高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后作业题，文件包含专题64平面向量的基本定理及坐标运算7类必考点原卷版docx、专题64平面向量的基本定理及坐标运算7类必考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc29232" 【考点1：平面向量的基本定理】 PAGEREF _Tc29232 \h 1
\l "_Tc1651" 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc1651 \h 5
\l "_Tc5329" 【考点3：向量模的坐标表示】 PAGEREF _Tc5329 \h 9
\l "_Tc2697" 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc2697 \h 12
\l "_Tc1612" 【考点5：向量平行的坐标表示】 PAGEREF _Tc1612 \h 15
\l "_Tc16243" 【考点6：向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc16243 \h 19
\l "_Tc953" 【考点7：向量夹角的坐标表示】 PAGEREF _Tc953 \h 22
【考点1：平面向量的基本定理】
【知识点：平面向量的基本定理】
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.
其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
1．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 .
【答案】/
【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】在中，点D，E满足，，
则，
而不共线，又，因此，
所以.
故答案为：
2．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）在平行四边形中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
故选：B

3．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可.
【详解】在中，，又点在边上，且，
则，
故选：A.

4．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形根据向量定比分点设出，构造方程组可解得，可得结果.
【详解】如下图所示：
设，则.
设，
则，
.
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
5．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）直角梯形中，角为直角，，，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据向量的三角形法则，将用表示可得结果.
【详解】因为，，所以
，
可得，，
又，
所以.
故选：B.
6．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
【考点2：向量线性运算的坐标表示】
【知识点：向量线性运算的坐标表示】
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则：
＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)．
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
1．（2024·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标
【详解】.
故选：B.
3．（2024上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解..
【详解】因为，，，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：A.
4．（多选）（2023上·江苏南通·高二统考阶段练习）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】分别设点，，，第四个顶点为，再分、、三种情况讨论，分别计算可得.
【详解】分别设点，，，第四个顶点为，
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
故选：ACD
5．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知向量，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算求得结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
6．（2024·北京海淀·高二校考阶段练习）已知点A的坐标为，点的坐标为，且，那么点的坐标为
【答案】
【分析】设点的坐标为，根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】设点的坐标为，则，
因为，则，解得，
所以点的坐标为.
故答案为：.
7．（2024·全国·高一课堂例题）已知点O，A，B，C的坐标分别为，，，，是否存在常数t，使得成立？解释你所得结论的几何意义．
【答案】不存在这样的常数，答案见解析
【分析】假设存在常数t，使得成立，根据向量线性运算的坐标表示和向量相等的条件，判断是否有解.
【详解】设存在常数，使得，则，
所以，
从而，此方程组无解．
故不存在这样的常数，使，即成立．
这表明：向量与不平行．
8．（2024·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）解答下列各题：
(1)设向量，，求；
(2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解；
（2）由向量的坐标表示求解.
【详解】（1）．
（2）由已知两点和，可得，
设点P的坐标是，则．
由已知，可得，
∴解得∴点P的坐标是．
【考点3：向量模的坐标表示】
【知识点：向量模的坐标表示】
[方法技巧]
求向量模的常用方法
(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝eq \r(x2＋y2).
(2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
1．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量a=(m,2),b=(1,1)．若|a+b|=|a|+|b|，则实数m=（ ）
A．2B．-2C．12D．−12
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算和模的计算即可求解.
【详解】解析：根据题意，向量a=(m,2),b=(1,1)，则a+b=(m+1,3)，
则|a+b|=m2+2m+10,|a|=m2+4,|b|=2．
若|a+b|=|a|+|b|，则有m2+2m+10=m2+4+2，
两边平方得到m+2=2⋅4+m2，再平方得到m2−4m+4=0，
解得m=2．
故选：A．
2．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若O为坐标原点，OA=(n,m),OB=(4n,p), F4,0，AF=m+1,BF=p+1，，则m+p的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出m+p的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.
【详解】由题意知，AF=(4−n,−m),BF=(4−4n,−p)，
又AF=m+1,BF=p+1可得，(4−n)2+m2=m2+2m+14−4n2+p2=p2+2p+1
整理得2(m+p)=n2+16n2−8n+4n+30，
令t=n+4n，则n2+16n2=t2−8，
且t∈−∞,−4∪4,+∞，
∴2m+p=t2−8t+22=t−42+6≥6，
∴m+p≥3，即m+p的最小值是3.
故选：C
3．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____
【答案】17
【分析】根据A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到AB=1,1,AC=2,−3，然后利用向量的加法和减法运算法则求解.
【详解】解：因为A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，
所以AB=1,1,AC=2,−3，
所以AB+AC=3,−2,AB−AC=−1,4，
则AB+AC=32+−22=13,AB−AC=−12+42=17，
所以 以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为17，
故答案为：17
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC，AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点，则PC+4PD的最小值为__________.
【答案】6
【分析】以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB=a,BP=x(0⩽x⩽a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB=a,BP=x(0⩽x⩽a），
因为AD=1,BC=2，所以P0,x,C2,0,D1,a，
所以PC=2,−x,PD=1,a−x,4PD=4,4a−4x，
所以PC+4PD=6,4a−5x，所以PC+4PD=36+(4a−5x)2⩾6，
所以当4a−5x=0，即x=45a时，PC+4PD的最小值为6.
故答案为：6
5．（2022·高一课时练习）已知O为坐标原点，OA=−1,8，OB=−4,1，OC=1,3．求证：△ABC是等腰直角三角形．
【答案】证明见解析.
【分析】分别求出AB,AC,BC，根据边之间的关系即可判断选项.
【详解】因为OA=−1,8，OB=−4,1，OC=1,3，
所以AB=OB−OA=−3,−7，AC=OC−OA=2,−5，BC=OC−OB=5,2，
所以AB=32+72=58,AC=22+52=29,BC=52+22=29，
所以AB2=AC2+BC2，且AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形．
6．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）设向量a=−1,2,b=1,−1,c=4,−5.
(1)求a+2b；
(2)若c=λa+μb，λ,μ∈R，求λ+μ的值；
【答案】(1)1；(2)2
【分析】（1）先求得a+2b，然后求得a+2b.
（2）根据c=λa+μb列方程组，化简求得λ,μ，进而求得λ+μ.
(1)a+2b=−1,2+2,−2=1,0，a+2b=1+0=1；
(2)4,−5=λ−1,2+μ1,−1=−λ+μ,2λ−μ，
所以−λ+μ=42λ−μ=−5，解得：λ=−1μ=3，所以λ+μ=2.
【考点4：向量数量积运算的坐标表示】
【知识点：向量数量积运算的坐标表示】
向量数量积的坐标表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2；
a在b上的投影向量为b|b|⋅a⋅b|b|=acsa,b⋅bb.
1．（2023春·四川·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积及线性运算的坐标表示计算即可.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，，，，
则ACD错误，B正确.
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A．13B．12C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积坐标运算求解即可.
【详解】设向量，
因为，，
所以，解得，
所以，故，
故选：C.
3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）平面向量满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故选：C
4．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再求出，即得解.
【详解】解：由题得，
所以，
所以在方向上的投影向量模长为，解得.
故选：B
5．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知向量，，则_________．
【答案】
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】因为，，则，因此，.
故答案为：.
6．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，则在上的投影向量为________．
【答案】
【分析】由投影向量的定义求结果即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故答案为：
7．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得，可得的坐标，根据数量积的坐标运算，求得；设，表示出，可得坐标，继而求得的表达式，结合二次函数性质求得的最小值.
【详解】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，
∴，
∵P是对角线上一点，且，可得，
∴，，
∴；
因为点M为线段（含端点）上的动点，则设,
故，
所以，，
故，
由于，所以时，取到最小值，
即的最小值为，
故答案为：；
【考点5：向量平行的坐标表示】
【知识点：向量平行的坐标表示】
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0.
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
1．（2024上·江苏南通·高三统考期末）若向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意，则“”是“”的充要条件.
故选：C．
2．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.
【详解】已知向量,,所以，
因为与共线，所以，解得：.
故选：C
3．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B.
4．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）设向量，若，则实数m的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示求解即得.
【详解】向量，则，
由，得，解得，
所以实数m的值为.
故选：D
5．（2024·陕西宝鸡·统考一模）设向量，，若向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量共线的坐标运算求出的值，再由向量线性运算的坐标表示求.
【详解】向量，，则，
若向量与共线，有，解得，则，
所以.
故选：A.
6．（2024·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）已知命题，，与共线，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，结合必要条件与充分条件的定义，可得答案.
【详解】充分性：由与共线，则，解得或0，p是q的不充分条件；
必要性：当，时，由，则与共线，p是q的必要条件.
故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的公式可得与同向共线，进而可得解.
【详解】由可知与同向共线,
令，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
所以，
故选：B.
8．（2024上·北京房山·高一统考期末）已知向量，，若，共线，且，则向量的坐标可以是 .（写出一个即可）
【答案】或（写出一个即可）
【分析】直接根据题目条件列方程组求解即可.
【详解】由已知得，解得或，
即向量的坐标可以是或.
故答案为：或（写出一个即可）.
9．（2024上·广东·高二学业考试）已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；
（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.
【详解】（1）设，，，
，
，，
，同理可得，
设BD的中点，
则，，
.
（2），，
三点共线，，
，解得.
【考点6：向量垂直的坐标表示】
【知识点：向量垂直的坐标表示】
[方法技巧]
平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[提醒] 注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
1．（2024上·广东·高三统考期末）已知向量，，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】A
【分析】由求出，从而可求解.
【详解】由，，所以，
因为，所以，得，
所以，故A正确.
故选：A.
2．（2024·湖南株洲·统考一模）已知向量，，若实数λ满足，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
故选：A.
3．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知平面向量，，若是直角三角形，则的取值是（ ）
A．2B．C．2或7D．2或5
【答案】C
【分析】先求出，再分别以三个点为直角顶点分类讨论，结合向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】，，则，
当是直角顶点时：，；
当是直角顶点时：，无解；
当是直角顶点时：，；
综上所述：或.
故选：C.
4．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第二十二中学校考期末）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数（ ）
A．0B．0或1C．1D．或2
【答案】B
【分析】利用向量垂直公式求解.
【详解】因为，
所以由已知得，
解得：或.
故选：B
5．（2024·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以，
则.
故选：C
6．（2024上·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知向量，若，且，则 ．
【答案】
【分析】由向量垂直的坐标表示和向量的模长组成方程组，求出结果即可.
【详解】因为，
所以，①
又因为，，
所以，②
由①②解得；或，
所以或，
故答案为：.
7．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则 .
【答案】/2.5
【分析】由题可得 ，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.
【详解】向量，，，
又，则，解得.
故答案为：
8．（多选）（2023下·广东佛山·高一石门中学校考阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
【答案】AB
【分析】根据向量共线和垂直的的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可．
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：AB．
【考点7：向量夹角的坐标表示】
【知识点：向量夹角的坐标表示】
[答案] (1)D (2)eq \f(2\r(2),3)
[方法技巧] 求解两个非零向量之间的夹角的步骤
1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知向量a=−1,0，b=x,1−x，则x>0是向量a，b夹角为钝角的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
【答案】C
【分析】若向量a，b夹角为钝角，则满足a⋅b<0a≠λbb≠0，求出x的范围，然后验证充分性与必要性.
【详解】∵b=x,1−x,∴b≠0
又因为向量a，b夹角为钝角
所以满足a⋅b<0a≠λbb≠0⇒−x<00⋅x≠−1×1−x
所以x>0且x≠1
因为x>0推不出x>0且x≠1，所以充分性不成立
又因为x>0且x≠1能推出x>0，所以必要性成立
所以x>0是向量a，b夹角为钝角的必要不充分条件
故选：C
2．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知平面向量a=1,3，b=−3,4，c=7,2，则下列结论正确的是（ ）
A．a⋅b=−15B．a+b+c=55
C．a+b与a的夹角为钝角D．a+b与c垂直
【答案】D
【分析】对于A直接利用数量积的坐标运算计算判断；对于B利用向量模的公式来计算判断；对于C通过计算a+b⋅a的正负来判断；对于D通过计算a+b⋅c的值来判断.
【详解】对于A：a⋅b=−3+12=9，A错误；
对于B：a+b+c=5,9=25+81=106，B错误；
对于C：a+b⋅a=−2,7⋅1,3=−2+21=19，则csa+b,a=a+b⋅aa+b⋅a>0，故a+b与a的夹角不为钝角，C错误；
对于D：a+b⋅c=−2,7⋅7,2=−14+14=0，则a+b⊥c，D正确；
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知a=x,1，b=2,2x+3，若a,b的夹角为钝角，则x的取值范围为（ ）
A．−34,+∞B．−∞,−2∪−2,−34
C．−∞,−34D．−2,−34∪−34,+∞
【答案】B
【分析】根据cs=a⋅ba⋅b<0和a,b不共线可构造不等式组求得结果.
【详解】∵a,b夹角为钝角，∴cs=a⋅ba⋅b<0且a,b不共线，
即a⋅b=4x+3<0且x2x+3≠2，解得：x<−34且x≠−2，
∴x的取值范围为−∞,−2∪−2,−34.
故选：B.
4．（2023·四川·校联考一模）已知向量a=−3,1，b=4,2，则a与b的夹角为______．
【答案】3π4
【分析】利用向量夹角公式的坐标表示计算即可.
【详解】设向量a与b的夹角为α，则csα=(−3,1)⋅(4,2)(−3)2+12⋅42+22=−1010⋅25=−22，
又0≤α≤π，所以α=3π4．
故答案为：3π4．
5．（2023·全国·模拟预测）已知向量a=3,−1，b=t,1，a,b=45∘，则t=______．
【答案】2
【分析】利用向量坐标夹角运用求参数.
【详解】因为a,b=45°，
所以csa,b=a⋅bab=3t−110⋅t2+1=22，
且3t−1>0⇒t>13，
整理得2t2−3t−2=0t>13，
解得：t=2或t=−12（舍去），
故答案为：2.
6．（2022秋·广西梧州·高二校考开学考试）已知向量a=3,2，b=1,−1．
(1)求a+b与2a−3b的坐标；
(2)求向量a，b的夹角的余弦值．
【答案】(1)a+b=4,1，2a−3b=3,7．
(2)2626
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；
（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.
【详解】（1）a+b=4,1，2a−3b=23,2−31,−1=3,7．
（2）a⋅b=3−2=1，a=9+4=13，b=1+1=2，
∴cs=a⋅ba⋅b=113⋅2=2626．
7．（2023·高一课时练习）已知向量a=1,1，b=2,m，m∈R．
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⊥b，求m的值；
(3)若a与b夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)m=2
(2)m=−2
(3)−2,2∪2,+∞
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知a⋅b>0且a,b不同向，由此可构造不等式组求得m的范围
【详解】（1）因为向量a=1,1，b=2,m，a//b，
所以1×m=2×1，解得m=2；
（2）因为向量a=1,1，b=2,m，a⊥b，
所以1×2+1×m=0，解得m=−2；
（3）∵a,b夹角为锐角，∴a⋅b>0且a,b不同向，∴1×2+1×m>0m≠2，
解得：m>−2且m≠2，∴m的取值范围为−2,2∪2,+∞.
8．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：a、b是同一平面内的两个向量，其中a=1,2．
(1)若|b|=52且a+b与b垂直，求a与b的夹角θ ；
(2)若b=1,1且a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)θ=2π3
(2)λ∈−53,0∪(0,+∞)
【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得a⋅b，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；
（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.
【详解】（1）解：由(a+b)⊥b得(a+b)⋅b=0，即a⋅b+b2=0 ，所以a⋅b=−b2=−54，
得csθ=a⋅ba⋅b=−545×52=−12，又θ∈0,π，所以θ=2π3；
（2）解：因为a=1,2，b=1,1，所以a+λb=1,2+λ1,1=1+λ,2+λ
所以a⋅a+λb>0，则λ+1+2λ+4>0⇒λ>−53，
由a→//a→+λb→得λ=0，
由与a与a+λb的夹角为锐角，所以λ∈−53,0∪(0,+∞)
模
||＝
||＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
⊥
·＝0
x1x2＋y1y2＝0
夹角
cs θ＝
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
第一步
由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积
第二步
分别求出这两个向量的模
第三步
根据公式cs θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))求解出这两个向量夹角的余弦值
第四步
根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角