2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.2函数的基本性质第1课时函数的单调性与最大小值

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.2函数的基本性质第1课时函数的单调性与最大小值，共7页。试卷主要包含了确定函数的单调性与单调区间，函数单调性的应用等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 已知函数且，若，则此函数的单调递增区间是（ C ）
A. B. C. D.
解：令，由题意知，可得，故函数 的定义域为.根据，可得，则即求函数 在 内的单调递减区间.又 在定义域 内的单调递减区间是，所以 的单调递增区间为.故选.
（2） 函数的单调递增区间为（ C ）
A. ，B. C. ，D. ，
解：由题意，得，即，解得 或.根据二次函数及复合函数的性质，可知 的单调递增区间为，.故选.
（3） 求函数的单调区间.
解：先作出函数 的图象，由于绝对值的作用，把图象在 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 的图象，如图所示.由图可知 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，故 的单调递增区间为，单调递减区间为.
【点拨】 ①求函数的单调区间，应先求定义域.②函数单调性的判断方法及相关结论见本节常用结论.
变式1
（1） [2023年北京卷]下列函数中，在区间上单调递增的是（ C ）
A. B. C. D.
解：在 上，显然，单调递减，单调递增.
对于，因为，,，显然 在 上不单调，错误.故选.
（2） 求函数的单调区间.
解： 其图象如图所示，所以函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 和.
例2 设函数，证明：函数在区间上单调递减．
证明：设，，且，
则

.
因为，所以.
所以.
所以，即．
所以函数 在区间 上单调递减．
【点拨】 证明函数在某区间上的单调性有两种方法.①定义法.基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.②导数法.函数单调性定义的等价形式见本节常用结论.
变式2 【多选题】下列函数中，满足“,，且都有”的是（ AB ）
A. B.
C. D.
解：由题意，知 在 上单调递减,显然满足，在 上单调递增，不满足，在 上单调递增，不满足.故选.
考点二 函数单调性的应用
命题角度1 比较函数值的大小
例3 已知函数的定义域为,其图象关于直线对称，且对任意，，都有，设，，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，知函数 在 上单调递减，在 上单调递增.又,,，且，所以，即.故选.
【点拨】①比较函数值的大小，要将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小.自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若是增（减）函数，则.②在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.
变式3
（1） 已知函数，，比较与的大小为（ A ）
A. B. C. D. 无法确定
解：（方法一）是增函数，则.
（方法二）

.
因为，所以,故.
又因为,，所以.
所以.故选.
（2） 设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 （ C ）
A. B. C. D.
解：因为函数 是定义在 上的减函数，且，所以，解得.故选.
命题角度2 求参数的取值范围
例4
（1） 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
解：.当函数 在 上单调递减时，，即.故填.
（2） 已知是上的增函数，则实数的取值范围是 （ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，可得
解得.所以实数 的取值范围是.故选.
【点拨】 利用单调性求参数应注意的问题如下.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.②需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
变式4
（1） [2023年新课标Ⅰ卷]设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
解：函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上单调递减，因此，解得.所以 的取值范围是.故选.
（2） 函数是上的单调函数，则的最小值为 （ C ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：因为 在 上单调递增，在 上单调递增，所以 在 上单调递增.则有 解得.
故选.
命题角度3求函数的最值
例5 函数在区间上的最大值为3.
解：因为 和 都在 上单调递减，所以 在区间 上单调递减.所以 的最大值为.故填3.
【点拨】 利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.
变式5 已知函数则 ，函数的最大值是1.
解：由于
所以，则.当 时，由 单调递减，得；当 时，单调递增，则.
综上，可知 的最大值为1.故填;1.