2025高考数学一轮知识必备练习第二章函数2.2函数的基本性质第1课时函数的单调性与最大小值

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借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
函数的单调性
（1）增函数与减函数.
（2）函数的单调性与单调区间:如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.
常用结论
判断函数单调性的主要方法（结论）
（1）定义法.
设,，且，记,,那么在上单调递增；在上单调递减.其几何意义：单调递增（减）函数图象上任意两点,连线的斜率恒大于（或小于）零.
（2）性质法.
①当常数时，与的单调性相同；当常数时，与的单调性相反，特别地，函数与的单调性相反.
②当恒为正或恒为负时，与的单调性相反.
③若为常数，则函数与函数的单调性相同.
④若与都是增（减）函数，则仍是增（减）函数.
⑤若且，与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且，与都是增（减）函数，则是减（增）函数.
⑥奇（偶）函数在其对称区间上的单调性相同（相反）.
（3）同增异减法.
对于复合函数，如果和的单调性相同，那么是增函数；如果和的单调性相反，那么是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数的值域必须是的单调区间的子集.
（4）导数法.
（5）图象法.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 若定义在上的函数，有，则函数在上单调递增.（ × ）
（2） 函数的单调递减区间是.（ × ）
（3） 所有的单调函数都有最值.（ × ）
（4） 如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增，则这个函数在定义域上单调递增.（ × ）
（5） 闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取得.（ √ ）
2. [2021年全国甲卷]下列函数中是增函数的为（ D ）
A. B. C. D.
解：由一次函数性质，可知 在 上单调递减，不符合题意.
由指数函数性质，可知 在 上单调递减，不符合题意.
由二次函数的性质，可知 在 上不单调，不符合题意.
根据幂函数性质，可知 在 上单调递增，符合题意.
故选.
3. 若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 （ C ）
A. B. C. D.
解：因为 在 上单调递增，，所以.解得.所以实数 的取值范围为.故选.
4. 已知，则函数的最大值与最小值的和为16.
解：由对勾函数的性质，知 在 上单调递减，在 上单调递增，所以.又因为，，所以.所以.故填16.
名称
增函数
减函数
定义
一般地，设函数的定义域为，区间如果，，
当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的