2025高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【含答案】，共9页。
1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2.函数f(x)=exx2-3在[2,+∞)上的最小值为( )
A.e36B.e2C.e34D.2e
3.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x12+x22等于( )
A.23B.43C.83D.163
4.当x=1时,函数f(x)=aln x+bx取得最小值2,则f′(2)等于( )
A.-1B.-12C.12D.1
5.已知函数f(x)=12x2-(1+a)x+aln x在x=a处取得极小值,则实数a的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.(1,+∞)
C.(0,1]D.(0,1)
6.函数f(x)=x2-ln x的极值点是 .
7.已知x=0是f(x)=(x-a)ex+1的极值点,则a= .
8.若直线y=ax+b为函数f(x)=ln x-1x图象的一条切线,则2a+b的最小值为 .
9.已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.已知函数f(x)=xex和g(x)=lnxx+b有相同的极大值,则b等于( )
A.0B.2C.-1D.-3
11.某商场销售某种商品,经验表明,该商品每日的销售量y(单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg)满足关系式y=2x-3+10(x-6)2,x∈(3,6).若该商品的成本为3元/kg,则当销售价格为 元/kg时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大,为
元.
12.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x,a∈R.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-2a,求a的取值范围.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
13.(多选题)已知函数f(x)=x3-x+1,则( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:由函数极值的定义和导函数的图象可知,
f′(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,
但是在原点附近的导数值恒大于零,
故x=0不是函数f(x)的极值点.
其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,
故极大值点有2个.故选B.
2.解析:依题意f′(x)=ex(x2-3)2(x2-2x-3)=ex(x2-3)2(x-3)(x+1),
故函数在(2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)=e332-3=e36.故选A.
3.解析:由图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点,
所以1+b+c=0,8+4b+2c=0,
解得b=-3,c=2,
所以f(x)=x3-3x2+2x,
所以f′(x)=3x2-6x+2,
x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,
所以x1+x2=2,x1·x2=23,
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×23=83.故选C.
4.解析:当x=1时,函数f(x)=aln x+bx(x>0)取得最小值2,
所以f(1)=2,所以0+b1=2,得b=2,
又f′(x)=ax-bx2=ax-bx2=ax-2x2,
当a1.
故选B.
6.解析:因为f(x)=x2-ln x,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=2x-1x=2x2-1x,
由f′(x)=0得2x2-1x=0,解得x2=12,
因为x>0,所以x=22,
当0＜x＜π2时,f′(x)＜0,
当x＞π2时, f′(x)＞0,
所以f(x)的极值点为22.
答案:22
7.解析:因为f(x)=(x-a)ex+1,
所以f′(x)=(x-a+1)ex,
因为x=0是函数f(x)的极值点,
则f′(0)=0,得1-a=0,解得a=1,
当a=1时,f′(x)=xex,
当x0,则f(x)单调递增,
所以x=0是函数f(x)的极值点,故a=1.
答案:1
8.解析:f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1x+1x2,
设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0-1x0,
所以切线方程为y-(ln x0-1x0)=(1x0+1x02)(x-x0),
即y=(1x0+1x02)x-1+ln x0-2x0,
与已知对照,得a=1x0+1x02,b=-1+ln x0-2x0,
所以2a+b=ln x0+2x02-1.
令g(t)=ln t+2t2-1(t>0),
则g′(t)=1t-4t3=(t+2)(t-2)t3,
令g′(t)>0,得t>2,令g′(t)