2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性，共9页。试卷主要包含了函数的奇偶性，函数的周期性，函数奇偶性与单调性综合等内容，欢迎下载使用。
命题角度1 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1） ;
解：由，且1+得，
的定义域为，不关于原点对称，
所以 不具有奇偶性.
（2） ；
[答案]
由 得.
所以 的定义域为,，关于原点对称.
又，.
所以.
所以 既是奇函数，又是偶函数.
（3）
[答案]
（方法一）（定义法）当 时，，,.
当 时，，,
.
所以 为奇函数.
（方法二）（图象法）作出函数 的图象，如图所示.由图象关于原点对称的特征知函数 为奇函数.
（4） .
[答案]由，得，即 的定义域为.又，故 为奇函数.或由，判断 为奇函数.
【点拨】 判断函数奇偶性的常用方法.
①定义法：
②图象法：
③还可用本节【常用结论】中的“运算”确定奇偶性（在共同定义域上）.
④对于分段函数的奇偶性应分段验证，但验证过程往往比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断.
⑤对于含有的对数式或指数式的函数常用“”来判断.
变式1
（1） 已知函数，，则（ D ）
A. 是偶函数，是偶函数B. 是偶函数，是奇函数
C. 是奇函数，是奇函数D. 是奇函数，是偶函数
解：的定义域为，且，故 是奇函数.
的定义域为，且，故 是偶函数.故选 ．
（2） [2021年全国乙卷]设函数，则下列函数中为奇函数的是（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，得.
对于，不是奇函数.
对于，是奇函数.
对于，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
对于，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选.
命题角度2 函数奇偶性的简单应用
例2
（1） [2023年全国乙卷]已知是偶函数，则（ D ）
A. B. C. 1D. 2
解：因为 为偶函数，所以.又 不恒为0，所以，即，则，即，解得.故选 .
（2） 设为奇函数，且当时，，则当时，（ D ）
A. B. C. D.
解：当 时，，则.故选.
【点拨】 ①利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．②利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
变式2
（1） [2023年新课标Ⅱ卷]若为偶函数，则（ B ）
A. B. 0C. D. 1
解：因为 为偶函数，所以，即，解得.当 时，，由，解得 或，则其定义域为,或，关于原点对称.，此时 为偶函数，满足题意.故选 .
（2） 已知函数是偶函数，且,则5.
解：设.因为 为偶函数，所以，即.所以
故填5.
命题角度3 抽象函数的奇偶性
例3 已知定义域为的函数对任意实数，都有，且，则（ B ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数D. 是非奇非偶函数
解：由，得 不为奇函数.令，得.再令，得 因为，所以.所以，化简得，所以，所以 是偶函数，故 正确.故选.
【点拨】 求解抽象函数的奇偶性，一般需要对抽象函数作不同的特值代换，并进行逻辑推理，得到结果.
变式3 [2023年新课标Ⅰ卷节选]已知不恒为0的函数的定义域为，，则（ B ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数D. 是非奇非偶函数
解：令，得，所以.令，得，则.令，得.又函数 的定义域为，所以 为偶函数，故 正确.故选.
考点二 函数的周期性
例4 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，.
（1） 求证：是周期函数；
解：证明：因为，所以.所以 是以4为周期的周期函数.
（2） 当，时，求的解析式；
[答案]
当 时，.
由已知得.
又 是奇函数，所以，所以.
又当 时，，所以.
又 是以4为周期的周期函数，
所以.
所以当 时，.
（3） 计算的值.
[答案]
,,,.又 是以4为周期的周期函数，
所以.
【点拨】 ①判断函数的周期性，关键在于利用周期性的定义，证明存在等式.函数的周期性的常用结论除了前面提到的外，还要注意若，则.②利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
变式4
（1） 已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ C ）
A. B. C. D. 2
解：因为，所以，即函数 的一个周期是4.所以.又，所以.故选 .
（2） 设是以2为周期的奇函数，当时，，则（ C ）
A. 1B. 0C. D.
解：由题意，得
.
因为当 时，，
所以，故.
故选.
考点三 函数奇偶性与单调性综合
例5
（1） 已知定义在上的奇函数为减函数，又有，则的取值范围为（ A ）
A. B.
C. D.
解：由题意，知.又 为减函数，所以，即，解得.故选 .
（2） 设函数,则使得成立的的取值范围是（ A ）
A. ,B. ,
C. ,D. ,,
解：（方法一）由题意，知 是偶函数，且在 上单调递增，所以.
（方法二）把 代入,得,这显然不成立,所以 不满足,排除.又,,,所以 不满足,排除,.故选.
【点拨】 单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质.单调性与奇偶性之间有着密切的联系：①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且；②偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且.
变式5
（1） 设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为（ A ）
A. 或B.
C. D.
解：当 时，函数 单调递增，且函数 是 上的偶函数，.
由，得，故，解得 或.故选 .
（2） 已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：因为函数 为奇函数，所以，得.所以.
易知 是增函数，所以由，解得.
故选.