高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.2.1等比数列(题型战法)(原卷版+解析)

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一 等比数列的通项公式
二 等比数列的求和公式
三 等比数列的性质
(1)在等比数列中，若，则
(2)在等比数列中，若，则
(3)若与是等比数列，则，，和()仍是等比数列.
(4)若数列是等比数列，是其前项的和，，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等比数列(是偶数，时不成立)
题型战法
题型战法一 等比数列通项公式的基本量计算
典例1．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
变式1-1．已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．已知等比数列中，，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
变式1-3．已知在递减等比数列中，，，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式1-4．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
题型战法二 等比数列求和公式的基本量计算
典例2．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．64B．42C．32D．22
变式2-1．等比数列中，已知，，则（ ）
A．31B．32C．63D．127
变式2-2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．255B．127C．63D．31
变式2-3．等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或1
变式2-4．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法三 等比中项的应用
典例3．在等比数列中，，则的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
变式3-1．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．B．2C．3D．2或
变式3-2．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于( )
A．B．0C．3D．0或3
变式3-3．已知为公差不为0等差数列前n项和.若，，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．23D．24
变式3-4．已知是公差为的等差数列， 为数列的前n项和，若成等比数列，则（ ）
A．B．14C．12D．16
题型战法四 等比数列片段和的性质及应用
典例4．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．24B．28C．48D．84
变式4-1．等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．72B．81C．90D．99
变式4-2．已知等比数列的前n项和为.且，，则（ ）
A．16 B．19 C．28 D．36
变式4-3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则
A．60 B．45 C．30 D．15
变式4-4．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
题型战法五 等差数列的简单应用
典例5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（ ）
A．86里B．172里C．96里D．192里
变式5-1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（ ）
A．18B．20C．22D．24
变式5-2．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）
A．35B．75C．155D．315
变式5-3．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
变式5-4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．5盏B．4盏C．3盏D．2盏
题型战法六 由递推关系证明等差数列
典例6．在数列中，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
变式6-1．已知数列，且，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的通项公式.
变式6-2．已知数列满足，.
(1)求证：是等比数列.
(2)求.
变式6-3．已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
变式6-4．已知数列满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求的通项公式.
第六章 数列
6.2.1 等比数列（题型战法）
知识梳理
一 等比数列的通项公式
二 等比数列的求和公式
三 等比数列的性质
(1)在等比数列中，若，则
(2)在等比数列中，若，则
(3)若与是等比数列，则，，和()仍是等比数列.
(4)若数列是等比数列，是其前项的和，，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等比数列(是偶数，时不成立)
题型战法
题型战法一 等比数列通项公式的基本量计算
典例1．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
【答案】C
【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.
【详解】设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
变式1-1．已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程，求出这两个量的值，可求得的值，再利用等比数列的基本性质可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
变式1-2．已知等比数列中，，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】根据已知条件求得，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
.
故选：A
变式1-3．已知在递减等比数列中，，，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】根据等比数列的计算可求，进而可得公比，即可求解.
【详解】由，且可解得 ，因此可得等比数列的公比为 ，所以
故选：A
变式1-4．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由题得，求出，再求出，再由等比数列的性质求得结果.
【详解】由题意得，解得或，故或，
故，或
故选：C.
题型战法二 等比数列求和公式的基本量计算
典例2．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．64B．42C．32D．22
【答案】D
【分析】设数列的公比为，依题意得到方程组，解得、，再根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】解：设数列的公比为，依题意可得，
解得，
所以.
故选：D
变式2-1．等比数列中，已知，，则（ ）
A．31B．32C．63D．127
【答案】A
【分析】根据已知条件，求出公比及首项，从而由等比数列的求和公式即可求解.
【详解】解：因为等比数列中，已知，，设等比数列公比为，
所以，解得，
所以，解得，
所以，
故选：A.
变式2-2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．255B．127C．63D．31
【答案】A
【分析】基本量列方程即可求解
【详解】因为，，公比，所以，，解得，，则
故选：A
变式2-3．等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或1
【答案】C
【分析】由已知可得、，即可求公比.
【详解】由题设知：，又，故，
∴，而，即，解得：为或1.
故选：C
变式2-4．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，
由已知可得，可得，，则，
因此，.
故选：B.
题型战法三 等比中项的应用
典例3．在等比数列中，，则的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】B
【分析】本题可根据等比中项的性质求出的值，然后根据即可得出结果.
【详解】因为数列是等比数列，
所以，解得，
因为，所以.
故选：B.
变式3-1．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．B．2C．3D．2或
【答案】B
【分析】由，可得，解得，再由可得，根据求解即可.
【详解】解：因为数列为等比数列，，
所以，解得，
又因为，即，解得.
故选：B.
变式3-2．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于( )
A．B．0C．3D．0或3
【答案】D
【分析】根据等比中项和等差数列通项公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为d，∵，构成等比数列，
∴，解得d＝0或3.
故选：D.
变式3-3．已知为公差不为0等差数列前n项和.若，，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．23D．24
【答案】C
【分析】设出公差，利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，求出答案.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
化简得（舍去）或，
所以.
故选：C
变式3-4．已知是公差为的等差数列， 为数列的前n项和，若成等比数列，则（ ）
A．B．14C．12D．16
【答案】B
【分析】由成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，,再利用等差数列前项和公式即可得.
【详解】解设数列的公差为，由题意，
由成等比数列,
所以，
整理得，
故，所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.
题型战法四 等比数列片段和的性质及应用
典例4．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．24B．28C．48D．84
【答案】D
【解析】等比数列的性质，得到成等比数列，列出方程，即可求解.
【详解】由等比数列的性质，可得成等比数列，
所以，即，解得.
故选：D.
变式4-1．等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．72B．81C．90D．99
【答案】B
【解析】由等比数列的性质，得到成等比数列，即可求解.
【详解】，
由等比数列的性质，可得成等比数列，
则，即，
解得，即.
故选：B.
变式4-2．已知等比数列的前n项和为.且，，则（ ）
A．16B．19
C．28D．36
【答案】C
【分析】利用，，成等比数列求解.
【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题.
变式4-3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则
A．60B．45
C．30D．15
【答案】B
【详解】由等比数列的性质可得成等比数列，所以，即，解得或（舍去）．所以数列即为，所以
．选B．
变式4-4．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；
【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
题型战法五 等差数列的简单应用
典例5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（ ）
A．86里B．172里C．96里D．192里
【答案】D
【分析】根据题意可知，此人每天走的路程形成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出．
【详解】设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．
故选：D．
变式5-1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】D
【解析】根据题意, 成等比数列，求出 即可求解.
【详解】设这根木棰总长为1, 每天截取其一半,剩下的部分记为,
则{}构成,公比 的等比数列,
所以
所以
故选:D.
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
变式5-2．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）
A．35B．75C．155D．315
【答案】C
【分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.
【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，
因此前5天所屠肉的总两数为.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.
变式5-3．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值.
【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
变式5-4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．5盏B．4盏C．3盏D．2盏
【答案】C
【分析】先设塔的顶层共有灯a盏，根据题意则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，再由等比数列前n项和公式求解.
【详解】设塔的顶层共有灯a盏，
则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，
由
得
故选：C
【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于基础题.
题型战法六 由递推关系证明等差数列
典例6．在数列中，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）．
【分析】（1）通过计算来证得数列是等比数列.
（2）结合（1）的结论求得数列的通项公式.
【详解】（1）由题意，知．
又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．
（2）由（1），可知，
所以数列的通项公式为．
变式6-1．已知数列，且，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）用等比数列的定义证明；
（2）利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】解：（1）设，，
.
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
所以.
变式6-2．已知数列满足，.
(1)求证：是等比数列.
(2)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简已知条件，得到，从而证得是等比数列.
（2）先求得的表达式，由此求得.
(1)
∵，∴，
又，，∴，，
∴是以1为首项，2为公比的等比数列.
(2)
由（1）得，∴.
变式6-3．已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
【答案】证明见解析；.
【分析】将点代入函数解析式后变形可得，进而可构造等比数列求解.
【详解】由点在函数的图象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则，
所以；
变式6-4．已知数列满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求的通项公式.
【答案】证明见解析，；
【分析】由已知得4an+1=3an+anan+1，化简变形得，则可得，求出，所以可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出数的通项公式
【详解】由已知得4an+1=3an+anan+1，
∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，
∴，∴，即，
又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，；