2025届高考数学一轮复习专练44 空间直线、平面的平行（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练44 空间直线、平面的平行（Word版附解析），共17页。
【基础落实练】
1.(5分)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )
A.α内有无穷多条直线都与β平行
B.直线a∥α,a∥β,且a⊄α,a⊄β
C.α内的任何一条直线都与β平行
D.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α
【解析】选C.C选项是面面平行的定义,A,B,D选项中,平面α与平面β相交时都有可能满足.
2.(5分)在如图所示的正方体或正三棱柱中,M,N,Q分别是所在棱的中点,则满足直线BM与平面CNQ平行的是( )
【解析】选B.A选项中,由正方体的性质可知BM∥B1N,所以直线BM与平面CNQ不平行,故错误;
B选项中,因为NQ∥AC,故平面CNQ即为平面ACNQ,而BM∥AQ,BM⊄平面CNQ,AQ⊂平面CNQ,所以直线BM与平面CNQ平行,故正确;
C选项中,因为NQ∥BC,故平面CNQ即为平面BCNQ,则直线BM与平面CNQ相交于点B,故错误;
D选项中,假设直线BM与平面CNQ平行,过点M作CQ的平行线交A1B1于点D,则点D是在A1B1上靠近点B1的四等分点,由MD∥CQ,MD⊄平面CNQ,CQ⊂平面CNQ,可得MD∥平面CNQ,
又BM与平面CNQ平行,MD∩BM=M,MD,BM⊂平面BDM,则平面BDM∥平面CNQ,
而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别交于BD,QN,则BD与QN平行,
显然BD与QN不平行,假设错误,
所以直线BM与平面CNQ不平行,故错误.
3.(5分)在三棱锥D-ABC中,M,N分别是△ACD和△BCD的重心,以下与直线MN平行的是( )
A.直线CDB.平面ABD
C.平面ACDD.平面BCD
【解析】选B.如图所示,取CD的中点为E,连接AE,BE,由M,N分别是△ACD和△BCD的重心,
可得AMME=21,BNNE=21,
则EMEA=13,ENEB=13,即EMEA=ENEB=13,
所以MN∥AB,
又由图知CD不平行于AB,所以A错误;
由MN∥AB,且MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以MN∥平面ABD,
所以B正确;
因为M∈平面ACD,N∉平面ACD,
所以MN与平面ACD不平行,所以C错误;
因为N∈平面BCD,M∉平面BCD,
所以MN与平面BCD不平行,所以D错误.
4.(5分)已知a,b,c是不全平行的直线,α,β,γ是不同的平面,则下列能够得到α∥β的是( )
A.α⊥γ,β⊥γ
B.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β
C.a⊂α,b⊂α,c⊂α,a∥β,b∥β,c∥β
D.b∥α,b∥β
【解析】选C.对于A,由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知,错误;
对于B,由平面与平面平行的判定定理可知,
若a∥b,则结论不成立,错误;
对于C,因为a,b,c是不全平行的共面直线,即至少两条相交,所以由a⊂α,b⊂α,c⊂α,a∥β,b∥β,c∥β能够得到α∥β成立,正确;
对于D,由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知,错误.
5.(5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为 ( )
A.棱AB的中点B.棱AA1的中点
C.棱BC的中点D.棱A1B1的中点
【解析】选D.对于A:当D为棱AB的中点时,A1C与AC1相交,故A1C与平面BC1D不平行,故A错误;
对于B:当D为棱AA1的中点时,A1C与DC1相交,故A1C与平面BC1D不平行,故B错误;
对于C:当D为棱BC的中点时,A1C与平面BC1D不平行,故C错误;
对于D:如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,连接CE,A1E,
由A1D=BE,A1D∥BE,可得四边形BEA1D为平行四边形,即有A1E∥BD,
由A1E⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,
所以A1E∥平面BDC1,
同理可得CE∥平面BDC1,
由CE∩A1E=E,
可得平面A1CE∥平面BC1D,
由于A1C⊂平面A1CE,
则A1C∥平面BC1D.
6.(5分)(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1EEB1=BFFB1=CGGC1=D1HHC1=2,则下列说法正确的是( )
A.BD1∥GH
B.BD与EF异面
C.EH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
【解析】选BCD.如图所示,连接A1B,D1C,BD,BD1,
根据题意,由A1EEB1=BFFB1=2可得,EF∥A1B,且EFA1B=B1FBB1=B1EA1B1=13;
同理可得GH∥CD1,FG∥BC,且GHCD1=13;
由GH∥CD1,而CD1∩BD1=D1,所以BD1不可能平行于GH,即A错误;
易知BD与EF不平行,且不相交,由异面直线定义可知,BD与EF异面,即B正确;
在长方体ABCD-A1B1C1D1中A1B∥CD1,A1B=CD1,所以EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形;
所以EH∥FG,又BC∥FG,所以EH∥BC;EH⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以EH∥平面ABCD,即C正确;
由EF∥A1B,EF⊄平面A1BCD1,A1B⊂平面A1BCD1,所以EF∥平面A1BCD1;
又BC∥FG,FG⊄平面A1BCD1,BC⊂平面A1BCD1,所以FG∥平面A1BCD1;
又EF∩FG=F,且FG,EF⊂平面EFGH,
所以平面EFGH∥平面A1BCD1,即D正确.
7.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是它们所在棱的中点,则满足A1F∥平面BD1E的图形的序号为________.
【解析】①中,平移A1F至D1F',可知D1F'与平面BD1E有一个交点D1,则A1F与平面BD1E不平行;
②中,由于A1F∥D1E,而A1F⊄平面BD1E,D1E⊂平面BD1E,故A1F∥平面BD1E;
③中,平移A1F至D1F',可知D1F'与平面BD1E有一个交点D1,则A1F与平面BD1E不平行.
答案:②
8.(5分)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交底面ABCD于PQ,Q在CD上,则PQ=________.
【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,MN⊂平面A1B1C1D1,
所以MN∥平面ABCD,
又PQ=平面PMNQ∩平面ABCD,
所以MN∥PQ.
因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,
所以MN∥A1C1∥AC,
所以PQ∥AC,又AP=a3,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,
所以CQ=a3,从而DP=DQ=2a3,
所以PQ=DQ2+DP2=2a32+2a32=223a.
答案:223a
9.(10分)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:(1)BE∥平面DMF;
【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,因为四边形ADEF为平行四边形,所以O为AE的中点,又M为AB的中点,所以MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
9.(10分)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证: (2)平面BDE∥平面MNG.
【证明】(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点,所以DE∥GN,
又因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点,N为AD的中点,
所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,
因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
【能力提升练】
10.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AM=2MA1,BN=2NB1,过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,F,则( )
A.MF∥EB
B.A1B1∥NE
C.四边形MNEF为平行四边形
D.四边形MNEF为梯形
【解析】选D.由于B,E,F三点共面,F∈平面BEF,M∉平面BEF,故MF,EB为异面直线,
故A错误;
由于B1,N,E三点共面,B1∈平面B1NE,A1∉平面B1NE,故A1B1,NE为异面直线,故B错误;
因为在平行四边形AA1B1B中,AM=2MA1,BN=2NB1,
所以AM∥BN,AM=BN,
故四边形AMNB为平行四边形,
所以MN∥AB,MN=AB.
又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF,
平面MNEF∩平面ABC=EF,
所以MN∥EF,所以EF∥AB,
显然在△ABC中,EF≠AB,
所以EF≠MN,
所以四边形MNEF为梯形,故C错误,D正确.
【加练备选】
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中不正确的是( )
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
【解析】选D.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得CC1∥AA1,AA1⊂平面A1ABB1,CC1⊄平面A1ABB1,所以CC1∥平面A1ABB1,故A正确,不符合题意;
AF⊂平面ABC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得平面ABC∥平面A1B1C1,
所以AF∥平面A1B1C1,故B正确,不符合题意;
取A1B1的中点N,又E是A1C1的中点,
所以NE∥C1B1,且NE=12C1B1,
又F是棱BC的中点,所以BF=12C1B1,
BF∥C1B1,所以BF∥NE,BF=NE,
所以四边形BFEN是平行四边形,所以EF∥BN,又BN⊂平面A1ABB1,EF⊄平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1,故C正确,不符合题意;
因为EC1∥AC,但EC1≠AC,所以AE与CC1相交,从而有AE不平行于平面B1BCC1,故D错误,符合题意.
11.(5分)(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=23BD1.则以下四个说法中正确的是( )
A.MN∥平面APC
B.C1Q∥平面APC
C.A,P,M三点共线
D.平面MNQ∥平面APC
【解析】选BC.如图,对于A,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,易得AM,CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的;对于B,由A项知M,N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,AN⊂平面APC,所以C1Q∥平面APC是正确的;对于C,由A项知A,P,M三点共线是正确的;对于D,由A项知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
12.(5分)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,PFFC=________.
【解析】如图,连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以PFFC=AGGC.
又因为AD∥BC,E为AD的中点,
所以AGGC=AEBC=12,所以PFFC=12.
答案:12
13.(5分)在三棱锥S-ABC 中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.
【解析】如图,取AC的中点G,连接SG,BG.
易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,
故AC⊥平面SGB,
所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又因为D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也分别为AS,SC的中点,从而得HF12ACDE,所以四边形DEFH为平行四边形.因为
AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=(12AC)·(12SB)=452.
答案:452
14.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为面对角线BD,CD1上的点,且CQQD1=BPPD=23.
(1)求证:PQ∥平面A1D1DA;
【解析】(1)连接CP并延长与DA的延长线交于M点,如图,连接MD1,
因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,
故△PBC∽△PDM,所以CPPM=BPPD=23,
又因为CQQD1=BPPD=23,所以CQQD1=CPPM=23,所以PQ∥MD1.
又MD1⊂平面A1D1DA,PQ⊄平面A1D1DA,故PQ∥平面A1D1DA.
14.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为面对角线BD,CD1上的点,且CQQD1=BPPD=23.
(2)若R是AB上的点,ARAB的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA?请给出证明.
【解析】(2)当ARAB的值为35时,能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图.
证明如下:因为ARAB=35,即BRRA=23,故BRRA=BPPD,所以PR∥DA.
又DA⊂平面A1D1DA,PR⊄平面A1D1DA,
所以PR∥平面A1D1DA,
又PQ∥平面A1D1DA,PQ∩PR=P,
PQ,PR⊂平面PQR,
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
15.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,M为线段PD上一点,N为BC的中点.
(1)当M为PD的中点时,求证:MN∥平面PAB.
【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,
取AP的中点为E,连接EM,EB,
在△PAD中,M为PD的中点,E为AP的中点,
所以EM∥AD,EM=12AD,
在平行四边形ABCD中,N为BC的中点,
所以BN∥AD,BN=12AD,
所以BN∥ME,BN=ME,
所以四边形BNME为平行四边形,
所以MN∥BE,又因为MN⊄平面PAB,BE⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB;
15.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,M为线段PD上一点,N为BC的中点.
(2)当PB∥平面AMN时,求出点M的位置,说明理由.
【解析】(2)M为PD上靠近P点的三等分点,理由如下:连接AN,BD,相交于O,连接OM,
因为PB∥平面AMN,平面PBD∩平面AMN=OM,PB⊂平面PBD,
所以PB∥OM,PMMD=OBOD=BNAD=12,
即M为PD上靠近P点的三等分点.
【素养创新练】
16.(5分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是( )
A. [1,52]B. [324,52]
C. [52,2]D.[2,3]
【解析】选B.如图,取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,
可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.因为A1M=A1N=1+(12) 2=52,MN=(12) 2+(12) 2=22,
所以当点P位于M,N点时,A1P最大,
当点P位于MN的中点O时,A1P最小,
此时A1O=(52) 2-(24) 2=324,
所以324≤|A1P|≤52,所以线段A1P长度的取值范围是[324,52].