所属成套资源:高考数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)(原卷版+解析)
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高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.2.1点线面的位置关系(题型战法)(原卷版+解析)
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这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.2.1点线面的位置关系(题型战法)(原卷版+解析),共52页。试卷主要包含了点与直线的位置关系,点与平面的位置关系,直线与平面的位置关系,面面平行的性质定理等内容,欢迎下载使用。
知识梳理
一 点线面的位置关系
1.点与直线的位置关系:点在直线上,记作;点在直线外,记作:;
2.点与平面的位置关系:点在平面内,记作;点在平面外,记作:;
3.直线与平面的位置关系:直线在平面上,记作;直线不在平面上,记作:。
二 直线、平面平行的判定与性质
1.线面平行的判定定理
若,,,则
2.线面平行的性质定理
若,,α∩β=b,则
3.面面平行的判定定理
若,,a∩b=P,,则
推论:,,a∩b=P,c∩d=Q,,则
4.面面平行的性质定理
= 1 \* GB3 ①若,,则。 = 2 \* GB3 ②若,α∩γ=a,β∩γ=b,则
三 直线、平面垂直的判定与性质
1.线面垂直的判定定理
若,,b∩c=P,,,则
2.线面垂直的性质定理
= 1 \* GB3 ①若,,则 = 2 \* GB3 ②若,,则
3.面面垂直的判定定理
若,,则
4.面面垂直的性质定理
若,α∩β=l,,,则
题型战法
题型战法一 点线面的位置关系
典例1.已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面α,β,下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
变式1-1.已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理中错误的是( )
A.B.
C.D.,
变式1-2.设m、n是两条不同的直线,α是一个平面,下列选项中可以判定“的是( )
A.且B.且
C.且D.且
变式1-3.已知a、b是两条不相同的直线,、是两个不重合的平面,则下列命题为假命题的是( )
A.若,,则a与相交B.若,,,则
C.若,,,则a⊥bD.若,,,则a⊥b
变式1-4.已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,下列命题中,正确的是( )
A.若∥,∥,则∥
B.若,,则
C.若,∥,且,则
D.若,,且,则
题型战法二 线面平行的判定
典例2.如图,在四棱锥中,底面是正方形,若、分别为、的中点,求证:侧面.
变式2-1.如图,在四棱锥中,底面为矩形,为中点,证明:平面
变式2-2.如图,四棱锥中,点M、N分别为直线上的点,且满足,求证:平面.
变式2-3.如图,四棱锥中,底面,,,,为的中点.
证明:平面;
变式2-4.在直三棱柱中,E,F分别是,的中点,求证:平面.
题型战法三 面面平行的判定
典例3.如图所示,在正方体中,,,分别是,,的中点.求证:平面平面.
变式3-1.如图,已知四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证:
(1)平面PCD;
(2)平面平面PBC.
变式3-2.如图,在长方体中,,E,F,Q分别为的中点,求证:平面平面.
变式3-3.如图,在正方体中,E,F分别为棱的中点.求证:平面平面BDF
变式3-4.如图所示,在三棱柱中,、分别为,的中点,求证:平面平面.
题型战法四 线面平行的性质
典例4.如图,在四棱锥中,平面PAD,,求证:.
变式4-1.如图,在四面体中,,,点是的中点,,且直线面,求证:直线直线.
变式4-2.如图,已知长方体中,为的中点,平面交棱于点,求证:
变式4-3.如图,四棱锥中,底面为直角梯形,且,点在棱上,若直线平面,求的值
变式4-4.如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,,是上的点.若平面,求的值;
题型战法五 面面平行的性质
典例5.如图,是边长为的等边三角形,四边形为菱形,平面平面,,,.求证:平面
变式5-1.如图,AD//BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG//AD且,且,DG⊥平面ABCD,,若M为的中点,N为的中点,求证:MN//平面.
变式5-2.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
变式5-3.如图所示的几何体中,底面ABCD是等腰梯形,平面且E,F分别为,的中点.证明:面ABCD;
变式5-4.如图,已知平面α平面β,若点P在平面α,β之间(如图所示),P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长
题型战法六 线面垂直的判定
典例6.如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.证明:PO⊥平面ABC;
变式6-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是梯形,,且,,.
(1)若F为PA的中点,求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
变式6-2.如图,和都垂直于平面,且,,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
变式6-3.如图四棱锥中,底面,四边形中,,,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:面.
变式6-4.如图1,矩形中,,,为上一点且.现将沿着折起,使得,得到的图形如图2.证明:平面;
题型战法七 面面垂直的判定
典例7.如图,在四棱锥中,底面,,,,,为棱的中点,是线段上一动点.
求证:平面平面;
变式7-1.如图,四面体中,,E为的中点.证明:平面平面
变式7-2.如图,在四棱锥中,平面,底面是正方形,与交于点O,E为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
变式7-3.如图,四面体中,E是的中点,点F在上,平面,平面与平面的交线为l,,,证明:
(1);
(2)平面平面.
变式7-4.如图所示,直三棱柱中,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.
题型战法八 线面垂直的性质
典例8.如图,在直三棱柱中,E为的中点,且.
证明:.
变式8-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面,为 的中点且.
证明:.
变式8-2.如图,在三棱柱中,平面平面,,四边形是边长为的菱形,.证明:.
变式8-3.如图,四边形为矩形,且,,平面,,为的中点.
(1)求证:;
(2)若点为上的中点,证明平面.
变式8-4.如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAC=90°,AB=BC,E,F分别为AC,PC的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:AC⊥BF.
题型战法九 面面垂直的性质
典例9.如图,在四棱锥中,,,,,,平面平面.证明:平面
变式9-1.如图,在四棱锥,底面为梯形,且,,等边三角形所在的平面垂直于底面,.求证:平面;
变式9-2.如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:.
变式9-3.如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.求证:.
变式9-4.如图所示,已知菱形和矩形所在平面互相垂直,,,.
证明:平面平面;
第七章 空间向量与立体几何
7.2.1点线面的位置关系(题型战法)
知识梳理
一 点线面的位置关系
1.点与直线的位置关系:点在直线上,记作;点在直线外,记作:;
2.点与平面的位置关系:点在平面内,记作;点在平面外,记作:;
3.直线与平面的位置关系:直线在平面上,记作;直线不在平面上,记作:。
二 直线、平面平行的判定与性质
1.线面平行的判定定理
若,,,则
2.线面平行的性质定理
若,,α∩β=b,则
3.面面平行的判定定理
若,,a∩b=P,,则
推论:,,a∩b=P,c∩d=Q,,则
4.面面平行的性质定理
= 1 \* GB3 ①若,,则。 = 2 \* GB3 ②若,α∩γ=a,β∩γ=b,则
三 直线、平面垂直的判定与性质
1.线面垂直的判定定理
若,,b∩c=P,,,则
2.线面垂直的性质定理
= 1 \* GB3 ①若,,则 = 2 \* GB3 ②若,,则
3.面面垂直的判定定理
若,,则
4.面面垂直的性质定理
若,α∩β=l,,,则
题型战法
题型战法一 点线面的位置关系
典例1.已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面α,β,下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
【答案】D
【分析】ABC选项,可举出反例,D选项,可证明面面平行的性质证得.
【详解】对于A选项,,,则或,故A错误;
对于B选项,,,则或或与斜交,故B错误;
对于C选项,,,则或,故C错误;
对于D选项,,,根据面面平行,可证得线面平行,即
故选:D.
变式1-1.已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理中错误的是( )
A.B.
C.D.,
【答案】C
【分析】根据平面性质及符号表示的意义逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A,表示既在直线上,也在平面内,故,
故A正确.
对于B,表示既在平面内,也在平面内,
故,故B正确.
对于C,表示或有一个交点,若该交点为,则,故C错误.
对于D,表示有一个公共点,而表示或有一个交点,
故,故D正确.
故选:C.
变式1-2.设m、n是两条不同的直线,α是一个平面,下列选项中可以判定“的是( )
A.且B.且
C.且D.且
【答案】D
【分析】对于选项A、B、C通过举例可排除,对于选项D,根据线面垂直的关系可判断.
【详解】如图所示:正方体中,
对于A,取直线为,直线为,平面为面,显然不成立,故A错误;
对于B,取直线为,直线为,平面为面,显然不成立,故B错误;
对于C,取直线为,直线为,平面为面,显然不成立,故C错误;
对于D,根据垂直于同一平面的两条不同直线平行可知D正确.
故选:D.
变式1-3.已知a、b是两条不相同的直线,、是两个不重合的平面,则下列命题为假命题的是( )
A.若,,则a与相交B.若,,,则
C.若,,,则a⊥bD.若,,,则a⊥b
【答案】A
【分析】根据空间线线、线面、面面关系逐一判断可得选项.
【详解】解:对于A,若,,则a与可能相交,也可能平行,所以A是假命题;
对于B,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知,再结合,推出,故B是真命题;
对于C,由于,,所以或,而,则a⊥b,故C是真命题;
对于D,由于,,所以,而,则a⊥b,故D是真命题.
故选:A.
变式1-4.已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,下列命题中,正确的是( )
A.若∥,∥,则∥
B.若,,则
C.若,∥,且,则
D.若,,且,则
【答案】D
【分析】根据线面平行,面面平行,线面垂直和面面垂直的性质与判定定理分析判断即可
【详解】若∥,∥,则∥,或m与n相交或异面,故A不正确.
若,,则∥,故B不正确.
若,∥,且,则有可能∥,不一定,故C不正确.
若,,且,可以判断,故D正确.
故选:D
题型战法二 线面平行的判定
典例2.如图,在四棱锥中,底面是正方形,若、分别为、的中点,求证:侧面.
【答案】证明见解析.
【分析】连接,则为的中点,又因为为的中点,则,由线面平行的判定定理即可证明
【详解】证明:连接,
因为四边形为正方形,且为的中点,所以,为的中点,
又因为为的中点,则,
平面,平面,平面.
变式2-1.如图,在四棱锥中,底面为矩形,为中点,证明:平面
【答案】证明见解析
【分析】作出辅助线,得到线线平行,证明线面平行.
【详解】证明:设,连接,
因为分别为中点,
所以//,
因为平面,平面,
所以//平面.
变式2-2.如图,四棱锥中,点M、N分别为直线上的点,且满足,求证:平面.
【答案】证明见解析
【分析】通过线线平行来证得平面.
【详解】连接BD,
∵,∴,
∵平面ABCD,平面ABCD,
∴平面.
变式2-3.如图,四棱锥中,底面,,,,为的中点.
证明:平面;
【答案】证明见解析
【分析】取的中点,连接,易知四边形为平行四边形,则有,利用线面平行的判定可证结论.
【详解】证明:取的中点,连接,
∵分别为的中点,则且,又且,
∴且,故四边形为平行四边形,即,
∵面,面,
∴平面.
变式2-4.在直三棱柱中,E,F分别是,的中点,求证:平面.
【答案】证明见解析
【分析】取的中点,连接,,证明四边形是平行四边形,进而可得,从而利用线面平行的判断定理即可证明.
【详解】证明:取的中点,连接,,
因为在直三棱柱中,E,F分别是,的中点,
所以且,又且,
所以且,
所以四边形是平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
题型战法三 面面平行的判定
典例3.如图所示,在正方体中,,,分别是,,的中点.求证:平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】连接,由三角形中位线定理可得,再由正方形的性质可证得,则,利用线面平行的判定定理可证得平面,同理可证得平面,再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】证明:如图,连接.
因为,分别是,的中点,所以.
因为∥,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
同理可证平面.
又因为,,平面,
所以平面平面.
变式3-1.如图,已知四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证:
(1)平面PCD;
(2)平面平面PBC.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析﹒
【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可;
(2)利用中位线证明NQ∥PB,结合(1)中结论即可证明.
(1)由题意,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点,∴N是AC的中点,∴,∵平面PCD,平面PCD,∴平面PCD;
(2)由(1)知,平面PBC,平面PBC,∴MN∥平面PBC,∵ABCD为平行四边形,∴N是BD中点,又∵Q是PD中点,∴在△PBD中,NQ∥PB,∵PB平面PBC,NQ平面PBC,∴NQ∥平面PBC,∵MN∩NQ=N,MN、NQ平面MNQ,∴平面平面PBC.
变式3-2.如图,在长方体中,,E,F,Q分别为的中点,求证:平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】通过条件分别证明平面,平面两组线面平行,从而证出面面平行即可.
【详解】因为E是的中点,Q是的中点,
所以,所以四边形是平行四边形,
所以.
又因为平面平面,
所以平面.
又因为F是的中点,所以,
因为平面平面,所以平面.
因为平面平面,
所以平面平面.
变式3-3.如图,在正方体中,E,F分别为棱的中点.求证:平面平面BDF
【答案】证明见解析
【分析】根据,可证明平面;又,可得平面.进而根据线面平行证明面面平行.
【详解】证明:在正方体中,E,F分别为棱的中点,
所以.
因为,且,
所以,且,
所以四边形是平行四边形,所以
又平面BDF,平面BDF,
所以平面.
同理,,又平面BDF,平面BDF,
所以平面.
又,平面,
所以平面平面
变式3-4.如图所示,在三棱柱中,、分别为,的中点,求证:平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】由得到平面,连接、,,再连接,即可得到,从而得到平面,即可得证.
【详解】证明:在三棱柱中,四边形、为平行四边形,
又、分别为,的中点,
所以且,所以四边形为平行四边形,
所以,因为平面,平面,所以平面,
连接、,,再连接,由四边形为平行四边形,
所以为的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,
又,平面,
所以平面平面.
题型战法四 线面平行的性质
典例4.如图,在四棱锥中,平面PAD,,求证:.
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件,利用线面平行的性质推理作答.
【详解】在四棱锥中,平面,平面,平面平面,
所以.
变式4-1.如图,在四面体中,,,点是的中点,,且直线面,求证:直线直线.
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件,利用线面平行的性质推理作答.
【详解】因直线平面,平面,平面平面,
所以.
变式4-2.如图,已知长方体中,为的中点,平面交棱于点,求证:
【答案】证明见解析
【分析】由题知平面平面,进而得平面,再根据线面平行性质定理即可证明.
【详解】解:由长方体的性质知:平面平面,又面,
所以平面,
又因为面面,且面,
所以.
变式4-3.如图,四棱锥中,底面为直角梯形,且,点在棱上,若直线平面,求的值
【答案】1∶2
【分析】连接与交于点,连接,进而根据线面平行性质定理得.
【详解】解:连接与交于点,连接,
∵,,
∽,,
又∵平面,平面,且平面平面
∴
,即
变式4-4.如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,,是上的点.若平面,求的值;
【答案】.
【分析】连接,交于点,连接,由线面平行的性质定理得线线平行,由平行线得比例线段.
【详解】连接,交于点,连接;
平面,平面,平面平面,
,;
,,,
,即的值为.
题型战法五 面面平行的性质
典例5.如图,是边长为的等边三角形,四边形为菱形,平面平面,,,.求证:平面
【答案】证明见解析
【分析】根据线线平行可证明线面平行,根据线面平行进一步证明面面平行,根据平面与平面平行的性质可证明线面平行.
【详解】因为四边形为菱形,则,
平面,平面,平面,
,平面,平面,平面,
,所以,平面平面,
因为平面,平面.
变式5-1.如图,AD//BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG//AD且,且,DG⊥平面ABCD,,若M为的中点,N为的中点,求证:MN//平面.
【答案】证明见解析
【分析】取H是DG的中点,连接NH,MH,证明NH,MH都与平面平行,得面面平行,从而再得线面平行.
【详解】证明:设H是DG的中点,连接NH,MH,
由于M是CF的中点,所以MH∥CD,
由于MH平面CDE,CD⊂平面CDE,
所以MH∥平面CDE.
由于N是EG的中点,所以NH∥DE,
由于由于NH平面CDE,DE⊂平面CDE,
所以NH∥平面CDE.
由于NH⋂MH=H,平面,
所以平面MNH∥平面CDE,
由于MN⊂平面MNH,所以MN∥平面CDE.
变式5-2.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
【答案】证明见解析.
【分析】取中点,连结、,推导出平面平面,由此能证明平面.
【详解】证明:取中点,连结、,
、为、的中点,
且,且,由线面平行的判定定理得平面,
又,,由线面平行的判定定理得平面,
,,平面,平面
平面平面,
面,平面.
变式5-3.如图所示的几何体中,底面ABCD是等腰梯形,平面且E,F分别为,的中点.证明:面ABCD;
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行的判定定理可得平面ABCD,平面ABCD,再根据面面平行的判定定理及性质可证明.
【详解】解:证明:取的中点G,连接EG,FG,AC,
因为,平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD.
因为,,所以四边形AGFC是平行四边形,
,又平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD.
因为,平面,
所以平面平面ABCD.
因为平面ABCD,所以平面ABCD.
变式5-4.如图,已知平面α平面β,若点P在平面α,β之间(如图所示),P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长
【答案】24
【分析】由面面平行的性质定理可得,则,进而可求得.
【详解】设由相交直线确定的平面为,依题意可知,,因为,所以,则,即,解得.
题型战法六 线面垂直的判定
典例6.如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.证明:PO⊥平面ABC;
【答案】证明见解析
【分析】连接OB,证明得,即得线线垂直,由此得线面垂直.
【详解】证明:连接OB.
∵,∴,即ABC是直角三角形,
又O为AC的中点,∴
又∵,则
∴
∴.
∴,OB、AC平面ABC
∴PO⊥平面ABC.
变式6-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是梯形,,且,,.
(1)若F为PA的中点,求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)取PD中点E,连接EF、EC,可得且,则四边形EFBC为平行四边形,则,根据线面平行的判定定理,即可得证
(2)根据三角形性质,可证,结合(1)可得,根据线面垂直的判定定理,即可得证
(1)
取PD中点E,连接EF、EC,如图所示
因为E、F分别为PD、PA中点,
所以,且,
又因为,且,
所以且,
所以四边形EFBC为平行四边形,
所以,
因为平面PCD,平面PCD,
所以平面PCD
(2)
因为,F为PA中点,
所以,则,
因为,平面PCD,
所以平面PCD.
变式6-2.如图,和都垂直于平面,且,,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明;
(2)利用线面垂直可得线线垂直,再利用线面垂直的判定定理证明即可;
(1)
证明:(1)取的中点,连接,,
∵是的中点,∴,,
∵和都垂直于平面,∴,
∵,∴,,
∴四边形为平行四边形,从而,
∵平面,平面,∴平面.
(2)
证明∵垂直于平面,平面,∴,
∵,∴,
∵,平面,∴平面,
由(1)可知:,∴平面.
变式6-3.如图四棱锥中,底面,四边形中,,,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)取的中点,连接,,即可得到且,从而得到,即可得证;
(2)利用勾股定理逆定理得到,再由线面垂直的性质得到,即可得证;
(1)
证明:取的中点,连接,,
因为为的中点,所以且,
又且,
所以且,
四边形是平行四边形,
,
平面,平面
平面.
(2)
证明:设,则,,
所以,即,所以.
平面,平面, 所以,
又,平面,∴CD⊥平面.
变式6-4.如图1,矩形中,,,为上一点且.现将沿着折起,使得,得到的图形如图2.证明:平面;
【答案】证明见解析
【分析】用勾股定理逆定理证明,然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直.
【详解】∵四边形为矩形,,且,则,,
∴,
∵,∴,
∵,,∴,∴,
∵四边形为矩形,∴,
∵,平面,∴平面.
题型战法七 面面垂直的判定
典例7.如图,在四棱锥中,底面,,,,,为棱的中点,是线段上一动点.
求证:平面平面;
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面,再由面面垂直的判定定理可得答案.
【详解】因为,,则,
平面,平面,,
,、AB⊂平面,平面,
平面,因此,平面平面.
变式7-1.如图,四面体中,,E为的中点.证明:平面平面
【答案】证明见解析
【分析】依题意可得,再由三角形全等得到,即可得到,从而得到平面,即可得证;
【详解】证明:因为,为的中点,所以;
在和中,因为,
所以,所以,又因为为的中点,所以;
又因为平面,,所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
变式7-2.如图,在四棱锥中,平面,底面是正方形,与交于点O,E为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)证明:∵四边形为正方形,∴O为的中点,∵E为的中点,∴,又∵平面平面,∴平面;
(2)证明:∵四边形为正方形,∴,∵平面,且平面,所以,又∵平面,且,∴平面,又∵平面,∴平面平面.
变式7-3.如图,四面体中,E是的中点,点F在上,平面,平面与平面的交线为l,,,证明:
(1);
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)由线面平行的性质得到、,根据平行公理即可证明;
(2)依题意可得、,即可得到平面,从而得证.
(1)
证明:因为平面,平面平面,平面,所以,
又平面平面,平面,所以,
所以.
(2)
证明:,,,
,是的中点,
又,平面,平面,
平面,平面平面.
变式7-4.如图所示,直三棱柱中,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】作出辅助线,得到,从而证明线面平行;(2)先证明与,得到平面,结合平面,得到平面平面
(1)
连接,与相交于点F,连接MF,则为的中点,
因为为中点,
所以MF是的中位线,
所以,
因为平面,平面,
所以平面
(2)
因为直三棱柱上下底面为正三角形,,,
所以,
所以,
所以,即,
由三线合一可得:,
又因为平面ABC,平面ABC,
所以,
因为,
所以平面,
因为平面,
所以
因为
所以平面,
因为平面,
所以平面平面
题型战法八 线面垂直的性质
典例8.如图,在直三棱柱中,E为的中点,且.
证明:.
【答案】证明见解析
【分析】由线面垂直的判定定理可得平面,再由线面垂直的性质定理可得答案.
【详解】因为,且,所以,
因为是直三棱柱,所以平面,
所以,又因为,且平面,平面,
所以平面,因为平面,
所以.
变式8-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面,为 的中点且.
证明:.
【答案】证明见解析
【分析】由底面,证得,结合,证得平面,进而证得.
【详解】证明:因为底面,平面,所以,
又因为,且,平面,所以平面,
因为平面,所以.
变式8-2.如图,在三棱柱中,平面平面,,四边形是边长为的菱形,.证明:.
【答案】证明见解析
【分析】取中点,连接,根据正三角形的性质,结合线面垂直的判定与性质证明即可.
【详解】取中点,连接,
,
为正三角形,.
.
又面,面,
又面,
变式8-3.如图,四边形为矩形,且,,平面,,为的中点.
(1)求证:;
(2)若点为上的中点,证明平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)连接,矩形中可证出,由平面证出,从而得到平面,所以有;
(2)取,的中点,,连接、、.利用矩形和三角形中位线定理,证出四边形是平行四边形,从而证出,结合线面平行判定定理,可得平面.
(1)证明:连接,∵为的中点,∴为等腰直角三角形,由此可得,同理,∴,即,又∵平面,且平面,∴,又∵,,平面,∴平面,又∵平面,∴.
(2)证明:取、的中点、,连接、、.∵、是,的中点,中,可得且,又∵是的中点,且四边形为矩形,∴且,∴、平行且相等,可得四边形是平行四边形.∴,又∵平面,平面,∴平面.
变式8-4.如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAC=90°,AB=BC,E,F分别为AC,PC的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:AC⊥BF.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)用线面平行的判定定理证明即可;
(2)先由条件证明平面,然后由线面垂直定义即可证明
(1)
因为E,F分别为AC,PC的中点,
所以,
因为平面,平面,
所以平面;
(2)
因为∠PAC=90°,
所以,
又因为,
所以,
又AB=BC,E为AC的中点,
所以,
又,
所以平面,
又平面,
所以
题型战法九 面面垂直的性质
典例9.如图,在四棱锥中,,,,,,平面平面.证明:平面
【答案】证明见解析
【分析】由面面、线面垂直的性质可得,且,根据线面垂直的判定即可证结论;
【详解】证明:由题设,,又面面,面面,面,
所以面,而面,则,
由得:,
又,则平面.
变式9-1.如图,在四棱锥,底面为梯形,且,,等边三角形所在的平面垂直于底面,.求证:平面;
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质,在结合线面垂直的判定定理,即可得出结论.
【详解】证明:如图所示,取中点,连接,
是正三角形,为中点,
又平面平面,且平面平面,
平面,
又平面,,
,且,平面,
平面;.
变式9-2.如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:.
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质定理,可得答案.
【详解】,
平面底面,且平面底面,
平面,平面,.
变式9-3.如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.求证:.
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面,从而即可证明.
【详解】证明:因为为矩形,所以.
又平面平面,平面平面,AB⊂平面,
所以平面,
因为平面,所以.
变式9-4.如图所示,已知菱形和矩形所在平面互相垂直,,,.
证明:平面平面;
【答案】证明见解析
【分析】由面面垂直的性质定理可证得平面,又因为平面,由面面垂直的判定定理即可证明平面平面.
【详解】证明:因为平面平面,
平面面,
因为四边形为菱形,平面,
平面,
平面, 平面面.
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