2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【含答案】，共9页。
1.已知幂函数f(x)=x2+m是定义在区间[-1,m]上的奇函数,则f(m+1)等于( )
A.8B.4C.2D.1
2.若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm2-4m+1在区间(0,+∞)上单调递增,则m等于( )
A.-1 B.3
C.-1或3 D.1或-3
3.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是( )
4.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且当x∈(0,2]时,
f(x)=x2-2x+2,则f(x)的最小值是( )
A.-2B.-1
C.1D.2
5.(多选题)已知函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )
A.函数y=xα的图象过原点
B.函数y=xα是奇函数
C.函数y=xα是减函数
D.函数y=xα的值域为R
6.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为 .
7.已知函数f(x)=x2+2x+3,x∈[m,0]的最大值为3,最小值为2,则实数m的取值范围是 .
8.幂函数f(x)=xa(a∈R)满足:任意x∈R有f(-x)=f(x),且f(-1)0>c,
所以二次函数y=ax2+bx+c的图象必开口向上,与y轴交于负半轴,
结合图象,D选项符合题意.故选D.
4.解析:当x∈(0,2]时,函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
当x=1时,f(x)min=f(1)=1;
当x=2时,f(x)max=f(2)=2,
所以函数f(x)在(0,2]上的值域为[1,2].
因为f(x)是[-2,2]上的奇函数,
所以f(x)的值域为[-2,-1]∪{0}∪[1,2],
所以f(x)的最小值是-2.故选A.
5.解析:因为函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),
所以27=3α⇒α=lg327=3⇒f(x)=x3,
因为f(0)=0,所以函数y=x3的图象过原点,因此A选项正确;
因为x∈R,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以函数y=x3是奇函数,
因此B选项正确;
因为y=x3是实数集上的增函数,所以C选项不正确;
因为y=x3的值域是全体实数集,所以D选项正确.故选ABD.
6.解析:因为f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
所以f(x)=0的两根为1和3,
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
因为f(x)的图象过点(4,3),
所以3a=3,所以a=1,
所以所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
答案:f(x)=x2-4x+3
7.解析:函数f(x)=x2+2x+3的图象是开口向上,
且以直线x=-1为对称轴的抛物线,
当x=-1时,函数取最小值2,
令f(x)=x2+2x+3=3,则x=0或x=-2,
若函数f(x)=x2+2x+3在[m,0]上的最大值为3,最小值为2,
则m∈[-2,-1].
答案:[-2,-1]
8.解析:取f(x)=x23,则定义域为R,
且f(-x)=(-x)23=x23=f(x),
f(-1)=1,f(2)=223=34,
满足f(-1)a>0,
当0mb,
因为|AB|=|CD|,
所以m2a -m2b =(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb,
因为ma-mb>0,所以ma+mb=1.故选B.
11.解:(1)由幂函数可知2m2-m-2=1,
解得m=-1或m=32,
当m=-1时,f(x)=x2,函数为偶函数,符合题意;
当m=32时,f(x)=x7,函数为奇函数,不符合题意,
故f(x)的解析式为f(x)=x2.
(2)由(1)得,g(x)=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1.
函数的对称轴为直线x=a-1,图象开口向上,f(0)=1,f(4)=17-8(a-1),
由题意得,在区间[0,4]上,f(x)max=f(4)=17-8(a-1)=9,解得a=2,经检验a=2符合题意,
所以实数a的值为2.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
12.解:(1)因为f(2)=4k+2(3+k)+3=3,解得k=-1,
所以f(x)=-x2+2x+3.
(2)由(1)可得g(x)=-x2+2x+3-mx=-x2+(2-m)x+3,
其对称轴为直线x0=2-m2,
若g(x)在[-2,2]上为增函数,则x0≥2,
解得m≤-2;
若g(x)在[-2,2]上为减函数,
则x0≤-2,解得m≥6.
综上可知,m的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
(3)当k=0时,函数f(x)=3x+3在[-1,4]上的最大值是15,不满足条件;
当k≠0时,假设存在满足条件的k,则f(x)的最大值只可能在-1,4,x0处取得,其中对称轴为直线x0=-3+k2k,
①若f(x)max=f(-1)=4,
则有k-3-k+3=4,k的值不存在;
②若f(x)max=f(4)=4,
则16k+12+4k+3=4,
解得k=-1120,此时,x0=4922∈[-1,4],则最大值应在x0处取得,与条件矛盾,舍去;
③若f(x)max=f(x0)=4,
则k