高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法课堂教学ppt课件

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法课堂教学ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了2复数的运算，学习目标，讲授新课，复数的乘法，尝试与发现，-10-5i，典例精析，由此可知，复数的除法，i-i等内容，欢迎下载使用。
10.2.2　复数的乘法与除法
10.2 复数的运算
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c ∈ R时，有(a+b)c =ac +bc， 而且，实数的正整数次幂满足
其中 m，n 均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢?
设z₁ =3, z₂ =1-2i, z₃ =-5i，你认为z₁ z₂的值与z₂ z₃的值分别等于多少?由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则.
一般地，设z₁ =a+bi， z₂ =c+di (a，b，c，d∈R)，称z₁ z₂ (或z₁ × z₂)为z₁与z₂的积，并规定 z₁z₂ =(a +bi)(c +di) =ac+adi+bci+bdi² =(ac -bd)+(ad +bc)i. 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i ² =-1即可.
例如，对于上述尝试与发现中的三个复数来说，有 z₁z₂ =3(1-2i)=3-6i, z₂ z₁ =(1-2i)(-5i)=-5i+10i ² =1 .
显然，两个复数的积仍然是复数.可以证明，复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z₁ , z₂ ， z₃有
已知a，b∈ R，求证: (a+bi)(a-bi)=a² +b².
根据复数法的定义有 (a +bi)(a-bi) =a²-abi+bai-b²i² =a²+b².
例 1的结论可以总结为
可以验证，当m，n 均为正整数时，
需要说明的是，以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即
例如，例1也可按如下方式计算，
计算(1+i) ²与(1-i) ² 的值.
(1+i) ² =1²+2i+i² =2i. (1-i) ² =3 .可以验证，以前所学的等式性质仍然成立. 例如，等式两边同时乘上个复数，等式仍成立，即当z₁ = z₂ 时，必定有z₁ z = z₂ z.
1²-2i+i²=-2i
上面这种方法通常称为“分母实数化”.
求(1+2i)÷(3-4i) 的值.
同实数类似，可以定义非零复数的 0 次幂与负整数次幂，即当z 为非零复数且 n是正整数时，规定
同实数类似，可以定义非零复数的 0 次幂与负整数次幂，即当z 为非零复数且 n是正整数时，规定
我们已经知道，虚数单位i是方程 x²=-1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗?如果实数a>0，那么方程x²=-a 在复数范围内的解集是什么?
3.实系数一元二次方程在复数范围内的解集
因为 i²=(-i) ²—1所以方程x²=-1 在复数范围内的解集为4 . 类似地，可以看出，当实数a>0时，方程x² =-a 在复数范围内的解集为 .
在复数范围内求方程x²+2x +3=0的解集.
所以原方程可以化为(x+1) ²=-2，从而可知
在例4 中，如果我们记x ² +2x+3-=0在复数范围内的两个解分别为x₁ ，x₂ ，则 ，还可算得
证明上述关于实系数一元二次方程解的结论，并证明: 如果 x ₁ ，x ₂? 为实系数元二次方程ax ²+bx+c=0的解，那么
3.举例说明一般情况下，
4.已知1+i是关于x的方程x²-ax +2=0的根，求实数a的值.
2.在复数范围内求方程x²+10x +40=0 的解集.
3.已知 求z.
4.已知 求实数a，b的值.