高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法教学设计

10.2.2　复数的乘法与除法

情境导学

1．复数的乘法

(1)定义

一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：

z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

(3)运算性质

zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.(其中m，n∈N*)．

(4)i的乘方运算性质

i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.

[拓展]　

(1)若规定i0＝1，i－m＝(m∈N*)，则i的幂的周期性可推广到整数，即m∈Z时上式都成立．

(2)利用i的幂的周期性可解决i的高次幂问题．

(5)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．

2．复数的除法

(1)定义

如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．

(2)意义

一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝.

(3)复数倒数运算

设z＝a＋bi，则＝，且＝.

(4)复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

＝＝＋i.

3．实系数一元二次方程在复数范围内的解集

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总是有解的，而且

(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．

(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚数根，则x1＋x2＝－，x1x2＝.              (　　)

(2)若复数z的共轭复数为，z＝a＋bi，则z·＝a2＋b2. (　　)

(3)若z∈C，则z2＝|z|2. (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于(　　)

A．1　　　 B．－1

C．   D．－

B　[∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，

∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0.

得m3＋1＝0，即m＝－1.]

3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝(　　)

A．2＋i    B．2－i

C．1＋2i   D．1－2i

B　[法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(2a＋b)i，

由已知及复数相等的条件得，

解之得故选B．

法二：z＝＝＝＝2－i.]

4．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

2　[∵i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.]

合作探究

【例1】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i   B．5＋4i  C．3－4i   D．3＋4i

(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)

A．－2－3i   B．－2＋3i  C．2－3i   D．2＋3i

(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.

(1)D　(2)C　(3)5－5i　[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，

∴＝2－3i.故选C．

(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]

复数乘法运算的方法与常用公式

(1)两个复数代数形式乘法的一般方法

首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

(2)常用公式

①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

③(1±i)2＝±2i.

1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝__________.

4＋3i或－4－3i　[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，

z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.

∵z1·z2是纯虚数，

∴解得或

∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]

【例2】　(1)＝(　　)

A．1＋i   B．1－i  C．－1＋i   D．－1－i

(2)i是虚数单位，复数＝(　　)

A．1－i    B．－1＋i

C．＋i   D．－＋i

(1)D　(2)A　[(1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.故选D．

法二：＝ (1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)＝－1－i.

(2)＝＝＝1－i，故选A．]

复数除法运算的方法与常用公式

(1)两个复数代数形式的除法运算方法

①首先将除式写为分式．

②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．

③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

(2)常用公式

①＝－i.②＝i.③＝－i.

2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)

A．＋i　 B．－i

C．－＋i   D．－－i

(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1　   B．2  C．　　　D．

(1)B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．

∴z＝＝＝＝－i.

(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，

∴|z|＝＝.]

[探究问题]

1．i5与i是否相等？

[提示]　i5＝i4·i＝i，相等．

2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？

[提示]　i＋i2＋i3＋i4＝0.

【例3】　计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 020.

[思路探究]　可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)化简．

[解]　∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，

∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)，

∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 020＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＝0.

虚数单位i的周期性

(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．

(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．

3．计算：···…·.

[解]　∵＝i，

∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.

【例4】　已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值．

[思路探究]　设两根为z1，z2，则z2＝，|z2|＝|z1|＝1，得z1·z2＝1，利用根与系数的关系列方程可求得k的值，结合判别式小于零即可得结果．

[解]　由题意，得Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k＜0⇒k＜0或k＞，

设两根为z1，z2，则z2＝，|z2|＝|z1|＝1，

所以z1·z2＝k2－2k＝1，

解得k1＝1－，k2＝1＋.

又k＜0或k＞，所以k＝1－.

在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的求根公式为

1当Δ≥0时，x＝；两个实数根

2当Δ＜0时，x＝.两个共轭虚数根

4．已知1＋i是关于x的方程ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝(　　)

A．－1   B．1  C．－3  D．3

A　[当a＝0时，解得b∉R，不符合题意，所以原方程为实系数一元二次方程．

因为实系数的一元二次方程虚根成对出现(互为共轭复数)，

所以1±i为方程的两根，所以

解得故a＋b＝－1.]

课堂小结

知识：

1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．

2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)，若分母为纯虚数，则只需分子、分母同乘i.

3．对共轭复数的理解

(1)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，其中a＋bi与a－bi是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据．

(2)互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z.

方法：

熟练掌握乘除法运算法则，求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．

1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)

A．4＋2i   B．2＋i  C．2＋2i   D．3

A　[z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]

2．设复数z＝，则|z|＝(　　)

A．2   B．1  C．  D．

C　[∵复数z＝＝1－i，∴|z|＝.]

3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.

2　[因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]

4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

　[设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.]

5．计算：

(1)(1－i)(1＋i)；

(2)；

(3)(2－i)2.

[解]　(1)法一：(1－i)(1＋i)

＝(1＋i)

＝(1＋i)

＝＋i＋i＋i2

＝－1＋i.

法二：原式＝(1－i)(1＋i)

＝(1－i2)

＝2＝－1＋i.

(2)

＝

＝

＝＝＝i.

(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)

＝4－4i＋i2＝3－4i.