高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.1.1空间几何体(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.1.1空间几何体(题型战法)(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了柱体，锥体，台体，球体等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 简单几何体
1.柱体
（1）棱柱
侧面积： (直)，（：直截面周长，l：斜棱长）
体积:
（2）圆柱

表面积：
侧面积：
体积：
2.锥体
（1）棱锥
侧面积:（为底面周长，为斜高）。
体积:
（2）圆锥
表面积：
侧面积：
体积：
3.台体
（1）棱台
体积：
（2）圆台
表面积：
体积：
4.球体
表面积：
体积：
二 空间几何体的外接球与内切球
1.球的外接
（1）长方体外接球半径计算公式为：
（2）正方体外接球半径计算公式为：
（3）正四面体外接球半径计算公式：（为棱长）
（4）正棱锥外接球的半径计算方法：顶点，球心，底面外接圆的圆心三点共线，可利用直角三角形求解；即：（其中：为底面外接圆的半径，可通过正弦定理进行计算，为三棱锥的高，为外接球的半径）
（5）直三棱柱的外接球半径计算方法：（为直棱柱高的一半，r为三角形外接球的半径）
（6）直角四面体的外接球球心在直角三角形斜边的中点处。
2.球的内切
（1）正方体的内切球半径为：；长方体无内切球。
（2）直三棱柱的内切球满足条件：（1）棱柱的高为内切球半径的2倍，即：（2）记三棱柱底面三边长为；则（为底面三角形的面积）
（3）正三棱柱的内切球半径计算公式为：，
（4）三棱锥的内切球体积计算公式为：
（5）正四面体内切球半径计算公式为：
（6）四棱锥内切球体积计算公式为：
题型战法
题型战法一 柱体的表面积
典例1．底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是（ ）．
A．3B．C．D．
变式1-1．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）
A．B．
C．D．
变式1-2．如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2
变式1-3．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
变式1-4．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
题型战法二 柱体的体积
典例2．如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A．B．1C．D．
变式2-2．正三棱柱中所有棱长均为2，点E是则棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．正三棱柱的侧面积是
B．正三棱柱的体积是3
C．当E是中点时，AE与平面所成角的正弦值为
D．的最小值为
变式2-3．如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周形成一个圆柱，则该圆柱的体积为（ ）
A．3πB．6πC．12πD．16π
变式2-4．已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（ ）
A．1B．C．2D．
题型战法三 锥体的表面积
典例3．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-1．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图所示，在四棱柱中，棱锥即为阳马，已知，则阳马的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-3．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式3-4．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
题型战法四 锥体的体积
典例4．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）
A．B．C．2D．
变式4-1．已知直三棱柱的体积为，则三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（ ）
A．2B．3C．4D．6
变式4-3．在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（ ）
A．25πB．75πC．100πD．300π
题型战法五 台体的表面积与体积
典例5．已知一个正三棱台的两个底面边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）
A．80B．240C．350D．640
变式5-1．若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（ ）
A．6B．6π
C．3πD．6π
变式5-2．圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（ ）（注：圆台的体积）
A．B．C．D．
变式5-4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装( )
A．B．C．D．
题型战法六 球体的表面积与体积
典例6．一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ）
A．9πB．18πC．36πD．72π
变式6-1．表面积为的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．一个球的表面积为，则这个球的半径为（ ）
A．6B．12C．D．
变式6-3．如果两个球的表面积之比为4︰9，那么两个球的体积之比为（ ）
A．4︰9B．2︰3C．8︰27D．4︰27
变式6-4．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
题型战法七 外接球问题（柱体或可还原为柱体的锥体）
典例7．我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dă），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（ ）（注:1丈=10尺，取3）
A．1185 平方尺B．1131 平方尺C．674 平方尺D．337 平方尺
变式7-1．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式7-2．《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式7-3．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式7-4．在四面体中，，平面，且，则该四面体的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
题型战法八 外接球问题（正棱锥、圆锥、台体）
典例8．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式8-1．某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式8-2．已知正四棱锥中，，，则该棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式8-3．在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式8-4．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
题型战法九 内切球问题
典例9．已知正方体的表面积为24，设它的外接球的表面积为，它的内切球的体积为，则与的值分别为：（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式9-1．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
变式9-2．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )
A．πB．C．2πD．3π
变式9-3．已知正四面体的棱长为，其外接球表面积为，内切球表面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式9-4．如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
第七章 空间向量与立体几何
7.1.1 空间几何体（题型战法）
知识梳理
一 简单几何体
1.柱体
（1）棱柱
侧面积： (直)，（：直截面周长，l：斜棱长）
体积:
（2）圆柱

表面积：
侧面积：
体积：
2.锥体
（1）棱锥
侧面积:（为底面周长，为斜高）。
体积:
（2）圆锥
表面积：
侧面积：
体积：
3.台体
（1）棱台
体积：
（2）圆台
表面积：
体积：
4.球体
表面积：
体积：
二 空间几何体的外接球与内切球
1.球的外接
（1）长方体外接球半径计算公式为：
（2）正方体外接球半径计算公式为：
（3）正四面体外接球半径计算公式：（为棱长）
（4）正棱锥外接球的半径计算方法：顶点，球心，底面外接圆的圆心三点共线，可利用直角三角形求解；即：（其中：为底面外接圆的半径，可通过正弦定理进行计算，为三棱锥的高，为外接球的半径）
（5）直三棱柱的外接球半径计算方法：（为直棱柱高的一半，r为三角形外接球的半径）
（6）直角四面体的外接球球心在直角三角形斜边的中点处。
2.球的内切
（1）正方体的内切球半径为：；长方体无内切球。
（2）直三棱柱的内切球满足条件：（1）棱柱的高为内切球半径的2倍，即：（2）记三棱柱底面三边长为；则（为底面三角形的面积）
（3）正三棱柱的内切球半径计算公式为：，
（4）三棱锥的内切球体积计算公式为：
（5）正四面体内切球半径计算公式为：
（6）四棱锥内切球体积计算公式为：
题型战法
题型战法一 柱体的表面积
典例1．底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】直接求表面积即可.
【详解】
表面积为.
故选：D.
变式1-1．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.
【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.
故选:B.
变式1-2．如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1B．1∶
C．1∶D．1∶2
【答案】C
【分析】首先设正方体的边长为，再计算正方体的表面积和三棱锥D1­AB1C的表面积，即可得到答案.
【详解】设正方体的边长为，则表面积，
因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．
则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积，
所以.
故选：C
变式1-3．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
【答案】A
【分析】根据题意求出圆柱的底面半径和高，直接求侧面积即可.
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为.
故选：A
变式1-4．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意和题设条件，求得圆柱的底面半径和母线长，结合圆的面积公式和圆柱的侧面积公式，即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，可得，
所以圆柱的表面积为.
故选：A.
题型战法二 柱体的体积
典例2．如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】该四棱柱的体积为，由此能求出结果．
【详解】在四棱柱中，底面是正方形，
底面，，，
该四棱柱的体积为．
故选：C．
变式2-1．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据棱柱体积公式求得结果.
【详解】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是
故选：A
【点睛】本题考查棱柱体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式2-2．正三棱柱中所有棱长均为2，点E是则棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．正三棱柱的侧面积是
B．正三棱柱的体积是3
C．当E是中点时，AE与平面所成角的正弦值为
D．的最小值为
【答案】D
【分析】根据正三棱锥的特性，逐项判断正误.
【详解】A项，正三棱柱得侧面积为，A项错误；
B项，正三棱柱得体积为，B项错误；
C项，当是中点时，，点到平面的距离为，设与平面的夹角为，故，C项错误.
D项，由题可知，当是中点时，的值最小，为，D项正确.
故选：D.
变式2-3．如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周形成一个圆柱，则该圆柱的体积为（ ）
A．3πB．6πC．12πD．16π
【答案】C
【分析】根据题意得到圆柱的底面半径和高，结合体积公式，即可求解.
【详解】由题意，矩形中，，
即圆柱的底面圆的半径为，高为，
所以圆柱的体积为.
故选：C.
变式2-4．已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】设该正三棱柱的底面边长为a，由体积求出，即可求出侧面的对角线长.
【详解】设该正三棱柱的底面边长为a，由题可知该正三棱柱的体积，所以，
即该正三棱柱的底面边长为，高为，故一个侧面的对角线长为.
故选：C
题型战法三 锥体的表面积
典例3．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答.
【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，
所以四棱锥的表面积为.
故选：C
变式3-1．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图所示，在四棱柱中，棱锥即为阳马，已知，则阳马的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合线面垂直的判定与性质可得到，，，均为直角三角形，分别求得各面的面积，加和即可得到所求的阳马的表面积.
【详解】由题意知：平面，
平面，，
又，平面，，平面，
平面，；同理可得：；
则，，，均为直角三角形，
，，
，，，
阳马的表面积.
故选：B.
变式3-2．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依次计算4个三角形的面积，相加即可.
【详解】
结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形,则,，则表面积为.
故选：C.
变式3-3．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积公式求解即可
【详解】由题可知，该圆锥的底面半径为，因此，该圆锥表面积为
故选：A
变式3-4．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的性质可以列弧长与圆心角的等式，即可求出底面圆半径，再分别算出圆锥表面积与侧面积即可得到比值
【详解】由题，，，，故
故选：C
题型战法四 锥体的体积
典例4．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】首先求出锥体的高，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】解：由题意得正六棱锥的高为，所以体积.
故选：A
变式4-1．已知直三棱柱的体积为，则三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积.
【详解】设三棱锥的高为，则.
故选：D.
变式4-2．如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】三棱锥的底面积是长方体底面积的一半，高为长方体的，故体积为长方体的.
【详解】
故选：C.
变式4-3．在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为，进而即得.
【详解】∵在中，，，
∴，边上的高为2，
由题可知该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为，
所以该几何体的体积为．
故选：A.
变式4-4．交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（ ）
A．25πB．75πC．100πD．300π
【答案】C
【分析】设出底面半径，利用侧面积求出半径，进而利用圆锥体积公式进行所求解.
【详解】设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则，解得：，所以该圆锥体交通锥的体积为
故选：C
题型战法五 台体的表面积与体积
典例5．已知一个正三棱台的两个底面边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）
A．80B．240C．350D．640
【答案】B
【分析】根据已知棱台的上下底面边长以及侧棱长，可求得侧面梯形的高，进而求得侧面积.
【详解】由题意可知，该棱台的侧面为上、下底分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，
∴等腰梯形的高为，
∴等腰梯形的面积为，
∴该棱台的侧面积为.
故选：B.
变式5-1．若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（ ）
A．6B．6π
C．3πD．6π
【答案】C
【分析】根据圆台侧面积的计算公式代入即可.
【详解】解：由题意得：
∵圆台的母线长为
又上底面圆的半径为，下底面圆的半径为
∴圆台的侧面积为：
故选：C
变式5-2．圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.
【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h.,
由圆台的上、下底面的面积分别是，，得所以，，
由圆台侧面积公式可得，所以，
所以，
所以该圆台的体积
.
故选：D.
变式5-3．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（ ）（注：圆台的体积）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆台的体积公式求出圆台的高，再根据圆台轴截面性质，利用勾股定理求出母线长即可.
【详解】依题意，圆台的体积，
解得，故圆台的母线长，
故选: ．
变式5-4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据台体的体积计算公式即可计算．
【详解】由台体的体积公式可知，
，，
故选：C．
题型战法六 球体的表面积与体积
典例6．一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ）
A．9πB．18πC．36πD．72π
【答案】C
【分析】根据球的体积可求球的半径，从而可求球的表面积.
【详解】设球的半径为，则，故，所以球的表面积为，
故选：C.
变式6-1．表面积为的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据球的表面积公式求解球的半径，再根据体积公式求解即可
【详解】设该球的半径为，则由题可得，解得，故体积为
故选：B
【点睛】本题主要考查了球的表面积和体积公式，属于基础题
变式6-2．一个球的表面积为，则这个球的半径为（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】A
【分析】结合球的表面积公式计算即可.
【详解】由题意得，设球的半径为R，
则，
解得.
故选：A
变式6-3．如果两个球的表面积之比为4︰9，那么两个球的体积之比为（ ）
A．4︰9B．2︰3C．8︰27D．4︰27
【答案】C
【分析】由两个球的表面积之比为4︰9可得它们的半径之比为，然后可得它们的体积之比为.
【详解】因为球的表面积公式为，体积公式为
所以由两个球的表面积之比为4︰9可得它们的半径之比为
所以它们的体积之比为
故选：C
【点睛】本题考查的是球的表面积和体积公式，较简单.
变式6-4．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.
【详解】由题知，
则.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.
题型战法七 外接球问题（柱体或可还原为柱体的锥体）
典例7．我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dă），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（ ）（注:1丈=10尺，取3）
A．1185 平方尺B．1131 平方尺C．674 平方尺D．337 平方尺
【答案】B
【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.
【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：
则，即，
假设点为圆柱外接圆的圆心，即为外接圆的半径，且，
在中，，解得，
则外接球的表面积，
故选：B.
变式7-1．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直棱柱外接球的性质可知∥，，利用求外接球的半径．
【详解】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积
故选：C．
变式7-2．《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意将四面体画在长方体中，即可知道四面体的外接球直径为长方体的体对角线，则可求出答案.
【详解】由题意可知四面体如图所示，
则面体外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为.
故选：D.
变式7-3．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用补形法还原为正方体问题，然后用公式求解.
【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径.
所以三棱锥外接球表面积.
故选：B.
变式7-4．在四面体中，，平面，且，则该四面体的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，将四面体补形成如图所示的正三棱柱，其中底面边长为，侧棱长为，则四面体的外接球即为正三棱柱的外接球；由直棱柱的特点可知上下底面的中心连线的中点，即为正三棱柱外接球的球心，由此构造直角三角形即可求出外接球的半径，进而求出结果.
【详解】由题意可知，将四面体补形成如图所示的正三棱柱，其中底面边长为，侧棱长为，则四面体的外接球即为正三棱柱的外接球；
取上下底面的中心，则线段的，即为正三棱柱外接球的球心，
根据正弦定理可知，
连接，，则在直角三角形中，，即外接球的半径为，所以四面体外接球的表面积为.
故选：D.
题型战法八 外接球问题（正棱锥、圆锥、台体）
典例8．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将正四面体补形成正方体，借助正方体求出外接球半径作答.
【详解】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，
则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，
所以正四面体的外接球体积为．
故选：A
变式8-1．某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由圆锥的外接球与轴截面相关线段的几何关系列方程求外接球的半径，进而求外接球的表面积.
【详解】设该圆锥外接球的半径为R，则，解得R=，
故该圆锥外接球的表面积S=4πR2=.
故选：D
变式8-2．已知正四棱锥中，，，则该棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得外接球的半径，从而求得外接球的体积.
【详解】正方形的对角线长，
正四棱锥的高为，
设外接球的半径为，则，
所以外接球的体积为.
故选：B
变式8-3．在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正棱锥以及等体积法得出的长，再由正方体的外接球的半径得出该三棱锥外接球的半径，进而得出所求外接球的表面积.
【详解】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等.设，则.
根据，得，
解得.
设三棱锥外接球的半径为，则，所以.
故所求外接球的表面积为.
故选：A.
变式8-4．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长，进而可求圆台的高，根据球的性质，即可利用球心与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解.
【详解】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为
故选：B
题型战法九 内切球问题
典例9．已知正方体的表面积为24，设它的外接球的表面积为，它的内切球的体积为，则与的值分别为：（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】求出正方体棱长，外接球直径等于对角线长，内切球直径等于棱长，进而得出结果.
【详解】设正方体棱长为，外接球半径为，内切球半径，则，则正方体对角线长度为.
∴,
∴内切球体积，外接球表面积.
故选：A.
变式9-1．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得.
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
依题意，.
故选：B
变式9-2．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )
A．πB．C．2πD．3π
【答案】C
【分析】设内切球的半径为，利用轴截面，根据三角形等面积公式，可以求出，进而可以求出该圆锥内切球的表面积.
【详解】设内切球的半径为，利用轴截面，根据三角形等面积公式，可得
，解得，圆锥内切球的表面积为，故本题选C.
【点睛】本题考查了圆锥内切球的表面积，考查了数学运算能力.
变式9-3．已知正四面体的棱长为，其外接球表面积为，内切球表面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，
由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．
在Rt△中，，即，
又，可得，，故选C．
（或由等体积法设内切球半径为，外接球半径为，正四面体的侧面积为，易有，有）
考点：正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积．
变式9-4．如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，由于三棱锥是正四面体，因此是底面三角形中心，是中点，由球表面积求得球半径，在直角三角形中求出正四面体的棱长，然后由体积公式计算．
【详解】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的中心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为.
故选：D.