2025届高考数学一轮复习专练47 利用空间向量研究直线、平面的位置关系（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1)B.1,3,32
C.1,-3,32D.-1,3,-32
【解析】选B.由题意可知符合条件的点P应满足PA·n=0,选项A,PA=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内;
同理可得:选项B,PA=(1,-4,12),PA·n=0,故在平面α内;
选项C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α内;
选项D,PA=(3,-4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α内.
2.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )
A.(1,-2,4)B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)
【解析】选B.设AB=2,
则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),
AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),
设平面AEF的法向量n=(x,y,z),
则n·AE=2y+z=0n·AF=-x+2z=0,
取y=1,得n=(-4,1,-2).
3.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直线l的方向向量,若l⊥α,则x+y=( )
A.-4B.4C.-2D.2
【解析】选C.因为n是直线l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,
所以26=-4x12=1-3y,解得x=-1,y=-1,
所以x+y=-2.
4.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.垂直D.不能确定
【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
因为A1M=AN=2a3,A1B=AC=2a,
所以M(a,23a,a3),N(23a,23a,a),
所以MN=(-a3,0,23a),
又因为C1(0,0,0),D1(0,a,0),
所以C1D1=(0,a,0),所以MN·C1D1=0,
所以MN⊥C1D1.因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.
5.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )
A.BD1⊥平面B1EF
B.BD⊥平面B1EF
C.A1C1∥平面B1EF
D.A1D∥平面B1EF
【解析】选C.以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则B12,2,2,E2,1,0,
F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C1(0,2,2),D(0,0,0),D1(0,0,2).EF=-1,1,0,EB1=0,1,2,BD1=-2,-2,2,DB=2,2,0,A1C1=(-2,2,0),DA1=2,0,2.
设平面B1EF的法向量为m=x,y,z,则m·EF=-x+y=0,m·EB1=y+2z=0,取x=2,则m=(2,2,-1),
因为BD1与m不平行,所以BD1与平面B1EF不垂直,A错误;
因为DB与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,B错误;
因为A1C1·m=0,且直线A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B1EF,C正确;
因为DA1·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF不平行,D错误.
6.(5分)(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的有( )
A.DB1=32
B.向量AE与AC1所成角的余弦值为155
C.平面AEF的一个法向量是(4,-1,2)
D.A1D⊥BD1
【解析】选BCD.根据空间直角坐标系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E为BB1的中点,F为A1D1的中点,所以E(2,2,1),F(1,0,2),
故DB1=|DB1|=22+22+22=23,故A错误;
对于B,因为AE=(0,2,1),AC1=(-2,2,2),
所以|AE|=5,|AC1|=23,
故cs=AE·AC1|AE||AC1|=4+25×23=155,故B正确;
对于C,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),因为AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),
所以n·AE=0 n·AF=0,整理得y=-12zx=2z,令x=4,可得y=-1,z=2,故n=(4,-1,2),故C正确;
对于D,由于A1D=(-2,0,-2),BD1=(-2,-2,2),
故A1D·BD1=0,故A1D⊥BD1,故D正确.
【加练备选】
(多选题)以下命题正确的是( )
A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则l⊥m
B.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β
D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
【解析】选CD.直线l的方向向量a=(1,-1,2),
直线m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,则l与m不垂直,所以A不正确; 直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),
a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,则l∥α或l⊂α,所以B不正确;
两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-12n2=(2,-1,0),则α∥β,所以C正确;
平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,
可得n·AB=-1+u+t=0n·BC=-1+u=0,则u+t=1,所以D正确.
7.(5分)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y+z=________.
【解析】因为AB⊥BC,
所以AB·BC=3+5-2z=0,
所以z=4,所以BC=(3,1,4),
又因为BP⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,
所以BP·AB=x-1+5y+6=0BP·BC=3x-3+y-12=0,
解得x=407y=-157,
因此x+y+z=537.
答案:537
8.(5分)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.写出平面MD1B的一个法向量为________.
【解析】根据题意,在坐标系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),
由于点M在棱C1C上,且CM=2MC1,
因此M(0,3,2),
则D1B=(3,3,-3),D1M=(0,3,-1),
设平面MD1B的一个法向量为n=(x,y,z),
则有D1B·n=3x+3y-3z=0D1M·n=3y-z=0,
令y=1可得,x=2,z=3,则n=(2,1,3),
故平面MD1B的一个法向量为(2,1,3).
答案:(2,1,3)(答案不唯一)
9.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:
(1)PB∥平面EFH;
【证明】(1)因为E,H分别是线段AP,AB的中点,所以PB∥EH.
因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,
所以PB∥平面EFH.
9.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:
(2)PD⊥平面AHF.
【证明】(2)建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).
PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),
因为PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0,
PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.
所以PD⊥AF,PD⊥AH,
所以PD⊥AF,PD⊥AH.
因为AH∩AF=A,且AH,AF⊂平面AHF,所以PD⊥平面AHF.
【能力提升练】
10.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,点P为线段A1C上的动点,则下列结论不正确的是( )
A.当A1C=2A1P时,B1,P,D三点共线
B.当AP⊥A1C时,AP⊥D1P
C.当A1C=3A1P时,D1P∥平面BDC1
D.当A1C=5A1P时,A1C⊥平面D1AP
【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),

当A1C=2A1P时,A1P=(-12,32,-12),
DP=DA1+A1P=(12,32,12),
而DB1=(1,3,1),
所以DP=12DB1,
所以B1,P,D三点共线,A正确,不符合题意;
设A1P=λA1C,A1C=(-1,3,-1),
则AP=AA1+A1P=AA1+λA1C=(-λ,3λ,1-λ).
当AP⊥A1C时,有AP·A1C=5λ-1=0,
所以λ=15,所以AP=(-15,35,45),D1P=D1A1+A1P=(45,35,-15),
所以AP·D1P=(-15,35,45)·(45,35,-15)
=-15≠0,
所以AP与D1P不垂直,B不正确,符合题意;
当A1C=3A1P时,A1P=(-13,33,-13),
D1P=A1P-A1D1=(23,33,-13),
又DB=(1,3,0),DC1=(0,3,1),
所以D1P=23DB-13DC1,
所以D1P,DB,DC1共面,
又D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正确,不符合题意;
当A1C=5A1P时,A1P=(-15,35,-15),
从而AP=(-15,35,45),
又AD1·A1C=(-1,0,1)·(-1,3,-1)=0,所以A1C⊥AD1,
AP·A1C=(-15,35,45)·(-1,3,-1)=0,
所以A1C⊥AP,因为AD1∩AP=A,AD1,AP⊂平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正确,不符合题意.
11.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM所成的角为________.
【解析】以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),N12,0,1,
AM·ON=0,1,12·0,-12,1=0,
所以ON与AM所成的角为90°.
答案:90°
12.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=λNC,且AB1⊥MN,则λ的值为________.
【解析】如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,
以MC,MA,MP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
因为底面边长为1,侧棱长为2,
则A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(12,0,0),
C1(12,0,2),M(0,0,0),
设N(12,0,t),因为C1N=λNC,
所以N(12,0,21+λ),
所以AB1=(-12,-32,2),MN=(12,0,21+λ).
又因为AB1⊥MN,所以AB1·MN=0,
所以-14+41+λ=0,解得λ=15.
答案:15
13.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当DMDD1=________时,ON⊥AM.
【解析】以A为坐标原点,以AB,AD,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),
设正方体的棱长为1,
则A(0,0,0),O(12,12,0),N(12,0,1).
设M(0,1,a)(0≤a≤1),则AM·ON=(0,1,a)·(0,-12,1)=-12+a=0,
解得a=12.故当DMDD1=12时,ON与AM垂直.
答案:12
14.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.
(1)求证:AB⊥PD;
【解析】(1)取AB的中点为O,连接DO,PO,
因为PA=PB,所以PO⊥AB,
又因为底面ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,
所以四边形OBCD为正方形,则DO⊥AB,
又因为DO∩PO=O,且DO,PO⊂平面POD,
所以AB⊥平面POD,又PD⊂平面POD,
所以AB⊥PD;
14.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值;
【解析】(2)PO⊥AB且PO⊂平面PAB,
又因为平面PAB⊥平面ABCD,
且平面PAB∩平面ABCD=AB,
所以PO⊥平面ABCD,则PO⊥DO,
由OA,OD,OP两两垂直,
以OD,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,
因为△PAB为等腰直角三角形,且AB=2,BC=CD=1,
所以OA=OB=OD=OP=1,
则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,-1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),
即PC=(1,-1,-1),
平面PAB的一个法向量为OD=(1,0,0),
设直线PC与平面PAB所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|PC·OD||PC|·|OD|=33,即cs θ=1-sin2θ=63,则所求直线PC与平面ABP所成角的余弦值为63;
14.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.
(3)线段PA上是否存在点E,使得PC∥平面EBD?若存在,求出AEAP的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)线段PA上存在点E,且当AEAP=23时,使得PC∥平面EBD,证明如下:
由PE=13PA=(0,13,-13),得E(0,13,23),
则EB=(0,-43,-23),BD=(1,1,0),
设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),
则n·EB=0n·BD=0,即-43y-23z=0x+y=0,
取y=-1,则x=1,z=2,即n=(1,-1,2),
又PC·n=1×1+(-1)×(-1)+(-1)×2=0,所以PC⊥n,
又因为PC⊄平面EBD,所以PC∥平面EBD,
即点E满足AEAP=23时,有PC∥平面EBD.
【素养创新练】
15.(5分)在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)满足:x2+y2+z2=16,平面α过点M(1,2,3),且平面α的一个法向量n=(1,1,1),则点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.
【解析】因为点P(x,y,z)满足x2+y2+z2=16,
所以点P在以原点O为球心、4为半径的球面上.
球与平面α相交围成的封闭图形为圆,
设圆心为A,则OA⊥α.
因为平面α的一个法向量n=(1,1,1),
所以可设A(t,t,t),
又因为点M(1,2,3),
所以AM=(1-t,2-t,3-t).
因为平面α过点M(1,2,3),
所以n⊥AM,所以n·AM=0,
所以1-t+2-t+3-t=0,解得t=2,
所以|OA|=23,
所以圆A的半径为42-(23)2=2,
所以圆A的面积为4π.
答案:4π