8，底面圆的半径为10÷2=5，圆锥的高为6，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积．
【详解】解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为10÷2=5，
所以圆锥的侧面积=12×2π×5×8=40π，圆柱的侧面积=2π×5×6=60π，
所以每顶帐篷的表面积=40π+60π=100π．
故答案为：100π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，三视图，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
23．（2023·江西·统考模拟预测）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中数据求得该几何体的体积为 ．
【答案】133π．
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由圆柱体和圆锥体构成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．
【详解】由三视图可知，几何体是由圆柱体和圆锥体构成，
圆柱和圆锥的底面直径均为2，高分别为4和1，
∴圆锥和圆柱的底面积为π，
故该几何体的体积为：4π+13π＝133π，
故答案为：133π．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
24．（2023·辽宁朝阳·统考一模）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图,符合条件的几何体有 种.
【答案】3
【分析】由左视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由左视图可得第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【详解】由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有4个，由左视图可知第二层最少有1个，
故组成这个几何体的小正方体的个数可能为：4+1=5，4+2=6,4+3=7，
故答案为3．
【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．
25．（2023·浙江温州·校考二模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝12EF，AB=24 cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm．
【答案】 452 28813
【分析】连接BE，BF，过点B′作B′J⊥E′F′于J．首先证明∠EBF=90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性质求出BF，利用勾股定理可得EF．设B′G=16k cm，E′H=11k cm，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出k即可．
【详解】解：连接BE，BF，过点B′作B′J⊥E′F′于J．
由题意，CE=CF=CB，
∴∠EBF=90°，
∵AB=24cm，AE=30cm，
∴EB=AE2−AB2=302−242=18（cm），
∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°，
∴∠AEB=∠F，
∵∠ABE=∠EBF=90°，
∴△ABE∽△EBF，
∴ ABEB=EBFB，
∴2418=18FB，
∴FB=272，
∴EF=BE2+BF2=182+(272)2=452（cm），
∵B′GE′H=1611，
∴设B′G=16k cm，E′H=11k cm，
∵四边形B′GHJ是矩形，
∴B′G=JH=16k（cm），
∴JE′=16k-11k=5k（cm），
∵C′B′=C′E′=12EF=454（cm），
∴JC′=(454−5k)cm，
∵AB′⊥B′C′，
∴∠AB′C′=∠GB′J=90°，
∴∠AB′G=∠JB′C′，
∵∠AGB′=∠B′JC′=90°，
∴△AB′G∽△C′B′J，
∴B′GB′J=B′AC′B′，
∴16kB′J=24454，
∴B′J=15k2（cm），
在Rt△B′JC′中，则有(454)2=(454−5k)2+(152k)2，
解得k=1813，（不合题意的根已舍去）
∴B′G=16×1813=28813（cm）．
故答案为： 452,28813．
【点睛】本题考查三视图的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题
26．（2022·广东深圳·校考一模）（1）如图1，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面”）
（2）如图2，请画出由6个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图；
（3）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图3所示，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，请画出从左面看到的形状图．
【答案】（1）正面
（2）见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据三视图的定义判断即可；
（2）根据三视图的定义，画出图形即可；
（3）根据三视图的定义，画出图形即可．
【详解】解：（1）如图1，将一个正方体①移走后，变化后的几何体与变化前的几何体从正面看到的形状图相同．
故答案为：正面；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
【点睛】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
27．（2022上·陕西西安·九年级统考期末）如图，在路灯O（O为灯泡的位置）的同侧有两根高度相同的木棒AB与CD，请分别画出这两根木棒的影子．
【答案】作图见解析
【分析】根据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，结合光沿直线传播，根据光源和木棒的高度作图即可得到答案．
【详解】解：作图如下：
∴影子BE与DF即为所求．
【点睛】本题考查中心投影的特点与应用，解决本题的关键是根据光源和两根木棒的物高得影子长．
28．（2023上·河南郑州·七年级统考期中）如图，用10个大小相同的小立方块搭成一个组合体．
(1)请在指定位置画出该组合体从左面、上面看到的形状图；
(2)在不改变该组合体中小立方块个数的前提下，从中移动一个小立方块，使所得新组合体与原组合体相比，从左面、上面看到的形状图保持不变，但从正面看到的形状图改变了，请画出新组合体从正面看到的可能的两种形状图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用几何体的形状进而分析得出答案；
（2）根据题意只有两种情况符合题意，即可得出主视图．
【详解】（1）解：（1）如图所示：．
（2）如图所示：
【点睛】此题主要考查了画三视图，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
29．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．
(1)求灯杆AB的高度；
(2)小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．
【答案】（1）6.4米；（2）不能完全落在地面上；墙上的影长为1米．
【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长．
（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18．故有部分影子落在墙上．超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4=103：(103+18)，求出y的值即可．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，
∴△CDF∽△ABF，
∴CD：AB=DF：BF，
∴1.6：AB=3：12，
解得：AB=6.4．
答：灯杆AB的高度为6.4米．
（2）假设全部在地上，设影长为x，
则CD：AB=DF：BF，
∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，
解得：x=163，而9+7+163-18=103＞0．故有部分影子落在墙上．
因为超过的影长为103，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4=103：(103+18)，解得：y=1．
故落在墙上的影子长为1米．
30．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）5 如图所示为一几何体的三种视图.
（1）这个几何体的名称为__________；
（2）画出它的任意一种表面展开图；
（3）若主视图是长方形，其长为10cm，俯视图是等边三角形，其边长为4cm，求这个几何体的侧面积.
【答案】（1）三棱柱；（2）见解析；（3）120cm2.
【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；
（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【详解】（1）因为主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；
（2）（答案不唯一）展开图如下：
（3）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即
C=4×3=12cm，
根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S=12×10=120cm2.
【点睛】本题考查由三视图判断几何体和几何体的展开图，解题的关键是掌握由三视图判断几何体和几何体的展开图.
31．（2023·辽宁抚顺·统考三模）某几何体的三视图如图所示，已知在△EFG中，FG＝18cm，EG＝12cm，∠EGF＝30°；在矩形ABCD中，AD＝16cm．
（1）请根据三视图说明这个几何体的形状．
（2）请你求出AB的长；
（3）求出该几何体的体积．
【答案】（1）三棱柱；（2）6cm；（3）864cm3．
【分析】（1）根据三视图，可知这个几何体上下两个底面都是三角形的，侧面是长方形的，因此这个几何体是三棱柱；
（2）AB的长就是俯视图中三角形FG边上的高，
（3）求出俯视图中FG上的高，进而求出三棱柱底面面积，AD＝16，进而求出体积．
【详解】（1）三棱柱；
（2）AB＝sin30°×EG＝12×12＝6cm，
（3）V＝SH＝12×18×6×16＝864cm3，
答：该几何体的体积为864cm3，
【点睛】此题考查几何体的体积，三视图，解题的关键掌握计算公式．
32．（2022上·广东佛山·七年级校联考学业考试）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面、上面看到这个几何体的形状如图所示，其中从上面看到的形状中，小正方形中字母表示在该位置的小立方块的个数，请解答下列问题：
(1)a、b、c各表示几？
(2)这个几何体最少由几个小立方体搭成？最多呢？
(3)当d=e=1，f=2时，请在下列方格纸中画出这个几何体的从左面看的形状图．
【答案】(1)a=3，b=1，c=1；
(2)最少9个小立方块搭成；最多11个小立方块搭成；
(3)图见解析
【分析】（1）由主视图可知，第二列小立方体的个数均为1，第3列小正方体的个数为3，那么a=3，b=1，c=1；
（2）第一列小立方体的个数最多为2+2+2，最少为2+1+1，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
（3）左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2．
【详解】（1）解：由主视图可知，第二列小立方体的个数均为1，第3列小正方体的个数为3，
∴a=3，b=1，c=1；
（2）解：这个几何体最少由4+2+3=9个小立方块搭成；
这个几何体最多由6+2+3=11个小立方块搭成；
（3）解：当d=e=1，f=2时，作图如下：
．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
33．（2023·陕西·西安市铁一中学校考模拟预测）小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C，并在点C处安装了测倾器CD，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B，顶部作为点A，现测得古树的项端A的仰角为37°，再在BC的延长线上确定一点F，使CF＝5米，小华站在F处，测得小华的身高EF＝1.8米，小华在太阳光下的影长FG＝3米，此时，大树AB在太阳光下的影子为BF．已知测倾器的高度CD＝1.5米，点G、F、C、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于BG，求小河的宽度BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】10米
【分析】过点D作DH⊥AB所在直线于点H，可得四边形DCBH是矩形，BC＝DH，BH＝CD＝1.5，设BC＝DH＝x，在Rt△ADH中，用x表示出AH，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB所在直线于点H，
可得四边形DCBH是矩形，
∴BC＝DH，BH＝CD＝1.5，
设BC＝DH＝x，
根据题意可知：
在Rt△ADH中，∠ADH＝37°，
∴AH＝DH•tan37°≈0.75x，
∴AB＝AH＋BH＝0.75x＋1.5，
BF＝FC＋CB＝5＋x，
根据同一时刻物高与影长的比相等，
∴EFFG=ABBF，
∴1.83=0.75x+1.55+x，
解得x＝10，
所以BC＝10（米），
答：小河的宽度BC为10米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用同一时刻物高与影长的比相等建立方程．
34．（2023上·江西抚州·九年级江西省临川第二中学校考期中）马路边上有一棵树AB，树底A距离护路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为AD，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡CD上的DE处，且BE⊥CD，如图所示．
（1）树AB的高度是________米；
（2）求DE的长．
【答案】（1）6；（2）(33−32）米
【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即可求出结果；
（2）延长BE交AD延长线于F点，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：（1）∵同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，AD＝3米，
∴树AB的高度是6米；
故答案为：6；
（2）如图，延长BE，交AD于点F，
∵AB＝6，∠CDF＝60°，BE⊥CD，
∴∠DFE＝30°，
∴AF＝ABtan30°=63，
∴DF＝AF−AD=63−3，
∴DE＝12DF＝12 (63−3)＝(33−32）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
35．（2023·陕西宝鸡·校考一模）雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．

【答案】4.2米．
【分析】设AB=x米，BF=y米．利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可．
【详解】解：设AB=x米，BF=y米．
∵CD//AB，
∴ΔECD∽ΔEBA，
∴ CDAB=ECEB，
∴ 1.8x=57+y①，
由题意，∠DCF=∠ABF=90°，∠DFC=∠AFB，
∴ΔDCF∽ΔABF，
∴ DCAB=CFBF，
∴ 1.8x=2y②，
由①②解得，x=215y=143，
经检验，x=215y=143的分式方程组的解．
∴AB=4.2米．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，
构建方程组解决问题．
【能力提升】
36．（2023上·山西运城·七年级统考期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；
（2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可．
【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图
从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形，
如图所示：
（2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，
从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，
左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2．
根据题意，填图如下：
【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键．
37．（2023上·四川成都·七年级校考阶段练习）如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示．
（1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形
（2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）16
【分析】（1）从左面看共4列，从左向右依次为5,5,3,2个小正方形，从上面看共6列，从左向右依次为4,4,4,3,2,1个小正方形；
（2）由已知条件从主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此即可求解.
【详解】（1）如图：
（2）k的最大值为：4+5+3+3+1=16，
故答案为：16.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确理解三视图的对应的关系，确定每列中的最大个数是解题的关键.
38．（2023上·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
(1)这个几何体由________个小正方体组成；
(2)在下面网格中画出从左面和从上面看到的形状图；
(3)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是多少?
【答案】(1)10；
(2)见解析；
(3)3200cm2
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的表面积，利用空间想象力解决问题是关键．
（1）根据几何体即可得到答案；
（2）由已知图形可知，从左面看有3列，每列小正方形的数量为3、2、1；从上面看3列，每列小正方形的数量为3、2、1，据此画出形状图即可；
（3）由几何体可知，露出的面数有32个，即可求出这个几何体喷漆的面积．
【详解】（1）解：由图形可知，该几何体下层有6个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体，
6+3+1=10，
即这个几何体由10个小正方体组成，
故答案为：10；
（2）解：如图所示：
（3）解：由几何体可知，露出的面数有32个，且小正方体的棱长为10cm，
则这个几何体喷漆的面积为32×10×10=3200cm2．
39．（2023上·河南郑州·七年级校考期中）如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体，小立方块棱长均为1．
(1)请在方格中分别画出从上面、左面看到该几何体的形状图；
(2)用小立方块搭一几何体，使得从上面、左面看到该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则这样的几何体最少要______个小立方块，最多要______个小立方块．
【答案】(1)见解析
(2)5；7
【分析】考查了作图−三视图以及其应用，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由左视图得到其余层数里最多的立方块个数．
（1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；依此画出图形即可；
（2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最多个数相加即可．
解题的关键是运用空间想象能力画出三视图以及由视图判断几何体的形状．
【详解】（1）解：图如下：
（2）搭这样的一个几何体最少需要1+4=5个小立方块，搭这样的一个几何体最多需要4+3=7个小立方块．
故答案为：5；7．
40．（2023上·河南平顶山·七年级统考期中）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动．根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒．所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积等于底面面积的2倍，如图1），并且乐高积木能恰好放入．
(1)如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体从三个方向看到的图形，则组成这个几何体的玩具有多少个（写出所有可能的值）；
(2)现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内，已知单个乐高积木的长a和高c相等，且宽b小于长a．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式．
①请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上）．
②计算两种摆放方式所需外包装纸板面积的差．
③请你对a、b、c任取一个具体的数值，代入②中所得的面积差．并直接写出哪种摆放方式所需纸板面积更少．
【答案】(1)9、10、11、12个
(2)①甲种摆放方式：2ac+4bc+6ab；乙种摆放方式：4ac+2bc+6ac；②−2ac+2bc（答案不唯一）；③a=3，b=2，c=3，−6；甲种摆放方式所需纸板面积更少
【分析】本题考查了整式的加减；从不同方向看几何体；
（1）根据题意从不同方向看的图形；分别得出最少个数与最多个数，即可求解；
（2）分别根据长方体的表面积公式+上盖的面积可得所需纸板面积，列出代数式，即可求解；
②根据整式的减法进行计算即可求解；
③根据题意，取a=3，b=2，c=3，代入②中的代数式，即可比较大小．
【详解】（1）解：如图所示，最少个数为1+2+1+2+1+2=9
最多个数为2×6=12
∴组成这个几何体的玩具可能有：9、10、11、12个
（2）①甲种摆放方式：2ac+2×2bc+3×2ab=2ac+4bc+6ab
乙种摆放方式：2×2ac+2bc+3×2ab=4ac+2bc+6ac
②2ac+4bc+6ab−4ac+2bc+6ab=−2ac+2bc
③取a=3，b=2，c=3
代入−2ac+2bc=−2×3×3+2×2×3=−6
（答案不唯一，但a的取值比b大，a、c取值相同．）
甲种摆放方式所需纸板面积更少．