人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教案及反思

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教案及反思，共9页。教案主要包含了例题解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
10.2.2  复数的乘法与除法本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十章《复数》， 10.2.2复数的乘法与除法， 本节课要学的内容包括乘法与除法及实系数一元二次方程在复数范围内的求解，理解复数的运算注意进行类比思考，即类比实数的乘除法运算，如可以将除法转化乘以除数的倒数，同时特别注意在除法运算中共轭复数的作用，通过练习帮助学生理解和掌握复数的乘除法运算。发展学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养。课程目标学科素养A. 理解复数的乘除运算法则；掌握共轭复数的运算性质，会进行复数的乘除运算；B.会进行实系数一元二次方程在复数范围内的求解.C.体会类比推理的思考方法，发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养1.数学抽象：复数的乘法与除法运算法则；2.逻辑推理：复数除法与乘法的关系；3.数学运算：复数的乘法与除法运算； 1.教学重点：熟练地进行复数的乘法与除法运算； 2.教学难点：熟练掌握复数四则运算；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、    情境与问题复数的乘法我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即时，有而且，实数的正整数次幂满足， , , ,其中均为正整数,那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？    设，，你认为的值与的值分别等于多少，由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则。
     一般地，设, ，称（或）为，并规定 （）（ ）    这就是说,为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用即可。二、例题解析【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)A．5－4i     B．5＋4i       C．3－4i     D．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)A．－2－3i      B．－2＋3i     C．2－3i         D．2＋3i(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.(1)D　(2)C　(3)5－5i　[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.∴＝2－3i.故选C.(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]复数乘法运算的方法与常用公式1．两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.跟踪训练1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝_____________.4＋3i或－4－3i　[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.∵z1·z2是纯虚数，∴解得或∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]复数的除法
     我们知道，在实数中下面我们按照类似的方法得到复数除法的定义  如果复数 ,则满足复数为除以的商，并记作在(或)
而且同以前一样，为被除数，为除数。      利用复数除法的定义，可以证明当为非零复数时，有
设实数满足利用方程组求的值，并思考是否有其他方法可以求出 上述尝试与发现的式子可以改写为为了求出的值，我们将上述等式右边看成一个分式，这样一来就只要想办法把变成一个实数即可,注意到因此，===上面这种方法称为“分母实数化”     一般的给定复数 称为的倒数，的商也可以看成与的倒数之积，显然，利用“分母实数化” 可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商（除数不能为零）【例2】　＝(　　)A．1＋I   B．1－I        C．－1＋I      D．－1－i(2)i是虚数单位，复数＝(　　)A．1－I     B．－1＋I     C.＋I      D．－＋i(1)D　(2)A　[(1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.故选D.法二：＝(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．(2)＝＝＝1－i，故选A．]复数除法运算方法与常用公式1．两个复数代数形式的除法运算方法(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.跟踪训练2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)A．＋i　 B．－I    C．－＋I  D．－－i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)A．1     B．2            C.     D．(1)B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝＝＝＝－i.(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，∴|z|＝＝.]实系数一元二次方程在复数范围内的解集我们已经知道虚数单位 是方程的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数，那么方程在复数范围内的解集是什么？可以例3.在复数范围内求方程的解集.【解】因为，所以原方程可以化为，从而可知或，因此或，所求解集为.实系数一元二次方程在复数范围内的解集一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个          的虚数根   通过对实数乘法运算法则的的回顾，提出复数乘法运算问题，引导学生进行类比思考。发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养。                                                通过联系实数的除法运算，类比复数的除法运算及其运算法则。发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养。                                   通过典例解析，加深对复数乘法与除法的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养。    三、达标检测1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)A．4＋2i         B．2＋I        C．2＋2i        D．3A　[z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B　[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.2　[因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________． [设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.]5．计算：(1)(1－i)(1＋i)；(2)；(3)(2－i)2.[解]　(1)法一：(1－i)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i.(2)＝＝＝＝＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.   通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，增强学生的数学运算、直观想象的核心素养。    四、小结1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．五、课时练  通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 本课以实数乘法与除法运进行类比思考，提出复数乘法与除法的运算问题，引导学生类比思考复数的乘法与除法所遵循的运算法则，同时探究实系数一元二次方程在复数范围内的求解。让学生经历学习探究的过程，从而发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。