高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.2.2点线面的位置关系(针对练习)(原卷版+解析)

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针对练习一 点线面的位置关系
1．设是两个不同的平面，是两条不同直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则
2．若是两条不同的直线，是三个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则∥B．若，则
C．若m⊥α,n⊂α，则D．若，则
4．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．则
C．若，则
D．若，则
5．设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
针对练习二 线面平行的判定
6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面
7．已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面
8．如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
9．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面
10．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线. 证明：平面.
针对练习三 面面平行的判定
11．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ平面PBC．
12．如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，求证：平面平面.
13．如图所示，正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.求证：平面平面.
14．如图，在三棱柱中，、分别是棱、的中点，求证：平面平面．
15．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，G是DE的中点.求证：面面BEF.
针对练习四 线面平行的性质
16．如图，直三棱柱中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面与棱PD交于点F．
(1)求证: 平面；
(2) 求证：；
19．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.记平面与平面的交线为，求证：直线平面
20．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，和分别是，和的中点.
(1)证明：平面；
(2)已知直线与平面相交于点，求的值.
针对练习五 面面平行的性质
21．如图，在长方体中，E，M，N分别是BC，AE，的中点，求证：平面.
22．如图，在棱长为a的正方体中，点M为A1B上任意一点，求证：DM∥平面CB1D1．
23．如图，四边形与均为边长为1的菱形，，且．
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离．
24．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.
25.如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．
针对练习六 线面垂直的判定
26．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，.证明：平面.
27．如图，是圆的直径，点是圆上的点，过点的直线VC垂直于圆所在平面，分别是的中点.
求证：
(1)平面；
(2)平面.
28．如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)BC⊥平面PCD．
29．如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
30．如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.
(1)求证：DE 平面ABC；
(2)求证：B1C⊥平面BDE.
针对练习七 面面垂直的判定
31．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分别是AB、PB的中点．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBC．
32．如图，已知正方体，试求证：平面平面．
33．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
(1)∥平面PCD；
(2)平面平面PCD．
34．如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
35．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面平面．
针对练习八 线面垂直的性质
36．已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；
37．如图，已知在正方体中，E为的中点．求证：．
38．如图，在三棱锥中，，．求证：．
39．如图，正方体中，求证.
40．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．证明：；
针对练习九 面面垂直的性质
41．如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面
42．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求证：AE平面BCD.
43．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为BC，PC的中点.
求证:（1）AB 平面DEF ;
（2）BC⊥平面DEF .
44．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E为AD的中点.求证：PE⊥BC.
45．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，为等边三角形.
（1）求证：PB⊥BC；
（2）若平面PAD⊥平面PCD，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
第七章 空间向量与立体几何
7.2.2点线面的位置关系（针对练习）
针对练习
针对练习一 点线面的位置关系
1．设是两个不同的平面，是两条不同直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则
【答案】B
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则与可能平行，所以A选项错误.
B选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B选项正确.
C选项，若，则可能含于，所以C选项错误.
D选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交，
故选：B
2．若是两条不同的直线，是三个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据空间中直线与平面,平面与平面的位置关系即可逐一求解.
【详解】对于，由平行具有传递可知正确；
对于B，若，则，又，则故B正确；
对于，若，则或，C错误；
对于D，由，则，D正确.
故选：C.
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则∥B．若，则
C．若m⊥α,n⊂α，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质分析判断即可.
【详解】对于A，当时，可能与平行，可能在内，所以A错误，
对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误，
对于C，当m⊥α,n⊂α时，由线面垂直的性质可得，所以C正确，
对于D，当时，与可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，所以D错误，
故选：C
4．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】A缺线在面外的条件不成立，B中两条直线可以为异面、相交、平行，由面面平行性质定理知C正确，D中两条直线可平行，不一定垂直.
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则m∥n或m与n异面或m与n相交，故B错误；
对于C，若，则，由面面平行性质定理知正确，故C正确；
对于D，若，则可以平行，相交，异面，不能得到，故D错误．
故选：C．
5．设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可.
【详解】对于A，若，则m与平行、相交或，故A错误；
对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若，则m与n平行或异面，故C错误；
对于D，若，则存在直线，使得，又，所以，又，则，故D正确．
故选：D．
针对练习二 线面平行的判定
6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】利用线面平行的判断定理，即可直接证明.
【详解】∵四边形为正方形，∴O为的中点，
∵E为的中点，∴，
又∵平面平面，
∴平面；
7．已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】作出辅助线，得到线线平行，从而证明出线面平行
【详解】连接交于，连接，
∵四边形是菱形，
是中点，
又是中点
面，面
面
8．如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
【答案】证明见解析
【分析】由线面平行的判定定理证明
【详解】证明：连接．因为N，K分别为的中点，所以且，
于是四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以∥平面．
9．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】利用平行的传递性证明，从而四边形是平行四边形，所以，由线面平行的判定定理即可证明
【详解】取的中点，连接，，
在中，，
在梯形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面；
10．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线. 证明：平面.
【答案】证明见解析.
【分析】根据题意，取的中点，连接，，根据四边形是平行四边形得到，再根据线面平行的判定定理证明平面.
【详解】证明：如图，取的中点，连接，，
因为是棱的中点，所以，且.
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
针对练习三 面面平行的判定
11．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ平面PBC．
【答案】证明见解析
【分析】由相似三角形的性质得NQBP，进而得NQ平面PBC；
结合MQ平面PBC和MQ∩NQ=Q即可.
【详解】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，
∴MQAD，NQBP.
又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，
∴NQ平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形.
∴BCAD，∴MQBC.
又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，
∴MQ平面PBC.
又∵MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ平面PBC.
12．如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连结交于O，连结.可证，即可得证；
（2）首先可证，即可得到∥平面，再由（1）的结论即可得证；
【详解】解：（1）连结交于O，连结.
∵因为为正方体，底面为正方形，
对角线､交于O点，所以O为的中点，
又因为E为的中点，在中
∴是的中位线
∴；
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：
因为F为的中点，E为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以∥平面；
由（1）知平面，
又因为，所以平面平面.
13．如图所示，正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.求证：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解析】连接，由线面平行的判定可得平面，同理可得平面，再由面面平行的判定即可得证.
【详解】证明：连接，如图，
∵、是、的中点，四边形为正方形，
∴且，
又且，∴且，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵平面，平面，
∴平面，同理平面，
又平面，平面，，
∴平面平面.
14．如图，在三棱柱中，、分别是棱、的中点，求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．
【详解】证明：设与的交点为，连结，
四边形为平行四边形，为中点，
又是的中点，是三角形的中位线，则，
又平面，平面，
平面；
为线段的中点，点是的中点，
且，则四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
又平面，，且平面，平面，
平面平面．
【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
15．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，G是DE的中点.求证：面面BEF.
【答案】证明见解析
【解析】根据已知条件可证面BEF，面BEF，即可证明结论.
【详解】如图所示，
连接BD交AC于点O，连接OG，
易知O是BD的中点，故.
又面BEF，面BEF，所以面BEF.
因为，面BEF，所以面BEF.
又AC与OG相交于点O，AC，OG面，
所以面面BEF.
【点睛】本题考查面面平行的证明，属于基础题.
针对练习四 线面平行的性质
16．如图，直三棱柱中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
【答案】证明见解析
【分析】先利用线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理证明.
【详解】证明：如图，在直三棱锥中，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，推导出．从而平面．由线面平行的性质定理可证明．
【详解】证明：如图，连接，设交于点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点
又是的中点，∴.
又平面，平面BDM，
∴平面
又平面，平面平面，
∴．
【点睛】本题考查线线平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题．
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面与棱PD交于点F．
(1)求证: 平面；
(2) 求证：；
【答案】（1）证明见解析；(2) 证明见解析.
【分析】(1)本题首先可根据菱形的相关性质得出，然后根据线面平行的相关证明即可得出结论；
(2)本题首先可根据(1)得出面，然后根据题意得出四点共面，最后根据线面平行的相关性质即可得出结果．
【详解】(1)因为底面是菱形，所以，
因为面，面，所以面．
(2)由(1)可知面，
因为四点共面，且平面平面，
所以．
【点睛】本题考查线面平行的相关性质以及线面平行的相关证明，若要证明线面平行，则需要证明直线与平面内的一条直线平行，考查通过线面平行证明线线平行，考查推理能力，是简单题．
19．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.记平面与平面的交线为，求证：直线平面
【答案】证明见解析
【分析】先通过可得出平面，再利用线面平行的性质即可证明.
【详解】因为分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面与平面的交线为，所以，
而平面，平面，所以平面PAC.
20．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，和分别是，和的中点.
(1)证明：平面；
(2)已知直线与平面相交于点，求的值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】（1）首先取的中点，连接，，易证四边形为平时四边形，从而得到，再根据线面平行的判定即可得到平面
（2）首先根据（1）得到平面，从而得到.取的中点，连接，得到，则，从而得到.
(1)
取的中点，连接，，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，，
又因为为的中点，所以，，
所以，，即四边形为平时四边形，
所以.
因为平面，平面，，
所以平面.
(2)
由（1）知：，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，所以.
取的中点，连接，如图所示：
则，则.
所以，则.
针对练习五 面面平行的性质
21．如图，在长方体中，E，M，N分别是BC，AE，的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】取CD的中点K.连接MK，NK，可证，得出平面，可证，得出平面，进而得出平面平面，即可证明结论,
【详解】证明：如图，取CD的中点K.连接MK，NK.
∵M，K分别是AE，CD的中点，
∴.又平面，
平面，∴平面.
又∵N是的中点，∴.
又平面，平面，
∴平面，
又平面MNK，平面ANK，
，∴平面平面.
又平面MNK，∴平面.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查面面平行的性质定理，属于基础题.
22．如图，在棱长为a的正方体中，点M为A1B上任意一点，求证：DM∥平面CB1D1．
【答案】证明见解析
【分析】先利用线面平行的判定定理证明A1D∥平面CB1D1，BD∥平面CB1D1，再利用面面平行的判定定理证明平面A1BD∥平面，最后利用面面平行的性质定理得到结论.
【详解】证明：由正方体ABCD－A1B1C1D1，知A1B1AB，ABCD，
所以A1B1CD．
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C．
而平面CB1D1，A1D平面CB1D1，
所以A1D∥平面CB1D1．
同理BD∥平面CB1D1，且A1D∩BD＝D．
所以平面A1BD∥平面，
因为平面A1BD，
所以DM∥平面CB1D1．
【点睛】本题主要考查了线面以及面面平行的判定定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.
23．如图，四边形与均为边长为1的菱形，，且．
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先通过平面，平面得出平面平面，即可证明；
（2）设，连接，可得平面BDEF，即点A到平面的距离为，求出即可.
【详解】（1），平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，平面，平面平面，
平面，平面；
（2）设，连接，
，，
又，平面BDEF，
即点A到平面的距离为，
，为等边三角形，，
即点A到平面的距离为.
24．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.
【答案】证明见解析.
【分析】通过证明平面平面来证得平面.
【详解】在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EFCD.
∵ABCD，∴EFAB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF平面PAB.
同理EG平面PAB.
又EF∩EG=E，∴平面EFG平面PAB.
∵AP⊂平面PAB，
∴AP平面EFG.
25.如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．
【答案】
【分析】根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可
【详解】由题意可知：平面，平面，
因为平面平面，所以，
因此有.
针对练习六 线面垂直的判定
26．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，.证明：平面.
【答案】证明见解析
【分析】设，通过证明、来证得平面.
【详解】设，连接，设，如图所示，
因为平面，平面，
所以.又，
所以四边形为平行四边形.
因为平面，平面，
所以，所以四边形为矩形，且.
由为的中点，得，所以，
所以，从而，
因为，所以，
从而，即.
因为四边形为正方形，所以，
又平面，且平面，
所以，又，平面，且，
所以平面.
又平面，所以.
又，，平面，
所以平面.
27．如图，是圆的直径，点是圆上的点，过点的直线VC垂直于圆所在平面，分别是的中点.
求证：
(1)平面；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由为的中点，可得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合，即可证得平面.
(1)
证明：因为为的中点，可得，
又因为平面，平面，
根据线面平行的判定定理，可得平面.
(2)
证明：因为为的直径，点是上的点，所以，
又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以，
又由且平面，所以平面，
又因为，所以平面.
28．如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)BC⊥平面PCD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连AC，与BD交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）证明BC⊥PD，BC⊥CD，即可证明BC⊥平面PCD．
(1)
连AC，与BD交于O，连接EO
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵E是PA的中点，
∴EO∥PC
又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD
∴PC∥平面EBD；
(2)
∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
又∵PD∩CD＝D
∴BC⊥平面PCD．
29．如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；
（2）设，由题可得EF∥GB，再利用线面平行的判定定理可证.
(1)
由正方体的性质，可得，平面，
∴，又，
∴平面；
(2)
设，连接，
则
∴，
∴四边形BFEG为平行四边形，
∴EF∥GB，又平面，平面，
∴平面
30．如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.
(1)求证：DE 平面ABC；
(2)求证：B1C⊥平面BDE.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据面面平行的判定定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；
（2）根据正三棱柱的几何性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可.
(1)
设G是CC1的中点，连接，
因为E为B1C的中点，所以，而，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
同理可证平面ABC，因为平面，且，
所以面平面ABC，而平面，所以DE 平面ABC；
(2)
设是的中点，连接，
因为E为B1C的中点，所以，而，所以，
由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，
因为ABC是正三角形，是的中点，所以，因此平面，
而平面，因此，而，所以，
因为正三棱柱ABC－A1B1C1中棱长都相等，所以，而E分别为B1C的中点，
所以，而平面BDE，，所以B1C⊥平面BDE.
针对练习七 面面垂直的判定
31．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分别是AB、PB的中点．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意根据三角形中位线的性质得到，即可得证；
（2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证；
(1)
证明：∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面．
(2)
证明：∵底面，底面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
又∵AB⊂平面，
∴平面平面．
32．如图，已知正方体，试求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】由，结合面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】因为平面，平面，所以.
又，，平面
所以平面，又平面，所以平面平面．
33．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
(1)∥平面PCD；
(2)平面平面PCD．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)取PC的中点G，连接FG，DG，由DEFG为平行四边形得；
(2)由平面平面ABCD得平面PAD，得，结合得平面PAB．
(1)
如图，取PC的中点G，连接FG，DG．
∵F，G分别为PB，PC的中点，∴，．
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴，．
∴，．
∴四边形DEFG为平行四边形．∴．
又∵平面PCD，平面PCD，
∴平面PCD．
(2)
∵底面ABCD为矩形，∴．
又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
∴平面PAD，
∵平面PAD，∴．
又∵，，
∴平面PAB．
∵平面PCD，∴平面平面PCD．
34．如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.
(1)
在直三棱柱中，，
且四边形为平行四边形，又，
则为的中点，又为的中点，
故，即：，且平面，平面，
所以平面；
(2)
在直三棱柱中，平面，平面，
则，且，，平面，
故平面，因为平面，所以，
又在平行四边形中，，
则四边形为菱形，所以，且，
平面，故平面，因为平面，
所以平面平面.
35．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意易知，平面，平面，根据面面平行的判定定理即可证出；
（2）根据平面知识可证，再根据面面垂直的性质定理可知平面，即可根据面面垂直的判定定理证出．
(1)
因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面①；因为且，所以四边形为平行四边形，即有，又平面，平面，所以平面②，由①②及，平面，所以平面平面．
(2)
由（1）可知，，所以，即有，而平面平面，
平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面．
针对练习八 线面垂直的性质
36．已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；
【答案】证明见解析.
【分析】先证明两两互相垂直，然后建立直角坐标系，用向量法证明即可.
【详解】连接FC，∵面，面，∴
又，面，，
∴平面
即平面，∴
∴以为坐标原点，以、、方向分别为，，轴正向建立空间直角坐标系，

则，，，
∴，，
∴，∴.
37．如图，已知在正方体中，E为的中点．求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】由正方体性质知且面，再根据线面垂直的性质有，由线面垂直的判定及性质即可证结论.
【详解】连接，在正方体中且面，
又面，则，且，、面，
所以面，又面，即.
38．如图，在三棱锥中，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】转化为证明线面垂直，再利用线面垂直的性质得出结论.
【详解】如图：取的中点，连接、.
因为，，所以，.又，平面，平面，所以平面.又平面，所以.
39．如图，正方体中，求证.
【答案】证明见解析．
【分析】证明与平面垂直后可得线线垂直．
【详解】证明：如图，连接，
是正方形，则，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又因为平面，所以．
40．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．证明：；
【答案】证明见解析
【分析】由题意，结合余弦定理与线面垂直的判定定理即可证明.
【详解】因为， 由余弦定理得，
从而，故，
又PD底面ABCD，可得BDPD，
且
所以BD平面PAD，
且平面PAD
故 PABD.
针对练习九 面面垂直的性质
41．如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面
【答案】证明见详解
【分析】由平面平面，证得平面，可得，再利用勾股定理证得，即可得证.
【详解】证明：平面平面，平面平面，，，
所以平面，又平面，，
又，，，
，，
，，，
又，平面.
42．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求证：AE平面BCD.
【答案】证明见解析
【分析】取BC的中点M，连接DM，AM，则可得DM⊥BC，再由平面BCD⊥平面ABC，可得DM⊥平面ABC，而AE⊥平面ABC，所以AEDM，然后利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD=CD，所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊂平面BCD，两平面交线为BC，
所以DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AEDM.
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，
所以AE平面BCD.
43．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为BC，PC的中点.
求证:（1）AB 平面DEF ;
（2）BC⊥平面DEF .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用面面垂直的性质定理，以及线面垂直的定义，可得，又因为，利用线面垂直的判定定理可得命题成立．
【详解】证明：（1）因为，，为的中点.，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以
又因为平面，平面
所以平面.
（2）因为平面平面
平面平面
，平面
所以平面.
因为平面.
所以
因为分别为的中点，
所以， 所以
因为，
所以
因为平面，平面，
所以平面.
44．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E为AD的中点.求证：PE⊥BC.
【答案】证明见解析
【解析】由等腰三角形的性质证明，由面面垂直的性质定理证明平面，最后由线面垂直的性质得出PE⊥BC.
【详解】∵，且为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面
∴平面.
∵面，∴PE⊥BC.
45．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，为等边三角形.
（1）求证：PB⊥BC；
（2）若平面PAD⊥平面PCD，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）取AD的中点M，连结PM，MB，可证四边形BCDM是平行四边形，从而得到以BM⊥AD，结合PM⊥AD可证AD⊥平面PBM，从而可证PB⊥BC.
（2）取PD的中点N，连结AN，根据面面垂直可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥CD.结合题设条件可得CD⊥平面PAD，从而得到要求证的面面垂直.
【详解】证明：（1）取AD的中点M，连结PM，MB.
因为三角形PAD为等边三角形，所以PM⊥AD.
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，
所以DM=BC，且DM//BC，所以四边形BCDM是平行四边形.
因为∠ADC=90°，所以四边形BCDM是矩形，所以BM⊥AD.
因为PM∩BM=M，PM平面PBM，BM平面PBM，
所以AD⊥平面PBM，而平面PBM，所以AD⊥PB.
因为AD//BC，所以PB⊥BC.
（2）取PD的中点N，连结AN.
因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD.
因为平面PAD⊥平面PCD，且平面PAD∩平面PCD=PD，AN⊂平面PAD，
所以AN⊥平面PCD， 平面PCD，所以AN⊥CD.
在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AN∩AD=A，且AN平面PAD，AD平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.