艺术生高考数学专题讲义：考点26 平面向量基本定理及坐标运算

考点二十六  平面向量基本定理及坐标运算

知识梳理

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．

一个平面向量a能用一组基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解。当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。

2．平面向量的坐标运算

(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝.

3．向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0.

4．向量相等

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，则x1＝x2，y1＝y2，即坐标对应相等.

典例剖析

题型一  利用基向量表示其他向量

例1　如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，

解析  设＝a，＝b.

因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a.

因而⇒即＝(2d－c)，＝(2c－d)．

变式训练  如图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则c＝__________.

答案  c＝－a＋b

解析  ∵＝－3，∴－＝－3(－)．∴＝－＋，即c＝－a＋b.

解题要点  用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

题型二  平面向量的坐标表示

例2　(1)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝__________.

(2) 若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．

答案  (1) (－2，－6)    (2) (－2，－4)

解析  (1)2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．(2) ＝＋＝－＝(－2，－4)．

变式训练  已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为________．

答案 

解析  设D(x，y)，则由＝2，得(4，3)＝2(x，y－2)，得解得

解题要点  求解向量相等问题，常常借助方程(方程组)的思想.

题型三  向量共线

例3　(1)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．

(2)已知点A(－1,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为__________.

答案  (1) －6    (2) 7

解析  (1)a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.

(2)＝(3，y－1)，a＝(1,2)，∥a，则2×3＝1×(y－1)，解得y＝7.

变式训练  已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．

答案　

解析　因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，

所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，

v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，

又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，

即10x＝5，解得x＝.

解题要点  (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．

当堂练习

1．(2015江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

答案　－3

解析　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.

2．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.

答案  4

解析  ∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，

∴＝－＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)．

又，为矩形相邻两边所对应的向量，

∴⊥，即·＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0，即k＝4.

3. 设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为__________.

答案 (4，－6)

解析  由题意知，4a＋3b－2a＋c＝0，

∴c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6).

4．已知向量＝(1，－2)，＝(－3，4)，则 等于 __________.

答案  (－2,3)

解析  依题意得＝－＝(－4,6)，

＝(－4,6)＝(－2,3).

5．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为__________.

答案  (0，－2)

解析  设D(x，y)，由题意知＝＋，

即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，

∴∴

课后作业

一、    填空题

1． (2015新课标Ⅰ文)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于__________.

答案　(－7，－4)

解析　＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝__________.

答案

解析  可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.

3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为__________.

答案 

解析  ∵＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴||＝＝5，

∴与同方向的单位向量为＝.

4．在▱ABCD中，若＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线交点为O，则等于__________.

答案　(－，－5)

解析　＝－＝－(＋)＝－(1,10)＝(－，－5)．

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝__________.

答案  2

解析  由平行四边形法则知＋＝＝2， ∴λ＝2.

6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝__________.

答案  (－4，－8)

解析  由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

7．已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为__________.

答案　(－，)或(，－)

解析　因为点A(6,2)，B(1,14)，所以＝(－5,12)，||＝13.

与共线的单位向量为±＝±(－5,12)＝±(－，)．

8．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan(α－)等于__________.

答案　－3

解析　∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，∴＝，∴tanα＝－.

∴tan(α－)＝＝＝－3.

9．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝__________.

答案  4

解析  a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，

由题意得(8－2x)·(x＋1)＝·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.

10．设a＝(1,2)，b＝(－2，y)．若a∥b，则|2a－b|＝______.

答案  4

解析  ∵a∥b，∴y＋4＝0，∴y＝－4，∴2a－b＝(2,4)－(－2，－4)＝(4,8)，∴|2a－b|＝＝4.

11．已知向量a＝(2,3)，b＝(1,2)，且a，b满足(a＋λb)∥(a－b)，则实数λ＝________.

答案  －1

解析  ∵a＋λb＝(2＋λ，3＋2λ)，a－b＝(1,1)，又(a＋λb)∥(a－b)，∴2＋λ＝3＋2λ，得λ＝－1.

二、解答题

12．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

解析  ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

若向量ka＋b与向量a－3b共线，则必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－.

这时ka＋b＝(－，)，所以ka＋b＝－(a－3b)．即两个向量恰好方向相反，

故存在实数k满足条件，且k＝－.

13．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．

(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

(2)若＝2，求点C的坐标．

解析  (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，

∵A，B，C三点共线，∴∥.

∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.

(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴解得

∴点C的坐标为(5，－3)．