人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积导学案，共21页。

1 柱体
① 棱柱
体积：V=sℎ (其中ℎ是棱柱的高)
② 圆柱
(1) 侧面积：S=2πrℎ
(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2
(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
2 锥体
① 棱锥
棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；
② 圆锥
(1) 圆锥侧面积：S=πrl
(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l) (其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
3台体
① 圆台表面积 S=π (r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
② 台体体积 V=13(S'+SS' +S) ℎ
其中S , S'分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.
4 球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3 （其中R为球的半径）

【题型一】几何体的表面积
【典题1】 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1= ．

【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π

【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r、R，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．2ℎ=1R+1r B．1ℎ=1R+1r C．1r=1R+1ℎ D．2R=1r+1ℎ
【题型二】几何体的体积
【典题1】 正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是( )
A．2: 1: 1 B．1 :2: 1 C．1 :1 :1 D．2 :2: 1
【典题2】 如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于( )
A．23ℎ B．1927ℎ C．363ℎ D．3193ℎ

【典题3】 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S−ABC的体积V= .
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】 已知三棱锥D−ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB=AC=BC=DB=DC=1，当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（ ）
A. 5π3 B. 2 π C. 5 π D. 20π3
【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P－ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为 ．
巩固练习
1(★) 如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1≤S2 B．S1 S2 D．S1≥S2
2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．πB．3π2C．2π3D．π2
3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是 cm2．

4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为123，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是 .
5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是 .

6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 .
7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .
8(★★★) 半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .
9(★★★) 如图所示，在边长为5+2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．

10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为 ．
11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 .
12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为 ．

13(★★★) 已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=45°，当三棱锥S－ABC体积最大时，其外接球的表面积为 .
14(★★★)如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 ．
简单几何体的表面积和体积
1 柱体
① 棱柱
体积：V=sℎ (其中ℎ是棱柱的高)
② 圆柱
(1) 侧面积：S=2πrℎ
(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2
(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
2 锥体
① 棱锥
棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；
② 圆锥
(1) 圆锥侧面积：S=πrl
(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l) (其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
3台体
① 圆台表面积 S=π (r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
② 台体体积 V=13(S'+SS' +S) ℎ
其中S , S'分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.
4 球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3 （其中R为球的半径）

【题型一】几何体的表面积
【典题1】 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1= ．
【解析】 如图，
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，
则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；
正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为12+32=10．
∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×10=410．
∴S2S1=41024=106．
【点拨】注意侧面积和全面积的区别．
【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【解析】

圆锥的底面半径为2，高为4，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x
因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；
∴圆柱的侧面积为：S=2πx4−2x=4 π2x−x2 0令t=2x−x2，当x=1时tmax =1；
所以当x=1时，Smax=4π．
即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．
故选：C．
【点拨】
① 圆柱的侧面积S=2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r；
② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.
【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r、R，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．2ℎ=1R+1r B．1ℎ=1R+1r C．1r=1R+1ℎ D．2R=1r+1ℎ
【解析】设圆台的母线长为l，
根据题意可得圆台的上底面面积为S上=πr2，圆台的下底面面积为S下=πR2，
∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，
∴侧面积S侧=π(r2+R2)=π(r+R)l，解之得l=r2+R2r+R
∵l=ℎ2+(R−r)2
∴r2+R2r+R=ℎ2+(R−r)2，
∴r2+R2r+R2=ℎ2+R－r2
∴2ℎ=1R+1r．故选 A．
【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l=ℎ2+(R−r)2.
【题型二】几何体的体积
【典题1】 正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是( )
A．2: 1: 1 B．1 :2: 1 C．1 :1 :1 D．2 :2: 1
【解析】 设正方形ABCD的边长为1，可得
图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；
图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；
图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π
综上所述V1=V2=V3=13π，
由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1 :1 :1．故选 C．
【点拨】
① 圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;
② 求解不规则图形可用“割补法”.
【典题2】 如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于( )
A．23ℎ B．1927ℎ C．363ℎ D．3193ℎ
【解析】方法一 设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．
∴水的体积V=13Sℎ－13×49S×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ．
设倒置后液面面积为S′，则S'S=(ℎ2ℎ)2，∴S'=Sℎ22ℎ2．
∴水的体积V=13S'ℎ2=Sℎ233ℎ2．
∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=319ℎ3．
故选 D．
方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ'=ℎ−ℎ1,体积为V1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V2.
∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ'ℎ=23 ∴V−V水V=233=827⇒V水V=1927，
在倒置后，又有V水V=ℎ2ℎ3 ∴ℎ2ℎ3=1927⇒ℎ2=319ℎ3
【点拨】
① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；

② 两个相似几何体，若相似比为a,则对应线段比为a，对应的平面面积比为a2,对应的几何体体积比是a3.
【典题3】 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S−ABC的体积V= .
【解析】由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，
如图所示，
设SD=x，则DC=4－x，
此时所求棱锥即分割成两个棱锥S­ABD和C­ABD，
在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD=BD=x，
又因为SC为直径，所以∠SBC=∠SAC=90°，
所以∠DBC=∠DAC=45°，
所以在△BDC中，BD=4－x，
所以x=4－x，解得x=2，所以AD=BD=2，
所以ABD为正三角形，
所以V=13S△ABD×4=433.
【点拨】
① 圆内直径所对的圆周角为90°；
② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】 已知三棱锥D−ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB=AC=BC=DB=DC=1，当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（ ）
A. 5π3 B. 2 π C. 5 π D. 20π3
【解析】 如图，当三棱锥D−ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC，分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，由AB=AC=BC=DB=DC=1，得正方形OEGF的边长为36，则OG=66
∴四面体A−BCD的外接球的半径R=OG2+B G2=662+122=512
∴球O的表面积为=4 π×5122=5π3，故选：A．
【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P－ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为 ．
【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，
PM=PA2−AM2=10−1=3，PO=9−1=22，
如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，
则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，
因为sin∠MPO=OMPM=13，
所以NO1PO1=13，则PO1=3R，
PO=PO1+OO1=4R=22，所以R=22，
设球O1与球O2相切与点Q，
则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，
同理可得PQ=4r，所以r=R2=24，
故小球O2的体积V=43πr3=224π，
故答案为 224π．
巩固练习
1(★) 如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1≤S2 B．S1 S2 D．S1≥S2
【答案】Ｂ
【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．
对于图2，
上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．
曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．
上下底面的面积的和是 π×r2．
图2水的表面积S2=4+3πr2．
显然S1 故选B．
2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．πB．3π2C．2π3D．π2
【答案】Ａ
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；
由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；
又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，
所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；
所以该圆锥的高为π．
故选：A．
3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是 cm2．
【答案】14，10000
【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，
所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是
S表面积=8×12×252×252×sin60°+6×252×252=10000(cm2)．
故答案为：14，10000．
4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为123，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是 .
【答案】1: 4: 33
【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，3x；
则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，3x，如图所示；
所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•2x2=4πx2；
侧面积为S侧面=π(x+2x)•3x=33πx2；
所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2 :4πx2: 33πx2=1: 4: 33．
5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是 .
【答案】22π3
【解析】如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为的等边三角形ABC的中心．
AE=23AD，AD=32．
∴AE=23×32=33．
∴PE=PA2−AE2=63．
设圆柱底面半径为R，则2R=1sin60°=23，
∴圆柱的侧面积＝2πR•PE=23π×63=22π3，
6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 .
【答案】128281πm3
【解析】设圆锥的底面半径为r，
圆锥形物体的母线长l=4m，侧面展开图的圆心角为2π3，
故2πr=2π3，解得 r=43m，
故圆锥的高ℎ=l2−r2=832m，
故圆锥的体积V=13πr2ℎ=128281πm3．
7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .
【答案】(1−372)a
【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V，
则v'v=(a2)3÷a3=18，∴V空V锥=78，倒置后 V水=18V，
设此时水高为ℎ，则ℎ3 a3=78，∴ℎ=(1−372)a．
故原来水面的高度为(1−372)a．
8(★★★) 半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .
【答案】123
【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O1，O2，底面边长与高分别为x，ℎ，
则O2A=33x，在Rt△OAO2中，ℎ24+x23=4，
化为ℎ2=16−43x2，
∵S侧=3xℎ，∴S侧2=9x2ℎ2=12x2(12−x2)≤12(x2+12−x22)2=432．
当且仅当x2=12－x2，即x=6时取等号，
此时S侧=123．
9(★★★) 如图所示，在边长为5+2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．
【答案】10π，2303π
【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为ℎ，
由已知条件可得 l+r+2r=(5+2)×22πrl=π2，解得r=2，l=42，
∴S=πrl+πr2=10π，
又∵h=l2−r2=30，∴V=13πr2ℎ=2303π．
故答案为 10π，2303π
10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为 ．
【答案】27π4
【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，
所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，
∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③
故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；
∴R2=98．
∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，
使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，
要想圆锥的侧面积最小；
故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；
作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=3r；
可得：OB2=OE2+EB2；
∴R2=3r－R2+r2⇒r=3R；
故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．
故答案为：27π4．

11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 .
【答案】1110
【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．
将平面ABB1A1 与平面BCC1B1放在一个平面内，
连接AC1，与BB1 的交点即为M，此时BM=3，
设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，
三棱柱ABC－A1B1C1 的体积V=12×4×3×7=42．
∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．

12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为 ．
【答案】13
【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，
连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，
∵AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，
∴当AD+DC1最小时，BD=1，
此时三棱锥D－ABC1的体积
VD−ABC1=VC1−ABD=13×S△ABD×B1C1=13×12×AB×BD×B1C1=13×12×1×1×2=13．

13(★★★) 已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=45°，当三棱锥S－ABC体积最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】28π3
【解析】由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA=CB时，三棱锥S－ABC体积达到最大，如右图所示，
则点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．
∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．
在△ACB中，AB=2，∠ACB=45°⇒∠AEB=90°，
由正弦定理可知，ABsin∠ACB=2AE，∴AE=EB=EC=2，
延长CE交AB于点F，延长SD交AB于点F，
∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，
又∵OE=DF=13SF=13×32AB=33，
∴OA=OE2+AE2=73．∴S球表面积=4πR2=4π× 732=28π3．

14(★★★)如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 ．
【答案】12
【解析】如图，M是AC的中点．
①当AD=t DM=3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=t(3−t)2+1，∴ℎ=t(3−t)2+1，
V=13⋅12⋅(23−t)⋅1⋅t(3−t)2+1=16⋅3−(3−t)2(3−t)2+1，t∈(0，3)
②当AD=t>AM=3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，
DM=t－3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，
∴12⋅t⋅1=12(t−3)2+1，
∴ℎ=t(3−t)2+1，
∴V=13⋅12⋅(23−t)⋅1⋅t(3−t)2+1=16⋅3−(3−t)2(3−t)2+1，t∈(3，23)
综上所述，V=16⋅3−(3−t)2(3−t)2+1，t∈(0，23)
令m=(3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，Vmax=12．
故答案为 12．