2025高考数学一轮复习-8.10-圆锥曲线中的最值与范围问题-专项训练【含答案】

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1.已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(2,3)为椭圆上一点,且|PF1|+|PF2|=8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx-4交椭圆C于A,B两点,且原点O在以线段AB为直径的圆的外部,试求实数k的取值范围.
2.已知双曲线 x24-y25=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上任意一点.
(1)求PA1→·PF2→的最小值;
(2)若M是双曲线左支上任意一点,F1为左焦点,写出|MF1|的最小值.
3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点.
(1)证明:直线MN过定点;
(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值.
4.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知直线x+y=1与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,且a≠b)交于M,N两点,且以MN为直径的圆过原点.
(1)求证:1a2-1b2为定值;
(2)在(1)的条件下,若双曲线的离心率不大于3,求双曲线实轴长的取值范围.
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5.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为45.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交y=-3于点M,直线AC交y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.
6.已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM→·FN→=0,求△MFN面积的最小值.
参考答案
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1.解:(1)由题意可得4a2+9b2=1,2a=8,解得a2=16,b2=12,
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x216+y212=1,y=kx-4,
得(4k2+3)x2-32kx+16=0,
所以x1+x2=32k4k2+3,x1x2=164k2+3.
由Δ>0,得(-32k)2-4×16(4k2+3)>0,
解得k>12或k0,
所以OA→·OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-4)·(kx2-4)
=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16
=(k2+1)·164k2+3-4k·32k4k2+3+16
=16(4-3k2)4k2+3>0,
解得-2330,且m≠1,所以yG=y2y3-4y2+y3=2(m+m2+1)·2(-1m+1m2+1)-42(m-1m+m2+1+1m2+1)=2(m-1)m+1,
G(-1,2(m-1)m+1)到MN的距离d=|-4mm2-1-2(m-1)m+1|1+(mm2-1) 2=2m2+2m2-11+(mm2-1) 2,
|MN|=1+(mm2-1) 2·|2m2-2m2|,
所以S△GMN=12·2|m2-1m2|1+(mm2-1) 2·2m2+2m2-11+(mm2-1) 2=|m4-1m2·2(m2+1)m2-1|=
2(m2+1)2m2=2(m4+2m2+1)m2=2(m2+1m2+2)>8,
当m=1时,直线MN:x=3,且|MN|=4,
点G(-1,0),
故S△GMN=12×4×4=8.
综上,△GMN面积的最小值为8.
4.(1)证明:由x+y=1,x2a2-y2b2=1,
消y得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.
由题意得b2-a2≠0,Δ=(2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-2a2b2-a2,x1x2=-a2+a2b2b2-a2.
因为以MN为直径的圆过原点,所以OM→·ON→=0,即x1x2+y1y2=0,
所以x1x2+(1-x1)(1-x2)
=1-(x1+x2)+2x1x2
=1+2a2b2-a2-2(a2+a2b2)b2-a2=0,
即b2-a2-2a2b2=0,所以1a2-1b2=2为定值.
(2)解:因为1a2-1b2=2,所以b2=a21-2a2.
因为e≤3,所以e2=a2+b2a2≤3,
所以1+11-2a2≤3,
解得00,所以xMxN>0.
又|PM|+|PN|=|xM+xN|=|x1y1+2+x2y2+2|
=|x1kx1-1+x2kx2-1|
=|2kx1x2-(x1+x2)k2x1x2-k(x1+x2)+1|
=|50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1|=5|k|,
故5|k|≤15,即|k|≤3.
综上,k的取值范围为[-3,-1)∪(1,3].
6.解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),
由x-2y+1=0,y2=2px可得,y2-4py+2p=0,
所以yA+yB=4p,yAyB=2p,
所以|AB|=1+22×(yA+yB)2-4yAyB=415,
即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2.
(2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,
设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
由y2=4x,x=my+n可得,y2-4my-4n=0,
y1+y2=4m,y1y2=-4n,
Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0,
因为FM→·FN→=0,
所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,
亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,
将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得,
4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0,
所以n≠1,且n2-6n+1≥0,
解得n≥3+22或n≤3-22.
设点F到直线MN的距离为d,
所以d=|n-1|1+m2,
|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+m2|y1-y2|=1+m216m2+16n=1+m24(n2-6n+1)+16n=21+m2|n-1|,
所以△MFN的面积S=12×|MN|×d=12×|n-1|1+m2×21+m2|n-1|=(n-1)2,
而n≥3+22或n≤3-22,
所以当n=3-22时,
△MFN的面积Smin=(2-22)2=12-82.