2025届高考数学一轮复习专练31平面向量的应用（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2023·上海模拟)已知O为△ABC所在平面内一点,D是AB的中点,动点P满足OP=(1-λ)OD+λOC(λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的( )
A.内心 B.垂心
C.重心 D.AC边的中点
【解析】选C.由动点P满足OP=(1-λ)OD+λOC(λ∈R),且1-λ+λ=1,
所以P,C,D三点共线,又因为D为AB的中点,所以CD为△ABC的边AB上的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.
2.(5分)一物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=2502 N·m,则F与s的夹角θ为( )
A.135° B.90° C.60° D.45°
【解析】选D.由题意可知:W=F·scs θ,即2502=10×50cs θ,解得cs θ=22,θ=45°.
3.(5分)(2023·哈尔滨模拟)一条河两岸平行,河的宽度为1 560 m,一艘船从河岸边的某地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为v1=13 km/h,水流速度v2的大小为v2=5 km/h,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t(min)为( )
A.7.2 B.7.8 C.120 D.130
【解析】选B.若使得船的航程最短,则船的实际速度v=v1+v2与水流速度v2垂直,
作OA=v1,OB=v2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示:
由题意可知,OC⊥OB,且BC=OA=v1=13,OB=v2=5,
由勾股定理可得v=OC=BC2-OB2=12,
因此,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t=1.5612=0.13(h),
则t=0.13×60=7.8(min).
4.(5分)(多选题)(2023·开封模拟)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=4 N,F2=2 N,F1与F2的夹角为120°,则下列说法正确的是( )
A.F3=23 N
B.F1与F3的夹角为90°
C.F2与F3的夹角为90°
D.(F1+F3)·F2=4
【解析】选AC.如图所示,设F1,F2,F3分别为OA,OB,OC,
将向量进行平移,OA平移至AB',将OA反向延长至点D,
则∠AOB=120°,∠OAB'=∠DOB=180°-∠AOB=60°,
在△OAB'中,由余弦定理得,OB'2=AB'2+OA2-2AB'·OAcs 60°=4+16-2×2×4×12=12,
所以OB'=23,即F3=23 N,故A正确;
显然,在△OAB'中,OB'2+AB'2=12+4=16=OA2,即∠AB'O=90°,
所以∠COD=∠AOB'=30°,所以F1与F3的夹角∠AOC=180°-∠COD=150°,故B错误;F2与F3的夹角∠BOC=∠DOB+∠COD=60°+30°=90°,故C正确;
(F1+F3)·F2=(OA+OC)·OB=(OA+B'O)·OB=B'A·OB=-OB2=-4,故D错误.
5.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为( )
A.2116B.32C.2516D.3
【解析】选A.解法一:(坐标法)如图,以D点为坐标原点,
DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
所以A(1,0),B(32,32),在平面四边形ABCD中知CD=3.
所以设DE=t(t∈[0,3]),所以E(0,t).所以AE·BE=(-1,t)·(-32,t-32)=32+t2-32t=(t-34)2+2116.
所以当t=34时,(AE·BE)min=2116.
解法二:(基向量法)连接AC(图略),易知DC=3,∠CAD=60°,设DE=x(0≤x≤3),
则AE·BE=(AD+DE)·(BA+AD+DE)=1×1×cs 60°+12+0+x×1×cs 150°+0+x2=
(x-34)2+2116≥2116.
解法三:(基向量法)如图,取AB的中点F,连接EF,
则AE·BE=EA·EB=(EF+FA)·(EF-FA)=EF2-FA2=EF2-14.可知当且仅当|EF|最小时,AE·BE取最小值.分别过点F,B作CD的垂线,垂足分别为H,G,当点E与H重合时,EF取到最小值,易知HF为梯形DABG的中位线,由已知得|BG|=32,|AD|=1,
则|HF|=12(|BG|+|AD|)=54,故|EF|的最小值为54.故AE·BE的最小值为2116.
6.(5分)(2023·南昌模拟)如图,AB是圆O的一条直径,且AB=6,C,D是圆O上任意两点,CD=3,点P在线段CD上,则PA·PB的取值范围是( )
A. [274,9] B. [34,3]
C. [-94,0] D.[-9,0]
【解题指南】连接OP,根据数量积的运算律得到PA·PB=PO2-9,再根据点P在线段CD上,求出PO的取值范围即可得解.
【解析】选C.如图,连接OP,
则PA·PB=(PO+OA)·(PO+OB)=PO2+PO·OB+PO·OA+OA·OB
=PO2+PO·(OB+OA)-OA2=PO2-9.因为点P在线段CD上且CD=3,则圆心到直线CD的距离d=32-322=332,所以332≤PO≤3,274≤PO2≤9,
所以-94≤PO2-9≤0,即PA·PB的取值范围是[-94,0].
7.(5分)已知两个力F1,F2的夹角为π2,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为π4,那么F1的大小为__________.
【解析】因为两个力F1,F2的夹角为π2,所以F1·F2=0,
又因为它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为π4,
所以cs π4=(F1+F2)·F1F1+F2F1=F110=22,解得F1=52 N.
答案:52 N
8.(5分)在△ABC中,E为AC的中点,D是线段BE上的动点,若AD=xAB+yAC,则1x+2y的最小值为__________.
【解析】如图,
因为AD=xAB+yAC,E为边AC的中点,所以AD=xAB+2yAE,
因为B,E,D三点共线,所以x+2y=1(x>0,y>0),
则1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+22yx·2xy=9,当且仅当x=13,y=13时取等号,故1x+2y的最小值为9.
答案:9
9.(10分)已知向量a=(cs x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
【解析】(1)因为a=(cs x,sin x),b=(3,-3),a∥b,
所以-3cs x=3sin x.若cs x=0,则sin x=0,与sin2x+cs2x=1矛盾,
故cs x≠0,于是tan x=-33.又x∈[0,π],所以x=5π6.
(2)f(x)=a·b=(cs x,sin x)·(3,-3)=3cs x-3sin x=23cs(x+π6).
因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cs(x+π6)≤32.
于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取得最大值3;
当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取得最小值-23.
【能力提升练】
10.(5分)(2023·福州模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为380 N,则该学生的体重(单位:kg)约为( )
(参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2,3≈1.732)
A.68 B.66 C.64 D.62
【解析】选B.由物理定理可得,该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反,两只胳膊的拉力的合力大小为3802+3802+2×380×380×12
=3803,则该学生的体重约为380310=383≈66(kg).
11.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设点D是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的有( )
A.若AD=12(AB+AC),则点D是边BC的中点
B.若AD=13(ABABcsB+ACACcsC),则直线AD过△ABC的垂心
C.若AD=2AB-AC,则点D在边BC的延长线上
D.若AD=xAB+yAC,且x+y=12,则△BCD的面积是△ABC面积的一半
【解析】选ABD.对于A,因为AD=12(AB+AC),即12AD-12AB=12AC-12AD,
即BD=DC,即点D是边BC的中点,故A正确;
对于B,AD·BC=13(AB·BCABcsB+AC·BCACcsC)=13(-BC+BC)=0,
即AD⊥BC,故AD过△ABC的垂心,故B正确;
对于C,因为AD=2AB-AC,即AD-AB=AB-AC,即BD=CB,
即点D在边CB的延长线上,故C错误;对于D,因为AD=xAB+yAC,且x+y=12,
故2AD=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,设AM=2AD,则AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,
故M,B,C三点共线,且AM=2AD,故△BCD的面积是△ABC面积的一半,故D正确.
12.(5分)如图,在扇形COD及扇形AOB中,∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD(含端点)上,则PA·PB的最小值是( )
A.112 B.6 C.132 D.7
【解析】选A.建立如图所示平面直角坐标系,则A(1,0),B(-12,32).
设P(3cs θ,3sin θ),θ∈[0,2π3],则PA=(-3cs θ+1,-3sin θ),
PB=(-3cs θ-12,-3sin θ+32),
则PA·PB=(3cs θ-1) (3cs θ+12)+3sin θ(3sin θ-32)=172-3sin(θ+π6),
其中θ+π6∈[π6,5π6],所以PA·PB=172-3sin(θ+π6)≥172-3=112,
当且仅当θ=π3时,取“=”.
13.(5分)已知非零向量a,b,c满足a=4,a·b=2b,c2=32a·c-5,则对任意实数t,c-tb的最小值为__________.
【解析】因为a=4,a·b=2b,则|a||b|cs=2|b|,而|b|≠0,
于是cs=12.又0≤≤π,则=π3.作OA=a,OB=b,使∠AOB=π3,如图,
由c2=32a·c-5,得(c-34a)2=4,即|c-34a|=2,令OD=34a,OC=c,则|DC|=2,
因此OC的终点C在以点D为圆心,2为半径的圆上,显然对∀t∈R,tb的终点的轨迹是线段OB确定的直线l,于是c-tb是圆D上的点与直线l上的点的距离,过D作线段DE⊥l于E,交圆D于F,所以c-tbmin=EF=DE-2=|OD|sin π3-2=332-2.
答案:332-2
14.(10分)如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,B,D分别在x,y轴正半轴上,AB=4,AD=2,点E为AB上一点,
(1)若DE⊥AC,求AE的长;
(2)若E为AB的中点,AC与DE的交点为M,求cs∠CME.
【解析】(1)由题可得,A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(4,2),则AC=(4,2).
设E(x,0)(0≤x≤4),则DE=(x,-2).
因为DE⊥AC,则DE·AC=4x-4=0⇒x=1,
则E(1,0),故AE的长为1;
(2)若E为AB的中点,则E(2,0),DE=(2,-2),又AC=(4,2),
所以cs∠CME=cs=AC·DEACDE=425×22=1010.
15.(10分)(2023·齐齐哈尔模拟)已知向量a=(cs 32x,sin 32x),向量b=(cs 12x,-sin 12x),x∈[0,π2].
(1)求a·b及a+b ;
(2)若f(x)=a·b-2ta+b的最小值为-32,求t的值.
【解析】(1)由题意可得,a·b=cs 32xcs 12x-sin 32xsin 12x=cs(32x+12x)=cs 2x,
a=cs232x+sin232x=1,b=cs212x+(-sin 12x)2=1,
所以a+b=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2cs2x+1=4cs2x,
又因为x∈[0,π2],则cs x≥0,可得a+b=2cs x,所以a·b=cs 2x,a+b=2cs x.
(2)由(1)可得,f(x)=cs 2x-4tcs x=2cs2x-4tcs x-1,
因为x∈[0,π2],令m=cs x∈0,1,原题意等价于g(m)=2m2-4tm-1在0,1上的最小值为-32,注意到函数g(m)开口向上,对称轴为m=t,则有:若t≥1,则g(m)在[0,1]上单调递减,可得当m=1时,函数g(m)取到最小值g(1)=1-4t=-32,解得t=58,不合题意,舍去;
若0可得当m=0时,函数g(m)取到最小值g(0)=-1≠-32,不合题意,舍去;
综上所述,t的值为12.
【加练备选】
如图,向量OA,OB为单位向量,∠AOB=2π3,点P在∠AOB内部,OP=mOA+nOB,
OP=3,∠AOP=α.
(1)当OP·OB=0时,求m,n的值;
(2)求m+n的取值范围.
【解析】(1)以O为原点,以OA所在的直线为x轴,以过点O垂直x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
因为向量OA,OB为单位向量且∠AOB=2π3,可得A(1,0),B(-12,32),
设P(x,y),其中y>0,可得OA=(1,0),OB=(-12,32),OP=(x,y),
又因为OP·OB=0,可得-12x+32y=0,即x-3y=0,
由OP=3,可得x2+y2=3,联立得x-3y=0x2+y2=3,解得x=32,y=32.
又由OP=mOA+nOB,可得(32,32)=m(1,0)+n(-12,32),可得m=2,n=1.
(2)因为OP=3且∠AOP=α,可得P(3cs α,3sin α),所以OP=(3cs α,3sin α),其中α∈(0,2π3),又因为OP=mOA+nOB,可得(3cs α,3sin α)=m(1,0)+n(-12,32),
可得m-12n=3csα32n=3sinα,解得m=3cs α+sin α,n=2sin α,
所以m+n=3cs α+3sin α=23sin(α+π6).因为α∈(0,2π3),可得α+π6∈(π6,5π6),
当α+π6=π2,即α=π3时,sin(α+π6)=1,可得m+n取得最大值23,
又由m+n>23sin π6=3,所以m+n的取值范围为(3,23].
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)(2023·吕梁模拟)如图,设α∈(0,π),且α≠π2,当∠xOy=α时,定义平面坐标系xOy为α的斜坐标系,在α的斜坐标系中,设e1,e2是分别与x轴,y轴正方向相同的单位向量,若OP=xe1+ye2,记OP=(x,y),则在π3的斜坐标系中下列说法正确的是( )
A.设a=(m,n),b=(s,t),若a=b,则m=s,n=t
B.设a=(1,1),则a=2
C.设a=(m,n),b=(s,t),则a+b=(m+s,n+t)
D.设a=(1,2),b=(2,1),则a与b的夹角为π6
【解析】选AC.a=(m,n)⇔a=me1+ne2,b=(s,t)⇔b=se1+te2.
对于A,a=b,即me1+ne2=se1+te2,则m=s,n=t,A正确;
对于B,a2=(e1+e2)2=e12+2e1·e2+e22=1+2cs π3+1=3,即a=3,B错误;
对于C,由a=(m,n),b=(s,t),得a+b=me1+ne2+se1+te2=(m+s)e1+(n+t)e2=(m+s,n+t),C正确;对于D,若a=(1,2),b=(2,1),则a=e1+2e2,b=2e1+e2,a=b=5+4cs π3=7,
a·b=(e1+2e2)·(2e1+e2)=2e12+5e1·e2+2e22=4+5cs π3=132.由a·b=abcs ,
可得cs =1327×7=1314,即≠π6,D错误.