高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.1.1等差数列(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.1.1等差数列(题型战法)(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了5尺B．34等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 等差数列的通项公式
若等差数列首项为，公差为，则通项公式为
二 等差数列的前项和公式
三 等差数列的性质
(1)对于等差数列，若，则.
(2)若数列与为等差数列，则仍为等差数列
(3)是关于的一次式或常数函数，则也是一个等差数列
(4)，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等差数列
(5)
(6)若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为 ，则.
题型战法
题型战法一 等差数列的基本量计算
典例1．已知在等差数列中，,，则=（ ）
A．8B．10C．14D．16
变式1-1．记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．-54B．-18C．18D．36
变式1-2．设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
变式1-3．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．-110B．-115C．110D．115
变式1-4．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．6061D．6065
题型战法二 等差中项的应用
典例2．已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
变式2-2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）
A．B．C．1D．2
变式2-3．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
变式2-4．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
题型战法三 等差数列中的最大（小）项
典例3．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，值为（ ）
A．8B．7C．6D．9
变式3-1．设数列是等差数列，公差为，且为其前项和，若，则取最小值时，等（ ）
A．B．C．或D．或
变式3-2．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．8D．9
变式3-4．已知等差数列的前项和为，若，且，使成立的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型战法四 等差数列片段和的性质及应用
典例4．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
变式4-1．若为等差数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
变式4-2．记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-3．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法五 两个等差数列前n项和之比问题
典例5．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．等差数列，的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．若两等差数列，前项和分别为，，满足，则的值为.
A．B．C．D．
变式5-3．已知分别是等差数列前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-4．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法六 等差数列的简单应用
典例6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（ ）
A．石B．石C．石D．石
变式6-1．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
变式6-2．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
变式6-3．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A．32石B．40石C．48石D．56石
变式6-4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）
A．174斤B．184斤C．180斤D．181斤
题型战法七 由递推关系证明等差数列
典例7．数列满足.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)若，求数列的通项公式
变式7-1．已知数列中，，.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
变式7-2．已知数列中，，，设．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式．
变式7-3．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
变式7-4．设为数列的前n项和，且
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
题型战法八 含绝对值的等差数列前n项和
典例8．已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
变式8-1．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
变式8-2．在等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
变式8-3．记数列中，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
变式8-4．数列中，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
第六章 数列
6.1.1 等差数列（题型战法）
知识梳理
一 等差数列的通项公式
若等差数列首项为，公差为，则通项公式为
二 等差数列的前项和公式
三 等差数列的性质
(1)对于等差数列，若，则.
(2)若数列与为等差数列，则仍为等差数列
(3)是关于的一次式或常数函数，则也是一个等差数列
(4)，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等差数列
(5)
(6)若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为 ，则.
题型战法
题型战法一 等差数列的基本量计算
典例1．已知在等差数列中，,，则=（ ）
A．8B．10C．14D．16
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式可求出结果.
【详解】设公差为，
则，解得，
所以.
故选：D.
变式1-1．记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．-54B．-18C．18D．36
【答案】C
【分析】根据题意求出公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解.
【详解】解：设公差为，
则，解得，
所以，
所以.
故选：C.
变式1-2．设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差，从而求得通项公式，代入则可得出答案.
【详解】由已知可得， ，解可得，

故选：C.
变式1-3．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．-110B．-115C．110D．115
【答案】B
【分析】根据题意和等差数列的通项公式求出公差，结合等差数列前n项求和公式计算即可.
【详解】由题意知，，
得，解得，
所以.
故选：B
变式1-4．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．6061D．6065
【答案】B
【分析】根据等差数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求出公差，从而即可求解.
【详解】解：设等差数列的公差为d，根据已知可得，
解得，
所以.
故选：B.
题型战法二 等差中项的应用
典例2．已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差中项的性质可求得结果.
【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.
故选：C.
变式2-1．已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D
【分析】由等差中项的性质进行计算
【详解】由题意得：，所以，
故
故选：D
变式2-2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由等差数列的性质以及通项公式得出的公差.
【详解】设等差数列的公差为.由已知条件，得
即，解得.
故选：A
变式2-3．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
变式2-4．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】利用等差中项以及等比数列的定义即可求解．
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，
化为：，解得．
故选：D
题型战法三 等差数列中的最大（小）项
典例3．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，值为（ ）
A．8B．7C．6D．9
【答案】C
【分析】先求得等差数列的通项公式，即可得到取最小值时的值.
【详解】由，可得，
则等差数列的通项公式为
则等差数列中：
则等差数列的前项和取最小值时，的值为6
故选：C
变式3-1．设数列是等差数列，公差为，且为其前项和，若，则取最小值时，等（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】通过已知条件求得，由此确定正确选项.
【详解】因为，所以，所以，即.
因为数列是等差数列，公差为，所以或时，取最小值．
故选：C．
变式3-2．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果
【详解】∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．
故选：B
变式3-3．等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．8D．9
【答案】D
【分析】利用等差数列求和公式结合条件可得，然后解不等式即得.
【详解】因为，，
所以，又，
由，可得，即，
所以使成立的最小正整数n的值为9.
故选：D.
变式3-4．已知等差数列的前项和为，若，且，使成立的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可解得，再利用等差数列的前项和公式并结合等差数列的性质即可求解
【详解】由
又，所以公差
所以使成立的最大值为
故选：C
题型战法四 等差数列片段和的性质及应用
典例4．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，
所以，所以，
故选：B．
变式4-1．若为等差数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】由等差数列前项和的性质计算即可.
【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，
，即，
得.
故选：B.
变式4-2．记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，根据等差中项的性质列方程即可求解.
【详解】因为是等差数列的前项，
由等差数列前项和的性质可知：
，，成等差数列，
所以，
即，解得：，
故选：C.
变式4-3．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可
【详解】由，得，设，则，
因为数列是等差数列，
所以，……，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
变式4-4．在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可
【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故
故选：D
题型战法五 两个等差数列前n项和之比问题
典例5．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
变式5-1．等差数列，的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用即可得解.
【详解】由题得.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式5-2．若两等差数列，前项和分别为，，满足，则的值为.
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为两等差数列、前项和分别为、，满足，故
,选B
变式5-3．已知分别是等差数列前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用及等差数列的性质进行求解.
【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D
变式5-4．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设，，由，直接计算即可.
【详解】设，，.则，，所以.
故选：B.
题型战法六 等差数列的简单应用
典例6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（ ）
A．石B．石C．石D．石
【答案】B
【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解.
【详解】依题意，设甲､乙､丙分得的米重量分别为，，，则，
且，解得，，
所以，
故选：B.
变式6-1．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
【答案】A
【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．
【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故选：A．
变式6-2．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】C
【分析】设每日织布增长x尺，根据题意，并利用等差数列的求和公式列出方程求解即可.
【详解】设每日织布增长x尺，则，
即，解得.
故选：C.
变式6-3．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A．32石B．40石C．48石D．56石
【答案】B
【分析】由等差数列设甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量，，，，，根据已知条件列方程求参数a、d，即可求丁分得大米重量.
【详解】设甲，乙，丙，丁，戊所得大米分别为，，，，，
∴依题意，，即，
又，解得，
综上，可得，
∴丁分得大米重量为(石)，
故选：B.
变式6-4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）
A．174斤B．184斤C．180斤D．181斤
【答案】C
【解析】由题意设第个儿子分到的绵是，构造等差数列，利用等差数列求和公式求解.
【详解】设第8个儿子分到的绵是，第个儿子分到的绵是，则构成以为首项，为公比的等比数列
解得
故选：C
【点睛】与数列有关的实际问题，可由条件构造等差或等比数列，利用求和公式构造等式求解.
题型战法七 由递推关系证明等差数列
典例7．数列满足.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)若，求数列的通项公式
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由递推关系可证得，由此可证得结论；
（2）由等差数列通项公式可求得，由此可得.
(1)
当时，，
数列是以为公差的等差数列.
(2)
，数列首项为，公差为，，
则，.
变式7-1．已知数列中，，.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)=.
【分析】(1)根据已知条件，证明－为常数即可；
(2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式.
(1)
由已知得，＝2，－＝＝＝2，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
(2)
由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝.
变式7-2．已知数列中，，，设．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意化简得到，结合等差数列的定义，即可求解；
（2）由（1）得到，即可求得的通项公式．
(1)
证明：因为，所以．
则，
所以是首项为，公差为的等差数列．
(2)
解：由知，所以，解得，
所以的通项公式为.
变式7-3．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)，n∈N*
【分析】（1）由已知条件转化可得－＝，n∈N*，进而结合等差数列的定义即可得出结论；
（2）利用等差数列的定义可求出数列的通项公式，进而求出结果.
(1)
证明 由
即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.
(2)
由（1）知＝＋＝，
所以，n∈N*.
变式7-4．设为数列的前n项和，且
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意化简得到，结合等差数列的定义，即可证得数列是等差数列.
（1）由（1），利用等差数列的通项公式，求得，结合当时，，即可求得数列的通项公式.
(1)
解：由题意，数列满足，可得，
则，所以，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列.
(2)
解：由数列表示首项为，公差为的等差数列，
可得，所以，
当时，可得，
因为，可得，不适合上式，
所以数列的通项公式为 ．
题型战法八 含绝对值的等差数列前n项和
典例8．已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列前n项和、通项公式求首项与公差，进而写出通项公式.
（2）首先判断、对应n的范围，再根据各项的符号，应用分组求和及等差数列前n项和求.
(1)
由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
(2)
由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
变式8-1．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式；
（2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∴，解得，
∴.
（2）由（1）知：，则，得，又，
∴时，，而，，
∴数列的前项和，而，，
∴，故.
变式8-2．在等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求解方程组，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果.
（2）对数列中项的正负情况进行讨论，再结合等差数列的前项和公式，即可求出结果.
(1)
解：设的公差为d，因为，，
所以解得
故.
(2)
解：设的前项和为，则.
当时，，
所以
所以；
当时，
.
所以.
变式8-3．记数列中，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)且.
【分析】（1）由已知可得，根据等差数列的定义可证等差数列，进而写出通项公式.
（2）由（1）有，讨论、分别求即可.
(1)
∵，，，
∴，
∴，即数列为等差数列，
.
(2)
由（1）知：，
时，，
时，.
∴且.
变式8-4．数列中，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据关系式确定数列是等差数列，进一步求出通项公式．
（2）利用分类讨论的方法，通过变换求数列的和．
(1)
根据，得到数列是等差数列．
所以
所以
(2)
令，解得：，
当时，解得
所以：①当时，
②当时，
所以