2025届高考数学一轮复习专练30 平面向量的数量积（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为( )
A.30° B.135° C.75° D.45°
【解析】选D.由a⊥(a-b),则a·(a-b)=a2-a·b=a2-abcs=0,
则1-1×2cs=0,得cs=22,0°≤≤180°,所以=45°.
2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·b=( )
A.9 B.3 C.6 D.94
【解析】选D.因为a+b=5,所以a+b2=25,即得a2+b2+2a·b=25,
又a-b=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=94.
3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是( )
A.(-3,3) B.(3,3)
C.(3,-3) D.(-3,-3)
【解析】选B.因为a=(2,23),b=(3,1),所以a·b=2×3+23×1=43,
b=(3)2+12=2,所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量为a·bb·bb=434(3,1)=(3,3).
4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=( )
A.5 B.10 C.5 D.10
【解析】选A.因为a=(2,1),所以|a|=5,又因为a·b=10,a+b=52,
所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|2=50,解得|b|=5.
5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是( )
A.若a·c=b·c,则a=b
B.若a+b=a-b,则a⊥b
C.若a∥c,b∥c,则a∥b
D.若a∥b,则a·b=a·b
【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,则accs=bccs,
则acs=bcs,但cs与cs不一定相同,
所以得不到a=b,无法得到a=b,故A错误;对于B,若a+b=a-b,
平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;
对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=abcs,
a·b=abcs,若a∥b,则cs=±1,若cs=-1,原式不成立,故D错误.
6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则( )
A.AD=2(AE+AC)
B.AB·(EA+2FA)=|AB|2
C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FE
D.AE在CB方向上的投影向量为32e
【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,
对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,AE+AC=2AO,
而AD=2,OD=EDsin 30°=12,则AO=32,|AE+AC|=2|AO|=3>|AD|,
所以AD≠2(AE+AC),A不正确;对于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,
AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cs 60°=1=|AB|2,B正确;
对于C,FE=BC,则有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正确;
对于D,EF=CB=-e,=150°,|AE|=2|AF|cs 30°=3,
向量AE在CB方向上的投影向量为|AE|cs·CBCB=3cs 150°(-e)=32e,
D正确.
7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB=________.
【解析】由题意,得圆C的半径为5,且AB=5,由余弦定理知,
cs∠ACB=52+52-(5)22×5×5=910,所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cs∠ACB=-5×5×910=-452.
答案:-452
8.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是__________.
【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b2
=2×1×2csπ3-4=-2,且2a-b=4a2+b2-4a·b=4+4-4×1×2csπ3=2,
设向量2a-b与b的夹角为θ,所以cs θ=(2a-b)·b2a-bb=-22×2=-12,
因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b与b的夹角为2π3.
答案:2π3
9.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).
(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;
(2)若(a+kc)⊥(a-2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.
【解析】(1)设d=λa(λ<0),则d=λa=(λ,2λ),
由d=25可得λ2+(2λ)2=25⇒λ=-2,所以d=(-2,-4);
(2)a+kc=(1+3k,2+3k),a-2b=(3,0),由题意得3(1+3k)=0⇒k=-13,
所以a+kc=(0,1),所以a+kc在向量a上的投影向量的模为(a+kc)·aa=0×1+1×212+22=255.
【加练备选】
1.(2023·大庆模拟)已知向量a,b满足a=2,b=(1,1),a·b=-2,则sin=( )
A.12 B.22 C.32 D.1
【解析】选D.由(a+b)·b=a·b+b2=-2+2=0,则cs=(a+b)·b|a+b||b|=0,
由∈[0,π],则=π2,故sin=1.
2. (多选题)已知a=b=a+b=1,下述结论正确的是( )
A.a-b=3 B.(a+b)·b=12
C.=π6 D.(a-2b)·a=0
【解析】选AB.因为a=b=a+b=1,
所以a+b2=a2+2a·b+b2=1⇒a·b=-12⇒=2π3.
对于A项,a-b2=a2-2a·b+b2=3⇒a-b=3,A正确;
对于B项,(a+b)·b=a·b+b2=12,B正确;
对于C项,cs=(a-b)·ba-bb=a·b-b23=-32⇒=5π6≠π6,故C错误;
对于D项,(a-2b)·a=a2-2a·b=2≠0,故D错误.
【能力提升练】
10.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则
t=( )
A.-6B.-5C.5D.6
【解析】选C.c=(3+t,4),cs=cs,即9+3t+165|c|=3+t|c|,解得t=5.
11.(5分)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),下列说法不正确的是( )
A.与向量a方向相同的单位向量是(255,55)
B.(a+b)⊥a
C.向量a在向量b上的投影向量是-102a
D.a+2b=5
【解析】选C.对于A,因为向量a=(2,1),b=(-3,1),所以与向量a共线且方向相同的单位向量为aa=(2,1)22+12=(255,55),故A正确,不符合题意;对于B,因为a=(2,1),b=(-3,1),故a+b=(-1,2),所以(a+b)·a=-1×2+2=0,故(a+b)⊥a成立,故B正确,不符合题意;对于C,向量a在向量b上的投影向量是a(a·bab)·bb=2×(-3)+1×110·b=-12b,故C错误,符合题意;对于D,a+2b=(2,1)+2(-3,1)=(-4,3),故a+2b=(-4)2+32=5,故D正确,不符合题意.
12.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的菱形组成,巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF,下列说法正确的是( )
A.AC-AE=BF
B.AC+AE=23AD
C.AD·AB=|AB|2
D.EC在AB上的投影向量为32AB
【解析】选CD.对A,AC-AE=EC,显然由题图可得EC与BF为相反向量,故A错误;
对B,由图易得AE=AC,直线AD平分∠EAC,
且△ACE为正三角形,根据平行四边形法则有AC+AE=2AH,与AD共线且同方向,
易知△EDH,△AEH均为含π6角的直角三角形,故EH=3DH,
AH=3EH=3DH,则AD=4DH,而2AH=6DH,故2AHAD=32,
故AC+AE=32AD,故B错误;对C,因为∠BCD=∠ABC=2π3,
AB=BC=DC,所以∠BDC=∠DBC=π6,则∠ABD=π2,
又因为AD∥BC,所以∠DAB=π3, AD=2AB,
AD·AB=ADABcsπ3=2AB2×12=AB2,故C正确;
对D,连接AE,作CG垂直AB所在直线,垂足为G,记AB=m,
由C选项可知EA⊥AB,所以EC在AB上的投影向量为AG,
易知在Rt△BCG中,∠CBG=π3,BC=m,所以BG=12m,所以AG=32m,
故AG=32AB,故D正确.
13.(5分)(2023·宁德模拟)在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,
AE=2,AF=6,则AC·BD=__________.
【解析】设AB=a,AD=b,由DE=12EC,BF=12FC,可得AE=AD+DE=13a+b,
AF=AB+BF=a+13b,又因为AE=2,AF=6,
所以AE2=(13a+b)2=19a2+b2+23a·b=2,AF2=(a+13b)2=a2+19b2+23a·b=6,
两式相减得到89a2-89b2=4,可得a2-b2=92,
又由AC=a+b,BD=b-a,所以AC·BD=(a+b)·(b-a)=b2-a2=-92.
答案:-92
【加练备选】
已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=-1,过点O作OD垂直AB于点D,点E满足OE=12ED,则EO·EA的值为__________.
【解析】OA·OB=1×2×cs=2cs=-1,cs=-12,
由于0≤≤π,所以=2π3.AB=12+22-2×1×2×cs2π3=7,
S△OAB=12×7×OD=12×1×2×sin2π3,OD=37,由于OE=12ED,所以OE=37×13=121,
ED=37×23=221,DA=12-(37) 2=27,EA=272+2212=421,
所以cs∠OEA=1212+4212-122×121×421=-12,所以EO·EA=121×421×(-12)=-221.
答案:-221
14.(10分)(2023·滁州模拟)已知平面向量a,b是单位向量,且a⊥(a-2b).
(1)求向量a,b的夹角;
(2)若a-b=(12,-32),向量c与向量a-b共线,且|c|=|a+b|,求向量c.
【解析】(1)因为a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,
又因为a,b是单位向量,设a与b的夹角为θ,
所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2cs θ=0,解得cs θ=12,
又θ∈[0,π],所以θ=π3.
(2)因为|c|=|a+b|,所以|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=3,即|c|=3.
设c=(x,y),则有|c|=x2+y2=3,因为向量c与向量a-b共线,
所以-32x=12y,解得y=-3x,联立两式解得:x=32y=-32或x=-32y=32,
所以c为(32,-32)或(-32,32).
15.(10分)(2023·苏州模拟)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BP=13BC,Q是边AB(含端点)上的动点.
(1)若AQ=25AB,O点为AP与CQ的交点,请用AB,AC表示AO;
(2)若点Q使得AP⊥CO,求cs∠BAC的取值范围.
【解题指南】(1)由已知得AP=23AB+13AC,再由A,O,P三点共线,令AO=λAP,由AQ=25AB得AO=5λ3AQ+λ3AC,然后由C,O,Q三点共线,求出λ作答.
(2)由(1)中信息,设AQ=tAB(0≤t≤1),则CQ=tAB-AC,再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律,求出cs∠BAC,借助函数的单调性求解作答.
【解析】(1)因为BP=13BC,所以AP=23AB+13AC.又A,O,P三点共线,
所以有λ∈R,AO=λAP=2λ3AB+λ3AC,又AB=52AQ,即有AO=5λ3AQ+λ3AC,而C,O,Q三点共线,于是5λ3+λ3=1,解得λ=12,所以AO=13AB+16AC;
(2)由(1)知,AP=13AC+23AB,而CQ=AQ-AC,设AQ=tAB(0≤t≤1),则CQ=tAB-AC,
由AP⊥CO,得AP·CQ=0,即(13AC+23AB)·(tAB-AC)=0,
整理得t3AC·AB-13AC2+23tAB2-23AC·AB=0,即t-23×6cs∠BAC-3+83t=0,
于是cs∠BAC=3-83t2(t-2)=-83(t-2)-732(t-2)=-43-76(t-2),显然函数y=-43-76(t-2)在0,1上单调递增,因此cs∠BAC=-43-76(t-2)∈[-34,-16],所以cs∠BAC的取值范围为[-34,-16].
【加练备选】
如图,设△ABC中的∠BAC,∠ABC,∠ACB所对的边是a,b,c,AD为∠BAC的平分线,已知AB=1,AD=34AB+14AC,ABAB·ACAC=12,点E,F分别为边AB,AC上的动点,线段EF交AD于点G,且△AEF的面积是△ABC面积的一半.
(1)求边BC的长度;
(2)设AG=kAD,AE=λAB,AF=μAC,当AG·EF=4528时,求k的值.
【解题指南】(1)由ABAB·ACAC=12,可得∠BAC=π3,过D分别作DM∥AC,
DN∥AB,交AB,AC于点M,N,由平行线分线段成比例可得AMAB=34,ANAC=14,
进而可得BDDC=ABAC=BMAM=13,结合余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs∠BAC,即可得答案;
(2)由△AEF的面积是△ABC面积的一半,可得λμ=12①,由E,F,G三点共线,得k=23μ+λ,
由AG·EF=4528,得27μ-9λ12μ+4λ=4528②,由①②即可得答案.
【解析】(1)由ABAB·ACAC=12,得cs∠BAC=12,又因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=π3.
又因为AD=34AB+14AC,过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M,N,
所以AMAB=34,ANAC=14,所以BDDC=ABAC=BMAM=13,所以AC=b=3.
又因为a2=b2+c2-2bccs∠BAC=7,所以BC=a=7;
(2)因为AG=kAD,AE=λAB,AF=μAC(0≤λ,μ,k≤1),
△AEF的面积是△ABC面积的一半,
所以12|AE|·|AF|sin∠BAC=12×12|AB|·|AC|sin∠BAC,
所以λμ=12①,
AB·AC=1×3×csπ3=32,
由AD=34AB+14AC,得1kAG=34λAE+14μAF,又因为E,F,G三点共线,
所以1k=34λ+14μ,即k=23μ+λ,所以AG=kAD=34kAB+14kAC,又EF=AF-AE=μAC-λAB,
所以AG·EF=(34kAB+14kAC)·(μAC-λAB)=34kμAC·AB-34kλAB2
+14kμAC2-14kλAC·AB=27μ-9λ12μ+4λ,又因为AG·EF=4528,所以27μ-9λ12μ+4λ=4528②,
由①②解得λ=12,μ=1,所以k=47.
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)定义空间两个非零向量的一种运算:ab=a·b·sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A.λ(ab)=(λa) b
B.ab=ba
C.若ab=0,则a⊥b
D.a⊗b≤a·b
【解析】选BD.对于A,λ(ab)=λa·b·sin,(λa)b=λa·b·sin<λa,b>,
若a,b不共线,且λ为负数,则λ(ab)=λa·b·sin<0,
而(λa) b=λa·b·sin<λa,b>>0,此时λ(ab)≠(λa) b,故A错误;
对于B,由定义知ab=a·b·sin,ba=b·a·sin,故B正确;
对于C,若ab=0,则sin=0,a,b共线,故C错误;
对于D,由定义知ab=a·b·sin,又∈0,π,
故a⊗b=a·b·sin≤a·b,
当且仅当sin=1时等号成立,故D正确.