2025届高考数学一轮复习专练34 高考中的解三角形问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练34 高考中的解三角形问题（Word版附解析），共15页。
【基础落实练】
1.(5分)(2023·嘉兴模拟)在△ABC中,sin A=34,sin B=12,a=10,则边长b=( )
A.152 B.154 C.103 D.203
【解析】选D.由正弦定理知,asinA=bsinB,
即1034=b12,解得b=203.
2.(5分)如图所示,某数学兴趣小组为了测量某地“智标塔”高度,在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为60°,塔底C点的仰角为45°. 已知山岭CD高为72米,则塔高BC为( )
A.(722-72)米 B.(723-72)米
C.(726-72) 米 D.(1443-72)米
【解析】选B.在△CDA中,AD=CDtan∠DCA=72×tan 45°=72,在△ABD中,DB=ADtan∠BAD=72×tan 60°=723,
所以BC=BD-CD=72(3-1)米.
3.(5分)(2023·保定模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=8,cs A=13,则△ABC外接圆的半径为( )
A.32 B.62 C.22 D.3
【解析】选A.因为cs A=13>0,A为锐角,所以sin A=1-cs2A=223.
设△ABC外接圆的半径为R,
因为a=8,所以R=a2sinA=82×223=32.
4.(5分)(一题多法)(2023·重庆模拟)已知△ABC满足b2=ac,sin A+sin C=2sin B,则B=( )
A.π3 B.π4 C.π6 D.π12
【解析】选A.因为b2=ac,
则由正弦定理知:sin2B=sin Asin C①,
又sin A+sin C=2sin B②.
方法一:由余弦定理:
cs B=a2+c2-b22ac=sin2A+sin2C-sin2B2sinAsinC=
(sinA+sinC)2-2sinAsinC-sin2B2sinAsinC=sin2B2sin2B=12,
由于B∈(0,π),所以B=π3.
方法二:(sin A-sin C)2=(sin A+sin C)2-4sin Asin C=4sin2B-4sin2B=0,
所以sin A=sin B=sin C,由于A,B,C∈(0,π),
故B=π3.
5.(5分)(多选题)在△ABC中,已知A=30°,且3a=3b=12,则c的值可以是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选BD.由3a=3b=12,得a=4,b=43,又A=30°,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A,即16=48+c2-12c,整理得c2-12c+32=0,解得c=4或c=8.
6.(5分)(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,A=π3,则△ABC的面积可能为( )
A.3 B.23 C.934 D.532
【解析】选ABC.由余弦定理可得cs A=b2+c2-a22bc=12⇒b2+c2-bc=9≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号,此时S△ABC=12bcsin A≤934,当A靠近BC时高较小,此时的面积接近0,故A,B,C符合题意.
7.(5分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acs2B2=a+c,则A=__________.
【解析】由正弦定理得2sin Acs2B2=sin A+sin C,则2sin A·1+csB2=sin A+sin C,
得sin A+sin Acs B=sin A+sin C,
所以sin Acs B=sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B,即cs Asin B=0,
因为0