高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.3.2数列的通项与求和(针对练习)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.3.2数列的通项与求和(针对练习)(原卷版+解析)，共37页。
针对练习一 利用Sn与an的关系求通项
1．设为数列的前项和，且.求数列的通项公式；
2．已知数列的前项和满足：，（）.求数列的通项公式；
3．已知数列的前n项和为，且.求数列的通项公式；
4．已知正项数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
5．已知数列满足，求数列的通项公式．
针对练习二 累加法与累乘法
6．已知数列满足，.求数列的通项公式；
7．设数列中，求数列的通项公式
8．已知数列满足，.求数列的通项公式；
9．已知数列满足，求数列的通项公式．
10．已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
针对练习三 构造法
11．已知数列满足，求出数列的通项公式；
12．已知数列中，，，求的通项公式.
13．数列满足，，求其通项公式
14．已知数列满足，.求数列的通项公式.
15．已知数列满足，求数列的通项公式；
针对练习四 分组求和
16．在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
17．已知数列是首项，且满足的正项数列，设．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．已知数列中，且.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
19．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，.
(1)求和的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和.
20．已知等差数列的公差，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式
(2)设，求数列的前2n项和．
针对练习五 裂项相消
21．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，，求的值
22．已知数列是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
23．已知数列满足且
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和为.
24．已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
25．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
针对练习六 错位相减
26．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和．
27．在数列中，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和
28．设数列 的前n项和分别为 ，且， .
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，求 的前n项和.
29．在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
30．已知数列中，，且满足.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为.
针对练习七 并项求和、倒序相加
31．在等比数列中，公比，等差数列满足，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
32．已知等差数列满足：，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和.
33．已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
34．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.
35．已知函数
（1）求的值；
（2）已知数列满足,求证数列是等差数列；
（3）已知，求数列的前n项和.
第六章 数列
6.3.2 数列的通项与求和（针对练习）
针对练习
针对练习一 利用Sn与an的关系求通项
1．设为数列的前项和，且.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】由公式，可得答案；
当时，，
当时，，，
两式相减可得：，
检验：当时，，成立，可得数列的通项公式：.
2．已知数列的前项和满足：，（）.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】由关系化简求解；
∵
①当时，，∴
②当时，∵，∴，∴
∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列
∴，∴数列的通项公式为.
3．已知数列的前n项和为，且.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】利用求通项公式；
当时， ，解得：，
当时，，得，
因为，可得，所以，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
4．已知正项数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
【答案】；
【分析】由已知，结合的关系可得、，根据等差数列的定义即可写出通项公式.
当时，且，所以.
当时，，
所以，
所以，又，
所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故.
5．已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】.
【分析】当时，得到，进而做差可得到，再检验时，即可求出结果.
【详解】∵，
∴当时，，
两式相减得，∴.
又∵当时，，∴，满足.
∴.
针对练习二 累加法与累乘法
6．已知数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】；
【分析】根据已知条件，利用累加法即可容易求得通项公式；
【详解】因为，所以，累加得
，所以，
又符合上式，
所以
7．设数列中，求数列的通项公式
【答案】；
【详解】
……
以上各式相加得：
∴
8．已知数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】利用累乘法即可求解；
因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以.
9．已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】根据条件得，利用累乘法求通项即可.
【详解】由已知，，得
所以（），
当时， 满足条件，
所以.
10．已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
【答案】.
【分析】根据递推关系式，利用累乘法即可求解.
【详解】由，得，
又，所以当时，
，
又也满足上式，所以；
针对练习三 构造法
11．已知数列满足，求出数列的通项公式；
【答案】
【分析】构造函数为等差数列，进而利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】解：因为，
所以等式两边同除以得
所以数列是以为首项，2 为公差的等差数列，
所以
所以
12．已知数列中，，，求的通项公式.
【答案】.
【分析】已知式取倒数可证得是等差数列，从而易得通项公式．
【详解】，两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
13．数列满足，，求其通项公式
【答案】
【分析】采用构造法，令结合已知条件求出的值，可得是等比数列，求出的通项公式即可得.
【详解】令，所以，
因为，所以，可得，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，可得.
14．已知数列满足，.求数列的通项公式.
【答案】
【分析】对变形可得，从而可得数列为等比数列，进而可求出.
【详解】因为，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查构造新数列求数列的通项，属于中档题.对于型可构造等比数列，可设，注意当时，不能用此法构造.
15．已知数列满足，求数列的通项公式；
【答案】
【分析】通过构造新数列求解；
由，假设其变形为，则有，所以，又.所以，即.
针对练习四 分组求和
16．在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过基本量列方程组求解可得；
（2）先求通项，结合（1）可得通项，然后分组求和可得.
（1）设等差数列的公差为，由，可得，解得，∴；
（2）∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴，又，可得，所以．
17．已知数列是首项，且满足的正项数列，设．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2).
【分析】（1）利用对数的运算性质结合等比数列的定义即得；
（2）求出的表达式，利用分组求和法可求得.
(1)
对任意的，，
所以，，
所以，数列是等比数列，且首项，公比，
所以．
(2)
因为，
所以，
∴，
即．
18．已知数列中，且.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算得出，利用等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
(1)
证明：因为，所以，，
则，
又因为，数列是首项为，公比为的等比数列.
(2)
解：由（1）得，，所以，，
.
19．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，.
(1)求和的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和.
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）设公差为d，公比为q，即可根据题意列出方程组，解出，即可得到和的通项公式；
（2）根据分组求和法即可解出．
(1)
设公差为d，公比为q，由，以及，即，而，解得：，，所以，．
(2)
20．已知等差数列的公差，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式
(2)设，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
(1)
由已知，有，
解得或（舍掉）
所以；
(2)
因为，所以
所以
．
针对练习五 裂项相消
21．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，，求的值
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合下标和的性质求基本量，进而写出其通项公式.
（2）应用裂项相消法求即可.
(1)
由题设，，解得，
所以，则.
(2)
由（1）知：，
所以.
22．已知数列是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差数列的基本量，解方程即可求得，再求即可；
（2）根据（1）中所求，解得，利用裂项求和法即可求得结果.
(1)
设数列的公差为d，依题意可得：，解得，
故有，故.
(2)
由（1）中所求可得：，
故.
即数列的前n项和
23．已知数列满足且
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和为.
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）对递推公式进行变形，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
(1)
因为，且，
所以即，所以数列是公差为2的等差数列.
又，所以即；
(2)
由（1）得，所以.
故
.
24．已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，首项，利用等差数列的通项公式及求和公式可求解；（2）由，利用裂项相消法求解.
(1)
设数列的首项，公差为，
因为，，
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
(2)
因为，所以，得
，
所以.
25．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可证明数列是等差数列，然后可算出答案；
（2），然后可算出答案.
(1)
由得：
即，
所以数列为等差数列，
由得，
设公差为d，，得，
所以，
故数列的通项公式为．
(2)
，
所以．
针对练习六 错位相减
26．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系化简即可证得，根据等比数列的通项公式计算即可得出结果.
（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得数列的前n项和.
(1)
,则，
因为，
所以，
当时，，解得：，则成立，
所以，数列为等比数列，.
(2)
，令，则，
，
①
②，
①-②得：，
27．在数列中，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和
【答案】(1),;
(2)
【分析】根据题意可得为等比数列，即可求得其通项公式；利用即可求得；
（2）求出的表达式，利用错位相减法即可求得答案.
（1）
在数列中，已知,故是首项为，公比为的等比数列，
故；
又由可得：，
故 ；
（2）
由（1）可得，
故，
所以，
则，
,
故.
28．设数列 的前n项和分别为 ，且， .
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，求 的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据可得，利用即可求得；同理利用当时，可求得，利用等比数列的通项公式求得答案；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用错位相减法即可求得答案.
（1）
由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以,
综上所述：，.
（2）
，所以，
所以，
所以，
所以
，
所以.
29．在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）依题意将转化为，将代入即可得到，结论成立；
（2）根据第（1）问，运用累加法得到，进而求出；
（3）根据第（1）、（2）问知，，，则，运用分组转化求和以及错位相减求和，得出数列的前项和.
（1）由条件可知：，，，，；
（2）由第（1）问可知，，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得，，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，设数列的通项公式，前项和为，则，，两式相减，得，，数列的前项和.
30．已知数列中，，且满足.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）求得，根据等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
（1）解：对任意的，，所以，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，所以．
（2）解：由已知可得，则，所以，，两式相减得，因此，.
针对练习七 并项求和、倒序相加
31．在等比数列中，公比，等差数列满足，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中所给条件，求出公差和公比，进而可求出通项公式；
（2）根据等差数列和等比数列的求和公式，再由分组求和的方法即可求出结果.
（1）
设等差数列的公差为，
因为等比数列的公比为（），，，，
所以，则，解得或（舍）
所以数列的通项公式为：；
数列的通项公式为；
（2）
由（1）可得，
所以数列的前项和
.
32．已知等差数列满足：，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和.
【答案】（1）；（2）为偶数，；为奇数，；
【分析】（1）设等差数列公差为，根据已知可得方程组，解出和即得；（2）分为两种情况进行讨论：当为偶数时，由（1）知，再计算即得；当为奇数时，有，此时为偶数，由第一种情况的结果可得，，代入即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得
，解得，，
故的通项公式为.
（2）由于，
①若为偶数，结合，得
；
②若为奇数，则.
综上，当为偶数时，，当为奇数时，.
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及数列的前项和，属于中档题.
33．已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义，证明等于一个定值即可；
（2）求出数列的通项公式，利用分析法和分组求和法即可得出答案.
（1）证明：因为，，所以，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；
（2）解：由（1）可得，即，则.当n为偶数时，，则，当n为奇数时，则，综上所述，.
34．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.
【答案】；
【分析】利用的关系即可容易得到；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得.
【详解】当
当
时满足上式，故 ；
∵=1∴
∵ ①
∴ ②
∴①②，得
【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，涉及倒序相加法求数列的前项和，属综合基础题.
35．已知函数
（1）求的值；
（2）已知数列满足,求证数列是等差数列；
（3）已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).
【分析】(1)由题意结合函数解析式的特征倒序相加即可求得的值；
(2)由题意结合递推关系式，证得后项与前项作差为常数即可证得题中的结论；
(3)结合(2)中的通项公式错位相减可得数列的前n项和.
【详解】(1)因为.
所以设S=…………（1）
S=. ………（2）
(1)+(2)得:
,
所以S=.
(2)由两边同减去1,得.
所以,
所以,
是以2为公差以为首项的等差数列.
（3）因为.
因为，所以
（3）
（4）
由（3）-（4）得
=
所以=.
【点睛】本题主要考查等差数列的证明，错位相减求和的方法，倒序相加求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.