2025届高考数学一轮复习专练45 空间直线、平面的垂直（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是( )
A.若m⊥l,n∥l,则m⊥n
B.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β
【解析】选AB.C中,α与β可能平行或相交;
D中,α与β可能平行或相交.
2.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α
B.l⊥m,m∥α
C.α⊥β,l∥β
D.l∥m,m⊥α
【解析】选D.对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A错误;
对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;
对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C错误;
对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D正确.
3.(5分)《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是( )
A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑
B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑
C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑
D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-BCD是鳖臑
【解析】选D.不妨设PD=CD=BC=2,则DE=BE=3,BD=22,
所以cs∠BED=DE2+BE2-BD22DE·BE=-13|PN|;
(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;
(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.
【解析】由A,N,C三点共线,M为AP的中点,可得直线CA,PM为相交直线,所以CM,PN为相交直线,故(1)错误;
设正方体的棱长为2,则AC=22,AP=5,AM=52,AN=2,CM2=AM2+AC2-2AM·AC·cs∠PAC=54+8-210cs∠PAC=374-210cs∠PAC,PN2=AN2+AP2-2AN·AP·cs∠PAC=2+5-210cs∠PAC=7-210cs∠PAC,CM2-PN2=374-7=94>0,即|CM|>|PN|,故(2)正确;
在C1D1上取一点K,连接KP,KC,A1C1,使得PK∥A1C1,
由A1C1∥AC,可得PK∥AC,
则截面PKCA为过P,A,C的正方体的截面,由正方体的性质可得AP=CK,
则过P,A,C三点的正方体的截面是等腰梯形,故(3)错误;
由正方形的性质可得AC⊥BD,
B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,可得B1B⊥AC,BD∩B1B=B,
所以AC⊥平面BDD1B1,
又AC⊂平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故(4)正确.
答案:(2)(4)
8.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).
(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;
【解析】(1)结论:四边形BCEF不可能是平面四边形.理由如下:若B,C,E,F共面,则由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,
又BC∥AD,则AD∥EF,矛盾.
所以四边形BCEF不可能是平面四边形.
8.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).
(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.
【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD,
又因为EF⊥CF,FD∩CF=F,
所以EF⊥平面CDF,又CD⊂平面DCF,
所以EF⊥CD,
又因为CD⊥AD,而AD,EF延长后相交,
所以CD⊥平面ADEF,
又因为CD⊂平面ABCD,
所以平面ADEF⊥平面ABCD.
【能力提升练】
9.(5分)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
【解析】选A.由AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,则AC⊥平面ABD,而AC⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD,因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上.
【加练备选】
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
【解析】选A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
10.(5分)(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
【解析】选BD.对于A,显然AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;对于C,显然AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于D,因为ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理CE⊥AB,因为ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.
11.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面:________.
【解析】如图,连接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,
易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,故BD⊥平面ACC1A1,因为A1O⊂平面ACC1A1,故BD⊥A1O,设正方体的棱长为2,
则A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2
=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,
故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.
答案:平面GBD(答案不唯一)
12.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,平面BED1交棱AA1于点F.给出下列四个结论:
①存在点E,使得A1C1 ∥平面BED1F;
②存在点E,使得B1D ⊥平面BED1F;
③对于任意的点E,平面A1C1D⊥平面BED1F;
④对于任意的点E,四棱锥B1-BED1F的体积均不变.其中,所有正确结论的序号是________.
【解析】①当E为棱CC1的中点时,
F也为棱AA1的中点,此时A1C1∥EF;
满足A1C1∥平面BED1F成立,所以①正确.
②因为BD1⊂平面BED1F,所以若存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,则B1D⊥BD1,则矩形BDD1B1是正方形或菱形,
在正方体中,BD=2BB1.则矩形BDD1B1不可能是正方形或菱形,
所以不可能存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,所以②错误.
③连接D1B,则D1B⊥平面A1C1D,而D1B⊂平面BED1F,所以平面A1C1D⊥平面BED1F成立,所以③正确.
④四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1-BB1E+VD1-B1BF,
设正方体的棱长为1,因为无论E,F在何点,△BB1E的面积为12×1×1=12为定值,三棱锥D1-BB1E的高D1C1=1,保持不变.
△BB1F的面积为12×1×1=12为定值,
三棱锥D1-BB1F的高为D1A1=1,保持不变.
所以三棱锥D1-BB1E和三棱锥D1-BB1F的体积均为定值,即四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1-BB1E+VD1-B1BF为定值,所以④正确.
答案:①③④
13.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)求证:AA1⊥A1B;
【解析】(1)因为平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BC⊥AC,
所以BC⊥平面AA1C1C.
又AA1⊂平面AA1C1C,
所以BC⊥AA1.
因为∠AA1C=90°,所以AA1⊥A1C.
又因为BC∩A1C=C,
所以AA1⊥平面A1BC.又A1B⊂平面A1BC,所以AA1⊥A1B.
13.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(2)若AA1=2,BC=3,∠A1AC=60°,求点C到平面A1ABB1的距离.
【解析】(2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC,A1A⊂平面A1ABB1,
所以平面A1BC⊥平面A1ABB1,且交线为A1B,
所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的A1B边上的高,设其为h.
在Rt△AA1C中,A1A=2,∠A1AC=60°,则A1C=23.
由(1)得BC⊥A1C,
所以在Rt△A1CB中,BC=3,A1B=21,
h=BC·A1CA1B=677.
故点C到平面A1ABB1的距离为677.
14.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD;
【解析】(1)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD,所以BG⊥平面PAD.
14.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.
(2)求证:AD⊥PB;
【解析】(2)如图,连接PG,因为△PAD为正三角形,G为线段AD的中点,
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD,又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.
14.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
【解析】(3)能,当F为线段PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:
取线段PC的中点F,连接DE,EF,DF.
在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE.
而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB=B,
所以平面DEF∥平面PGB.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,PG⊥AD,
所以PG⊥平面ABCD.
又PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.
【素养创新练】
15.(5分)正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角如图所示,M为矩形AEFD内的一点,MO⊥EF于点O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么线段MO的长为__________.
【解析】设MO=x,x>0,由于平面AEFD⊥平面BEFC,且交线为EF,MO⊥EF,所以MO⊥平面BEFC,则MO⊥OB,
所以tan∠MBO=MOOB=xOB=12,则OB=2x,
则OE=4x2-1,OF=2-4x2-1,BM=5x,EM=5x2-1,BE2+EM2=BM2,BE⊥EM.
OC2=(2-4x2-1)2+12,
MC2=2-4x2-12+12+x2,
由于∠MBE=∠MBC,所以cs∠MBE
=cs∠MBC,即15x
=5x2+22-[(2-4x2-1) 2+12+x2]2×5x×2,
解得x=22,即MO=22.
答案:22