高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.3.2空间向量在立体几何中的应用(针对练习)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.3.2空间向量在立体几何中的应用(针对练习)(原卷版+解析)，共54页。
针对练习一 空间向量的线性运算
1．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．在平行六面体中，，设，，，则向量( )
A．B．
C．D．
4．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
针对练习二 空间向量的坐标运算
6．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．已知向量，b=1,−2，，若，则实数（ ）
A．－2B．2C．1D．－1
8．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．D．或
9．若向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．0B．C．D．
10．已知向量a=−3,2,4，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
针对练习三 空间向量共面定理
11．，若三向量共面，则实数（ ）
A．3B．2C．15D．5
12．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（ ）
A．－1B．0C．1D．－6
13．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
14．在下列等式中，使点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
针对练习四 线线角的向量求法
16．如图：在多面体中，底面是正方形，，．底面．
(1)证明：平面．
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
17．如图：在长方体中，，，，是的中点，是的中点.
(1)求异面直线，所成角的余弦值.
(2)求三棱锥的体积
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
19．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）).
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
20．在直三棱柱中，，，，M是侧棱上一点，设．
（1）若，求多面体的体积；
（2）若异面直线BM与所成的角为，求h的值．
针对练习五 线面角的向量求法
21．如图， 在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点．
(1)试确定点E的位置，并证明平面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．
23．如图，四边形中，，且，沿着翻折，当三棱锥体积最大值时．
(1)求此时三棱锥的体积；
(2)求此时直线与平面夹角的正弦值．
24．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．
(1)求证：；
(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
25．在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
针对练习六 二面角的向量求法
26．如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面.
(1)求的长;
(2)求二面角的余弦值.
27．如图 ， 在四棱雉 中， 底面 ， 点在线段 上， ．
(1)求证： ;
(2)若 ， 且 ， 求平面 与平面 夹角的余弦值．
28．如图，平面平面，，，，，，，平面与平面交于．
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值．
29．长方形中，，是中点（图），将沿折起，使得（图）在图中
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．
30．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
针对练习七 空间向量中的距离问题
31．如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面的距离；
(2)直线到平面的距离．
32．如图所示，平面平面，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，，，，，．
(1)证明：C、D、F、E四点共面；
(2)设，求点F到平面的距离．
33．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)若点P为线段上靠近点的三等分点，求点到平面的距离？
34．如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：平面PFQ；
(2)求直线AE与平面PFQ间的距离．
35．如图，在三棱柱中，平面，，，M为线段上的动点.
(1)证明：；
(2)若E为的中点，求点到平面的距离.
第七章 空间向量与立体几何
7.3.2空间向量在立体几何中的应用（针对练习）
针对练习
针对练习一 空间向量的线性运算
1．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．
故选：A．
2．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
3．在平行六面体中，，设，，，则向量( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.
【详解】．
故选：C．
4．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.
【详解】.
故选：B.
5．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图形即可得解.
【详解】根据题意可得:
故选：D.
针对练习二 空间向量的坐标运算
6．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据空间向量平行的坐标运算计算得解.
【详解】因为，所以，所以，，所以，解得，.
故选：C.
7．已知向量，b=1,−2，，若，则实数（ ）
A．－2B．2C．1D．－1
【答案】B
【分析】由向量坐标运算求出，根据，得，计算可得.
【详解】，因为，所以，所以，所以2.
故选：B
8．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】由已知条件，先求出，从而即可求解.
【详解】解：因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.
9．若向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.
【详解】设向量与的夹角为，且，
所以，，
所以，
故选：D
10．已知向量a=−3,2,4，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
【答案】C
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】由题设，则.
故选：C
针对练习三 空间向量共面定理
11．，若三向量共面，则实数（ ）
A．3B．2C．15D．5
【答案】D
【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.
【详解】∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得．
故选：D．
12．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（ ）
A．－1B．0C．1D．－6
【答案】D
【分析】根据向量共面列方程，化简求得.
【详解】，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
13．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.
故选：D.
14．在下列等式中，使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合共面性质，或且判断即可.
【详解】对ABD，变形后均不满足且，故ABD错误；
对C，，满足，故C正确.
故选：C
15．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】B
【分析】先将题中条件：“”化成：“”利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．
【详解】P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．
.又动点Q在所在平面内运动，
所以，解得.
故选：B
针对练习四 线线角的向量求法
16．如图：在多面体中，底面是正方形，，．底面．
(1)证明：平面．
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，取的中点，连接，，证得，，得到四边形是平行四边形，得出，进而证得平面；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得则，，结合向量的夹角公式，即可求解.
(1)
证明：如图（1），连接，交于点，取的中点，连接，，
因为底面是正方形，所以是的中点，所以，，
又由，，所以，，
故四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
(2)
解：以点为坐标原点，建立如图（2）所示的空间直角坐标系，
设，则，
则，，
设异面直线与所成角的大小为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17．如图：在长方体中，，，，是的中点，是的中点.
(1)求异面直线，所成角的余弦值.
(2)求三棱锥的体积
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）以A为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用向量法即可求解；
（2）求出平面的法向量，即可用向量法求出到平面的距离，从而根据三棱锥的体积公式即可求解.
（1）
解：以A为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设异面直线，所成角为，则；
（2）
解：，，，
设为平面的法向量，则，即，
令，得，
所以到平面的距离，
又，
所以.
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.
(1)
，，故，所以的长为；
(2)
，由（1）知：，
设直线与所成角为
∴csθ=csAC,BD1=AC⋅BD1AC⋅BD1=−822×26=33，
∴直线与所成角的余弦值为.
19．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）).
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】（1）由已知条件推导出，从而得到，折叠后有，由此能够证明平面；
（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，可求得，，由题意根据两向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）证明：题图（1）中，由已知可得：
，，.
从而
故得，所以，.
所以题图（2）中，，，
∵面面
面面
面
∴面
（2）解：存在.由（1）知，平面.
以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，
∴
，
∴
∴.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：
（1）利用面面垂直的性质，结合线线垂直的条件，证得线面垂直；
（2）结合（1）的条件，建立空间直角坐标系，假设存在对应的点P，设，利用空间向量解决线线角的余弦值，建立关于的关系式，求得结果.
20．在直三棱柱中，，，，M是侧棱上一点，设．
（1）若，求多面体的体积；
（2）若异面直线BM与所成的角为，求h的值．
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）多面体的体积为，由此能求出结果；
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h的值.
【详解】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，
，M是侧棱C1C上一点，设MC＝，
∴多面体ABM﹣A1B1C1的体积为：
＝﹣
＝
＝.
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），M（2，0，h），A1（0，2，2），C1（2，0，2），
＝（2，0，h），＝（2，﹣2，0），
∵异面直线BM与A1C1所成的角为60°，
∴cs60°＝＝，
由h＞0，解得h＝2.
【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
针对练习五 线面角的向量求法
21．如图， 在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合勾股定理证明线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；
（2）利用坐标法求线面夹角正弦值.
（1）
由已知得，，，
，，
，，
，
又，且，平面，
平面，
又平面，
，
在正三角形中，为的中点，则，
又，且，平面
平面；
（2）
如图所示，取的中点为，的中点为，
由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则.
22．如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点．
(1)试确定点E的位置，并证明平面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)点E的位置见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）延长线段，交AC的延长线于点P，可得点P即为所求的点E，连接，交于点F，连接BE，FD，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）取AC的中点O，连接，OB，证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法即可解决直线AB与平面所成角的正弦值
（1）
延长线段，交AC的延长线于点P，
∵，平面ABC，∴平面ABC，
又∵，∴平面，故点P即为所求的点E，
连接，交于点F，连接BE，FD，
∵，D为的中点，所以，∴，
∴，在三棱柱中，四边形为平行四边形，
∴F为线段的中点，∴DF为的中位线，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）
取AC的中点O，连接，OB，不妨设，
∵侧面为菱形，，
所以在中，解得，
所以，所以，
又∵侧面底面ABC，侧面底面，侧面，
∴平面ABC，又∵平面ABC，∴，
又∵为等边三角形，∴，∴，，两两垂直，
以O为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，则，，，，
设平面的法向量为，则即，
取，则，，即为平面的一个法向量，
设直线AB与平面所成的角为，则，
即直线AB与平面所成角的正弦值为
23．如图，四边形中，，且，沿着翻折，当三棱锥体积最大值时．
(1)求此时三棱锥的体积；
(2)求此时直线与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知当平面平面时，体积最大，取中点，根据已知可知为高，为底面，根据数量关系可求得；
（2）由题意以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，代入公式即可求得.
（1）
解：沿折叠，当平面平面时，体积最大，
由平面平面，平面平面，
取中点，，，
，，且平面，，
且，
，且平面，
，
；
（2）
沿BD折叠，取中点，由（1）得到，平面平面， ，且，
以为原点，以分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
设平面的法向量为，，AC=(0,−2,23)，
，令，，
又AD=(−2,−2,0)
设直线与平面夹角为，
，
所以直线与平面夹角的正弦值为.
24．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．
(1)求证：；
(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
（1）如图，连接，DB，在长方体中，∵底面ABCD，底面ABCD，∴．又，，∴平面，又平面，
（2）假设存在这样的点E，使得直线AC与平面所成角为45°．设，如图，以D为原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．∴，，．设平面的法向量为，则令，则，．∴平面的一个法向量为．∴，解得．∴存在这样的点E，当时，直线AC与平面所成角为45°．
25．在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为上靠近点的三等分点
【分析】（1）首先证明面，再结合线面垂直的判断定理，证明面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可求得的值.
(1)
在中：，，所以.
在中：，，，
由余弦定理有：
，所以，所以①
又因为②，由①②，，所以面，所以③.
在中：，，，所以④，由③④，，所以面.
(2)
以为原点，以，，竖直向上分别为、、轴建立直角坐标系.则有，，，，，设，则，，，设为面的法向量，
则有：，解得，设所求线面角为，则有，解得，所以.所以点为上靠近点的三等分点，满足条件.
针对练习六 二面角的向量求法
26．如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面.
(1)求的长;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 在上取一点，使得，根据面面平行判定定理证明平面平面，再根据面面平行性质定理确定的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，根据二面角向量公式求二面角的余弦值.
（1）
在上取一点，使得，连接.
由已知得 ，所以
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又因为平面 ，平面，
所以平面平面.
平面平面，平面平面，
根据面面平行的性质可知.
在矩形中，可得，
所以，所以.
（2）
以为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则.
，，
设平面的法向量为 ，
则，所以，取得
设平面的法向量为，
则所以取，得
所以
结合图可知二面角的余弦值为.
27．如图 ， 在四棱雉 中， 底面 ， 点在线段 上， ．
(1)求证： ;
(2)若 ， 且 ， 求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，再利用，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.
（1）
证明：因为 平面 ，平面，所以;
又 ，平面,
故平面，又因为，故平面，
而平面，故 ；
（2）
由题意可知 两两垂直，故以A为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
设AD=3，则，
由于，由（1）可知 ,故DE=1，AE=2，
所以 ,
则 ,
设平面PEC的一个法向量为 ，则 ，
即，取 ，则，
平面PAB的一个法向量可取为，
则 ，
由图可知平面 与平面夹角为锐角，故其余弦值为.
28．如图，平面平面，，，，，，，平面与平面交于．
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理即得；
（2）设的中点为，由题可得平面，建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
（1）
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，
∴；
（2）
设的中点为，连接，
∵，，
∴是等边三角形．又为的中点，
∴，∵，
∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，故两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∵，，
∴四边形CDEF为平行四边形，即，
∴，
∴，，
设平面BCF的一个法向量为，
则，令，则，
易知平面ABC的一个法向量为，
∴，
由题可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
29．长方形中，，是中点（图），将沿折起，使得（图）在图中
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）由已知可得，得，再由，利用线面平行的判定可得平面，进一步得到平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，设为线段上的点，，分别求出平面与面的一个法向量，由已知结合两法向量所成角的余弦值求得值，可得在线段上存点，使得二面角的余弦值为．
（1）在长方形中，连接，因为，是中点，所以，从而，所以．因为，，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（2）为平面平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，0，，，2，，，0，，．设，则．设，，是平面的法向量，则，即，取，，．平取面的一个法向量是，1，．依题意，即，解方程得， 因此是线段的中点时，二面角为大小为．
30．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.
【分析】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得；
（2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得.
（1）
取棱的中点O，连接．
因为四边形是菱形，所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取得．
假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取，得．
由，
解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
针对练习七 空间向量中的距离问题
31．如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面的距离；
(2)直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
（1）分别利用向量法求点B到平面的距离；
（2）直线到平面的距离等于到平面的距离．用向量法求点到平面的距离；
(1)
以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，.
设平面的法向量为，所以，．因为，，由，得，不妨取，则.
而向量，
所以B到平面的距离；
(2)
直线到平面的距离等于到平面的距离．
因为，
所以到平面的距离．
32．如图所示，平面平面，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，，，，，．
(1)证明：C、D、F、E四点共面；
(2)设，求点F到平面的距离．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】(1)由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，由此证明C、D、F、E四点共面；(2)求平面的法向量，再求在法向量上的投影向量的长度可得点F到平面的距离．
（1）
因为，所以，又平面，
平面平面，平面平面，
所以平面．
又，所以
以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，，，
则，，，，，
所以，，从而，
即可得C、D、F、E四点共面．
（2）
由(1)，，，，．
设平面BDE的法向量为．
由，，
则，即，取，得．
因为，所以，
即点F到平面BDE的距离为．
33．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)若点P为线段上靠近点的三等分点，求点到平面的距离？
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证明平面，因为平面，所以平面平面．
（2）以G为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量，用点到面的向量公式代入即可得出答案.
(1)
在图1中取中点F，连接，，
∵，，，∴，，
∵，，，∴四边形为矩形，∴，
∴，又，∴为等边三角形；
又，∴为等边三角形；
在图2中，取中点G，连接，，
∵，为等边三角形，∴，，
∴，又，∴，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)
以G为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∵，∴，
设平面的法向量，
则，令，则，∴，
∴到平面的距离为．
34．如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：平面PFQ；
(2)求直线AE与平面PFQ间的距离．
【答案】(1)证明见详解；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明结合线面平行的判定推理作答.
（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量计算直线与平面的距离作答.
（1）
在平面内过点作，因平面，
则以点A为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因是边长为4的正三角形，则，
线段BC中点，线段AC中点，线段CE中点，
，而，即有，又无公共点，
则，又平面，平面，
所以平面.
（2）
由（1）知平面，则点A到平面的距离即为直线AE与平面PFQ间的距离，
设平面的法向量，而，
则，令，得，
因此点A到平面的距离，
所以直线AE与平面PFQ间的距离为．
35．如图，在三棱柱中，平面，，，M为线段上的动点.
(1)证明：；
(2)若E为的中点，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.
(1)
因为平面，平面，所以
在中，，，，所以.
所以.
因为，，平面，所以平面.
∵平面，
∴.
(2)
由（1）知，，，，
以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
，，，
设平面的法向量为，则,
令，则，，所以.
又因为，故点到平面的距离
.