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2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形（3类必考点）
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专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc9681" 【基本知识】 PAGEREF _Toc9681 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc30260" 【考点一：利用余弦定理解三角形】 2 HYPERLINK \l "_Toc17429" 【考点二：利用正弦定理解三角形】 PAGEREF _Toc17429 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12625" 【考点三：面积公式及应用】 PAGEREF _Toc12625 \h 13【基本知识】【知识点：正弦定理与余弦定理】[方法技巧] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[方法技巧] 求解与三角形面积有关的问题的步骤【考点一：利用余弦定理解三角形】【知识点：利用余弦定理解三角形】利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．(2)已知三边，求三个内角．1．（2024下·山东·高三烟台二中校联考开学考试）已知在中，，则（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理运算求解.【详解】由余弦定理得，所以．故选：D．2．（2024下·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理求解.【详解】由余弦定理可得：，所以.故选：C3．（2024下·全国·高一专题练习）在中，若，则=（ ）A．90° B．30°C．120° D．150°【答案】B【分析】利用余弦定理解三角形即可求得.【详解】因为，所以，由余弦定理可得，，所以.故选：B．4．（2024下·江苏苏州·高三统考开学考试）在△ABC中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.当取最小值时， 则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，结合余弦定理得，代入得最小值，此时，然后结合余弦定理得到，进而得到答案.【详解】因为，结合余弦定理得，，整理得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时此时，又因为，所以，故选：B.5．（多选）（2024下·全国·高一专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【分析】根据余弦定理判断A；根据余弦定理和基本不等式，即可判断B；利用反证法，假设，结合余弦定理和不等式的性质，即可判断C；举反例，即可判断D.【详解】A.由，可以得出，所以，故A正确；B.由，得，得，故B错误；C.假设，则，，，，即，与矛盾，,故C正确；D.取，满足，此时,故D错误．故选：AC.6．（2024·全国·高三专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则 ， ．【答案】5；【分析】由余弦定理求出的值；由求出.【详解】由余弦定理可得，即，故，解得（舍）或，因为，所以，又，故．故答案为：；.7．（2024下·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则 ．【答案】【分析】根据余弦定理求得，进而求得．【详解】由余弦定理，，因为，所以，即，解得（舍），所以，．故答案为：.8．（2024下·全国·高一专题练习）的内角所对的边满足，且，则的最小值为 ．【答案】/【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解．【详解】由得，根据余弦定理可得，所以，解得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故答案为：.9．（2024下·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，解三角形．【答案】，，．【分析】根据余弦定理即可求出的长度和.【详解】∵，，，∴由余弦定理得，即，∴．∴．∵，∴，∴．∴，，．10．（2024下·全国·高一专题练习）已知为的三个内角，其所对的边分别为，且.(1)求A的大小；(2)若，求c的值．【答案】(1)120°(2)【分析】（1）由题意，根据二倍角的余弦定理可得，即可求解；（2）利用余弦定理建立关于c的方程，解之即可求解.【详解】（1）∵，，∴，∴，由，得.（2）由余弦定理，知，又，∴，化简，得，解得或（舍去）．【考点二：利用正弦定理解三角形】【知识点：利用正弦定理解三角形】利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）的内角的对边分别为.已知，，，则的外接圆半径为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由余弦定理求出，再利用同角三角函数关系及正弦定理求解即可.【详解】因为，，，所以由余弦定理可得，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即.则的外接圆半径为.故选：C2．（2024·全国·高三专题练习）已知D为的边AC上一点，，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】有题目条件得到，设，则，，由余弦定理得，再根据正弦定理求出答案.【详解】因为，所以，所以由，得，于是．设，则，，在中，由余弦定理得，即，解得．所以，．在中，由正弦定理得，故．故选：A．3．（多选）（2024下·河北石家庄·高一栾城中学校联考开学考试）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，选项A正确；B选项，，选项B错误；在中，由正弦定理得，故C和D正确.故选：ACD4．（多选）（浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）A．B．C．是锐角三角形D．的最大内角是最小内角的倍【答案】AC【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；对于B，由余弦定理可得，，，所以，，B错；对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；对于D，由题意知，为最小角，则，因为，则，则，D错.故选：AC.5．（2024下·全国·高一专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）【答案】2.232【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【详解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因为，且，所以，所以（米）．故答案为：6．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.【详解】（1）证明：由正弦定理及条件可得，由余弦定理可得，化简得．（2）由得，化简得，又，故，所以，故．7．（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）在中，的对边分别为，已知.(1)求；(2)已知点在线段上，且，求长.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.（2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.8．（2024上·河北邢台·高三统考期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式，由正弦定理边化角，由正弦值求角；（2）由锐角，求出角的范围，化简得，结合正弦函数的性质，求出取值范围.【详解】（1），由正弦定理得．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，由，得，所以.即的取值范围为.9．（2024下·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．(1)求角；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过，利用三角恒等变形公式计算即可；（2）利用正弦定理，将用角表示出来，然后利用的范围求的取值范围．【详解】（1）因为与垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根据三角形是锐角三角形得，解得，则，所以，所以，则，则的取值范围为.10．（2024·广东湛江·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.【详解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.【考点三：三角形的面积公式及应用】【知识点：三角形的面积公式及应用】三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．1．（2024·河南·高三专题练习）已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求得，再由，求得，结合余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】因为，可得，即，即，可得，因为，则，所以，解得，又因为，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，即，当且仅当时等号成立.故选：C．2．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，解得，所以为等腰三角形，则，在中由正弦定理可得，即，解得，因为，所以为锐角，所以，所以.故选：A3．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积.【详解】设，在中，，在中，，所以，解得，因为，所以，所以的面积为.故选：C4．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．【答案】3【分析】根据，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案为：35．（2022上·河南·高三校联考期末）在中，满足，且点为边上一点，，的面积为，则内角 ； .【答案】 / 【分析】已知条件利用三角形的性质和倍角公式化简，可求出角，由的面积和余弦定理结合三角形形状，求出和，中，由正弦定理求得.【详解】因为，则，即，，，所以，有，得.因为，所以，，所以，则为等边三角形，，，在中，由余弦定理得，即，所以，中，由正弦定理得.故答案为：；6．（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）记的内角的对边分别为，已知．(1)；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，因为，可得.（2）解：由（1）知，因为，设的外接圆的半径为，可得，所以，因为，可得，所以的面积为.7．（2024上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)12【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；（2）表示出面积，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）由已知及正弦定理得：,即，由，故，,因为，所以.（2）由已知得，，又，，所以由余弦定理得：，所以，从而，即,∴周长为．8．（2024·四川成都·统考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可知：，因为，所以.（2）由，可知角为锐角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得.9．（2024·贵州贵阳·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解；（2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以，即.又，所以.（2）由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.当且仅当时等号成立.所以的面积，当且仅当时，面积取得最大值.10．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值. 定理正弦定理余弦定理内容eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B，c＝2 R sin_C；sin A＝eq \f(a,2R)；sin B＝eq \f(b,2R)；sin C＝eq \f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2 Rcos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc9681" 【基本知识】 PAGEREF _Toc9681 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc30260" 【考点一：利用余弦定理解三角形】 2 HYPERLINK \l "_Toc17429" 【考点二：利用正弦定理解三角形】 PAGEREF _Toc17429 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12625" 【考点三：面积公式及应用】 PAGEREF _Toc12625 \h 13【基本知识】【知识点：正弦定理与余弦定理】[方法技巧] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[方法技巧] 求解与三角形面积有关的问题的步骤【考点一：利用余弦定理解三角形】【知识点：利用余弦定理解三角形】利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．(2)已知三边，求三个内角．1．（2024下·山东·高三烟台二中校联考开学考试）已知在中，，则（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理运算求解.【详解】由余弦定理得，所以．故选：D．2．（2024下·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理求解.【详解】由余弦定理可得：，所以.故选：C3．（2024下·全国·高一专题练习）在中，若，则=（ ）A．90° B．30°C．120° D．150°【答案】B【分析】利用余弦定理解三角形即可求得.【详解】因为，所以，由余弦定理可得，，所以.故选：B．4．（2024下·江苏苏州·高三统考开学考试）在△ABC中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.当取最小值时， 则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，结合余弦定理得，代入得最小值，此时，然后结合余弦定理得到，进而得到答案.【详解】因为，结合余弦定理得，，整理得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时此时，又因为，所以，故选：B.5．（多选）（2024下·全国·高一专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【分析】根据余弦定理判断A；根据余弦定理和基本不等式，即可判断B；利用反证法，假设，结合余弦定理和不等式的性质，即可判断C；举反例，即可判断D.【详解】A.由，可以得出，所以，故A正确；B.由，得，得，故B错误；C.假设，则，，，，即，与矛盾，,故C正确；D.取，满足，此时,故D错误．故选：AC.6．（2024·全国·高三专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则 ， ．【答案】5；【分析】由余弦定理求出的值；由求出.【详解】由余弦定理可得，即，故，解得（舍）或，因为，所以，又，故．故答案为：；.7．（2024下·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则 ．【答案】【分析】根据余弦定理求得，进而求得．【详解】由余弦定理，，因为，所以，即，解得（舍），所以，．故答案为：.8．（2024下·全国·高一专题练习）的内角所对的边满足，且，则的最小值为 ．【答案】/【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解．【详解】由得，根据余弦定理可得，所以，解得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故答案为：.9．（2024下·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，解三角形．【答案】，，．【分析】根据余弦定理即可求出的长度和.【详解】∵，，，∴由余弦定理得，即，∴．∴．∵，∴，∴．∴，，．10．（2024下·全国·高一专题练习）已知为的三个内角，其所对的边分别为，且.(1)求A的大小；(2)若，求c的值．【答案】(1)120°(2)【分析】（1）由题意，根据二倍角的余弦定理可得，即可求解；（2）利用余弦定理建立关于c的方程，解之即可求解.【详解】（1）∵，，∴，∴，由，得.（2）由余弦定理，知，又，∴，化简，得，解得或（舍去）．【考点二：利用正弦定理解三角形】【知识点：利用正弦定理解三角形】利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）的内角的对边分别为.已知，，，则的外接圆半径为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由余弦定理求出，再利用同角三角函数关系及正弦定理求解即可.【详解】因为，，，所以由余弦定理可得，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即.则的外接圆半径为.故选：C2．（2024·全国·高三专题练习）已知D为的边AC上一点，，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】有题目条件得到，设，则，，由余弦定理得，再根据正弦定理求出答案.【详解】因为，所以，所以由，得，于是．设，则，，在中，由余弦定理得，即，解得．所以，．在中，由正弦定理得，故．故选：A．3．（多选）（2024下·河北石家庄·高一栾城中学校联考开学考试）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，选项A正确；B选项，，选项B错误；在中，由正弦定理得，故C和D正确.故选：ACD4．（多选）（浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）A．B．C．是锐角三角形D．的最大内角是最小内角的倍【答案】AC【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；对于B，由余弦定理可得，，，所以，，B错；对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；对于D，由题意知，为最小角，则，因为，则，则，D错.故选：AC.5．（2024下·全国·高一专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）【答案】2.232【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【详解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因为，且，所以，所以（米）．故答案为：6．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.【详解】（1）证明：由正弦定理及条件可得，由余弦定理可得，化简得．（2）由得，化简得，又，故，所以，故．7．（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）在中，的对边分别为，已知.(1)求；(2)已知点在线段上，且，求长.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.（2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.8．（2024上·河北邢台·高三统考期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式，由正弦定理边化角，由正弦值求角；（2）由锐角，求出角的范围，化简得，结合正弦函数的性质，求出取值范围.【详解】（1），由正弦定理得．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，由，得，所以.即的取值范围为.9．（2024下·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．(1)求角；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过，利用三角恒等变形公式计算即可；（2）利用正弦定理，将用角表示出来，然后利用的范围求的取值范围．【详解】（1）因为与垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根据三角形是锐角三角形得，解得，则，所以，所以，则，则的取值范围为.10．（2024·广东湛江·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.【详解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.【考点三：三角形的面积公式及应用】【知识点：三角形的面积公式及应用】三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．1．（2024·河南·高三专题练习）已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求得，再由，求得，结合余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】因为，可得，即，即，可得，因为，则，所以，解得，又因为，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，即，当且仅当时等号成立.故选：C．2．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，解得，所以为等腰三角形，则，在中由正弦定理可得，即，解得，因为，所以为锐角，所以，所以.故选：A3．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积.【详解】设，在中，，在中，，所以，解得，因为，所以，所以的面积为.故选：C4．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．【答案】3【分析】根据，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案为：35．（2022上·河南·高三校联考期末）在中，满足，且点为边上一点，，的面积为，则内角 ； .【答案】 / 【分析】已知条件利用三角形的性质和倍角公式化简，可求出角，由的面积和余弦定理结合三角形形状，求出和，中，由正弦定理求得.【详解】因为，则，即，，，所以，有，得.因为，所以，，所以，则为等边三角形，，，在中，由余弦定理得，即，所以，中，由正弦定理得.故答案为：；6．（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）记的内角的对边分别为，已知．(1)；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，因为，可得.（2）解：由（1）知，因为，设的外接圆的半径为，可得，所以，因为，可得，所以的面积为.7．（2024上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)12【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；（2）表示出面积，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）由已知及正弦定理得：,即，由，故，,因为，所以.（2）由已知得，，又，，所以由余弦定理得：，所以，从而，即,∴周长为．8．（2024·四川成都·统考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可知：，因为，所以.（2）由，可知角为锐角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得.9．（2024·贵州贵阳·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解；（2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以，即.又，所以.（2）由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.当且仅当时等号成立.所以的面积，当且仅当时，面积取得最大值.10．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值. 定理正弦定理余弦定理内容eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B，c＝2 R sin_C；sin A＝eq \f(a,2R)；sin B＝eq \f(b,2R)；sin C＝eq \f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2 Rcos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
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