人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优质学案设计

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知识精讲
知识点
异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
4．构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
5．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
直线在平面内——有无数个公共点；
直线与平面相交——有且只有一个公共点；
直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示
3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
【即学即练1】1．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论．
【详解】
已知，为不同的平面，，，为不同的直线，
对于A：若，，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与也可能是异面直线或平行直线，故B错误；
对于C：若，不同在平面内，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若，不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．
故选：D
【即学即练2】在正方体中，与所成的角为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接BC1、DC1，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，
所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成的角，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°，故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选C．
【名师点睛】本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．求解时，通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．
【即学即练3】平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．垂直
【答案】C
【解析】由题意，若三点分布在平面的同侧，此时平面平面；
若三点分布于平面的两侧时，此时平面与平面相交，
综上可知，平面与平面平行或相交，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
【即学即练4】如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是__________(填序号)．
①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．
【答案】④
【解析】
【分析】
观察正方体，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，可得EF∥AC，所以EF∥A1C1；分析可得答案．
【详解】
连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF∥AC，并且EFAC，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，
所以EF与BB1垂直；
又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．
故④不成立．
故答案为④
【点睛】
本题考查了异面直线的判断以及直线与直线垂直的判定，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
【即学即练5】已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是__________（填序号）.
①；
②；
③.
【答案】③
【解析】
【分析】
由点线、点面关系，根据平面的基本性质判断点面、线面关系即可.
【详解】
①由A，B表示不同的点，且，即有，故正确；
②由A，B表示不同的点，且，即有，故正确；
③由，则，即为经过点A的一条直线而不是点A，故错误.
故答案为：③
【即学即练6】下列命题中，真命题的序号为_________.
①若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；
②若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；
③若一个平面内任意一条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行.
【答案】③
【解析】
【分析】
命题①：从两个平面交于直线入手，进行判断是否正确；
命题②：从是否能平行或者异面入手，进行判断是否正确；
命题③，根据面面平行的定义入手，进行判断是否正确.
【详解】
两个平面相交时也有无数个公共点，故①为假命题；两个平面相交，分别在两个平面内的两条直线可以相交、异面、平行，故②为假命题；由平面平行的定义可知③为真命题．
【点睛】
本题考查了面面的位置关系，分类讨论、运用定义是解题的关键.
【即学即练7】如图，若P是所在平面外一点，，，N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线.
【答案】见解析
【解析】
根据点和直线、点和平面的位置关系,可证明平面ABC,平面,而,即可证明直线与为异面直线.
【详解】
证明：∵,,为垂足,是的中点,
∴点与点不重合
∵平面,平面,平面,
∴由异面直线的判定定理可知,直线与为异面直线
【点睛】
本题考查了异面直线的判定,点和直线、点和平面的位置关系,属于基础题.
能力拓展
考法01
空间两直线的位置关系的判断
空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系．
【典例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为
A．③④B．①② C．①③ D．②④
【答案】A
【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确．故选A．
【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：
1．定义法：不同在任何一个平面内的两条直线．
2．定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．
3．推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线．
4．反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．
证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立．
【典例2】已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
【典例3】在正方体中，判断下列直线间的位置关系：
①与________；
②与________；
③与(为的中点)________；
④与________.
【答案】 平行 异面 相交 异面
【解析】
【分析】
根据空间中线线位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①连接与，因为在正方体中，
且，所以四边形为平行四边形，
因此；
②连接，，由①知，，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以与无交点，且与不平行，
所以与异面；
③连接，因为与共面，且与不平行，
所以与相交；
④因为在正方体中，
平面平面平面，
所以与异面.
故答案为：①平行；②异面；③相交；④异面.
【点睛】
本题主要考查空间中线线位置关系的判断，属于常考题型.
考法02
两异面直线所成的角
通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点．
【典例4】如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.
【答案】
【解析】
【分析】
连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.
【详解】
连接、、，，，
在正方体中，，，，
所以，四边形为平行四边形，，
所以，异面直线与所成的角为.
易知为等边三角形，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.
【典例5】如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为
A．B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，过作，则，过作，则或其补角即为异面直线CD和PB所成的角，如图所示，过作，连接，则四边形是梯形，其中，，过作，则，
在中，，则，所以，故选A．
【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线和所成的角转化为平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题．
考法03
直线与平面的位置关系
空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．
【典例6】已知平面α和直线l，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )
A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能
【答案】B
【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.
【典例7】下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
借助长方体依次判断即可得到答案.
【详解】
易知①正确，
对②，如图所示：
在长方体中，直线为异面直线，，，故②正确；
对③，如图所示：
在长方体中，直线为相交直线，，与相交，故③错误；
对④，如图所示：
在长方体中，满足为异面直线，，，此时和相交，故④错误.
故选：C
【典例8】若直线aα，则下列结论中成立的个数是（ ）
①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵直线aα，∴a∥α或a∩α=A．如图，显然①②③④都有反例，∴应选A．
【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维．
考法04
平面与平面的位置关系
判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
【典例9】已知 α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【答案】D
【解析】不能保证α，β无公共点．如图：
故A、B选项错误．
当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：
故C选项错误．
平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β．故D选项正确．
【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交．判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断．
易错提示：
1.忽略异面直线所成的角的范围致误
【典例11】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
【错解】如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，
故为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，
∴∠ENM=30°．
又由AD=BC，知ME=EN，
∴∠EMN=∠ENM=30°，
∴，
即BC与AD所成的角为120°．
【错因分析】在未判断出∠MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角．
【正解】以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC与AD所成的角为60°．
【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是．
2.对直线与平面相交的概念理解不透彻致误
【典例12】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交．
【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β．
因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α，
所以P∈β，即点P为平面α与β的一个公共点，
由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=C．
在平面β内，a∥b，a∩c=P．
由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q，则Qb，QC．
因为cα，所以Qα，所以直线b与平面α相交．
【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点．
【正解】因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β．
因为a∩平面α=P，所以平面α与β相交于过点P的一条直线，记为c，
因为在平面β内，c和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，所以c必和b相交，设交点为Q，即b∩c=Q．
又直线b不在平面α内（若b在平面α内，则α与β过两相交直线b和c，因此α与β重合，则a在α内，与已知矛盾），所以直线b与平面α相交．
【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A．l至少与a，b中一条相交
B．l至多与a，b中一条相交
C．l至少与a，b中一条平行
D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行
【答案】A
【解析】
【分析】
此种类型的题可以通过举反例判断正误.
【详解】
因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.
若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对；
当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.
故选：A.
2. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
【答案】B
【解析】
【分析】
结合平行直线、异面直线、相交直线的知识判断出正确选项.
【详解】
∵GH//A1B，而A1B//D1C，∴GH//D1C.又MN//D1C，∴GH//MN.
由异面直线的定义可知，GH与EF异面.
延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线.
故选：B.
3. 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.
【详解】
如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.
由条件知：，则，
故选：C.
4. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线B．直线与直线AE是共面直线
C．直线AE与直线是异面直线D．直线AE与直线是共面直线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据异面直线的判定定理求解即可.
【详解】
由于与均在平面内，不是异面直线，故A错误；
平面，平面，点不在直线上，所以和是异面直线，故B错误；
平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，故C正确；
平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，故D不正确.
故选：C
【点睛】
方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.
5. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；
②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
③若直线在平面外，则.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用模型可判断①的正误；利用线面的位置关系可判断②的正误；利用线面位置关系的定义可判断③的正误.
【详解】
在正方体中，
，与平面相交，则与平面相交，①正确；
若两条直线平行，则它们共面，因此这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确；
对于③，包括两种情形，直线或直线与相交，故③不正确.
故选：B.
6. 若直线a与平面不垂直，则平面内与直线a垂直的直线有（ ）
A．0条B．1条C．无数条D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
若直线与平面不垂直，有三种情况：直线平面，直线平面，直线与平面相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面内与直线垂直的直线的条数，能够得到结果．
【详解】
解：若直线与平面不垂直，
当直线平面时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线；
当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直；
直线与平面相交但不垂直，在平面内有无数条平行直线与直线垂直．
若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线有无数条．
故选：C.
7. 设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（ ）
A．，，则B．，，则
C．，，则D．，，则
【答案】D
【解析】
利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B选项的正误；根据已知条件判断直线与平面的位置关系，可判断C选项的正误；根据已知条件判断直线与平面的位置关系，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，，由线面平行的性质定理可知，过直线的平面与平面的交线平行于，
，，，，故A正确；
对于B，若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故B正确；
对于C，若，，则或，又，，故C正确；
对于D，若，，则或与相交或，
而，则或与相交，故D错误．
故选：D．
【点睛】
方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．
8. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】
解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°.
故选：D.
9. ．已知平面外不共线的四点到平面的距离都相等，则正确的结论是（ ）
A．平面必与平面平行
B．平面必与平面相交
C．不存在满足条件的平面
D．存在的一条中位线平行于平面或在平面内
【答案】D
【解析】
根据点与面的位置关系，结合题意，进行判断即可.
【详解】
如图1所示，在正方体中，
分别取，，，的中点，
，，，将平面看作是平面，则四点到平面的距离相等，
此时平面与平面相交，存在的一条中位线在平面内，
故A，C错误；
如图2所示，在正方体中，分别取的中点，将平面看作是平面，
则四点到平面的距离相等，
此时平面与平面平行，的三条中位线都平行于平面，
故B错误.
综上所述，只有D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间中点与面，面与面的位置关系，属基础题；本题中，绘制示意图来说明问题，是一种很好的方法.
10. 下列说法中正确的个数是（ ）
①平面与平面都相交，则这三个平面有2条或3条交线
②两个平面平行，各任取两平面内的一条直线，它们不相交；
③直线a不平行于平面，则a不平行于内的任何条直线；
④如果，，那么.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
三个平面有可能相交于一条直线，则①错误；
两个平面平行，则两平面没有公共点，各任取两平面内的一条直线也没有公共点，则②正确；
当直线a在平面内时，平面内有无数条直线与直线a平行，则③错误；
当直线在平面内时，也有，，则④错误.
【详解】
①错误，平面与平面，都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.
②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交.
③错误，直线a不平行于平面，则a有可能在平面内，此时可以与平面内无数条直线平行.
④错误，如果，，那么或
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题.
11. 下图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，分别为的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为
A．直线与直线共面B．直线与直线是异面直线
C．平面平面D．面与面的交线与平行
【答案】C
【解析】
【详解】
画出几何体的图形，如图，
由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．
故答案选C．
12. 已知在空间四边形中，，且，，则与所成的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用已知条件计算，再利用计算与所成角的余弦值，然后确定角度.
【详解】
根据已知，得，
∴，
∴，
∴与所成的角为.
故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线夹角的计算，较容易，转化为求向量间的夹角计算即可.
题组B 能力提升练
1. 正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
取上一点，使，结合正方体的结构特征可得，进而可得，所以为异面直线与所成角，在中，，即可求解.
【详解】
取线段上一点，使，连接，，如图所示，
因为，，所以，
所以，，又因为，
所以为异面直线与所成角，
设该正方体的棱长为，则，，
所以在中，，
所以，
故选：C
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
2.（多选题）在正方体中，分别是的中点，为正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A．直线是异面直线且
B．直线是异面直线且
C．直线是相交直线且
D．直线是相交直线且
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意画出图象，再判断和的位置关系和长度，和的位置关系和长度即可得到答案.
【详解】
根据题意画出图像如图所示，
由图像易知，和在矩形上，
和是相交直线，且，故选项B、D错误；
为正方形的中心，为的中点，
所以，且，
又点为的中点，所以，且，
所以，且，四边形是平行四边形，
则和是的两条对角线，
所以和是相交直线，且；
故选项A错误，C正确.
故选：ABD.
3.（多选题）如图为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥为正四面体
B．与互为异面直线且所成的角为
C．与互为异面直线且所成的角为
D．与互为异面直线且所成的角为
【答案】ACD
【解析】
根据三棱锥各条棱相等即可判断A；连接，可知与所成角即为与所成角，求出即可判断B；可知即为与所成角，求出可判断C；由平面可判断D.
【详解】
对于A，因为三棱锥的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条棱相等，故三棱锥为正四面体，故A正确；
对于B，连接，可知在正方体中，，所以四边形是平行四边形，所以，因为，故异面直线与所成角为，故B错误；
对于C，由图可得与互为异面直线，连接，易得四边形是平行四边形，则，则即为所成角，由是等边三角形可得，故C正确；
对于D，由图可知与互为异面直线，因为在正方体中，平面，且平面，故，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查异面直线的判断和异面直线所成角的求解.
4.（多选题）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则( )
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为D．点与点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；
对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；
对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；
对于D，利用反证法判断．
【详解】
对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误；
对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，，
∵，，∴平面∥平面．
又∵平面，∴∥平面，故选项B正确；
对于C，如图所示，连接，，延长，交于点，
∵，分别为，的中点，∴，
∴、、、四点共面，∴截面即为梯形．
∵，∴，即，∴
又，∴即，，
∴等腰△的高，梯形的高为，
∴梯形的面积为，故选项C正确；
对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，
连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．
故选：BC﹒
5. （多选）如图，在棱柱中，下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与是异面直线D．与是异面直线
E．平面平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义即可求解.
【详解】
通过观察题图，根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义可得，选项A、B、C正确，因为与是共面直线，故D错误，因为平面平面，故E错误.
故选：ABC.
6. 《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，．若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】
在上取点，满足，可得即为异面直线AE与CF所成角（或补角），设出边长，可得，即可求出.
【详解】
如图，在上取点，满足，
因为，，四边形为矩形，
所以，且，则四边形为平行四边形，则，
所以即为异面直线AE与CF所成角（或补角），
设，则，，
因为和都是正三角形，所以，，
由，所以，
满足，所以，即异面直线AE与CF所成角的大小为.
故答案为：.
7. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接B1C，交BC1于点O，取AC的中点D，连接OD，易知∠BOD或其补角即为所求，再在中，由余弦定理，即可得解．
【详解】
连接B1C，交BC1于点O，则O为BC1的中点，取AC的中点D，连接OD，
∴OD//AB1，OD＝AB1＝，
∴∠BOD或其补角即为异面直线AB1与BC1所成角，
在中，BD＝AC＝，OB＝BC1＝，
由余弦定理知，，
∴sin∠BOD＝，
∴异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为．
故答案为：．
8. 如图，在正方体中，是的中点，则直线与平面的位置关系是_______；直线与平面的位置关系是_______.
【答案】 相交 平行
【解析】
【分析】
在平面中，由与相交可判断出直线与平面的位置关系，由平面平面可得出直线与平面的位置关系.
【详解】
在平面中，四边形是梯形，且、是两腰，则直线与直线相交，所以，直线与平面相交；
在正方体中，平面平面，平面，
平面.
故答案为相交；平行.
【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判断，解题时充分利用线面、面面关系相关的定理与定义进行转化、判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
C 培优拔尖练
1. 如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点.求证： MN与PQ是异面直线.
【答案】见解析
【解析】
利用反证法,假设MN与PQ不是异面直线,则共面.利用点和直线的位置关系可得矛盾,进而假设不成立,即原结论成立.
直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线.
【详解】
证明：方法一:（反证法）假设MN与PQ不是异面直线
则MN与PQ在同一平面内,设此平面为
∴,,,
∵,
∴
又∵
∴
又∵,,,
∴,
∴a,b,c共面于,这与a,b,c不共面矛盾
∴假设不成立
∴MN与PQ是异面直线
方法二:∵
∴由a,c确定一个平面,设为
∵,
∴,
∴,且,
又∵a,b,c不共面,
∴
∴MN与PQ是异面直线
【点睛】
本题考查了异面直线的证明,反证法在几何定理中的证明应用
2. 如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
取的中点R，连接QR，AR,通过证明证得结论.
【详解】
证明：取的中点R，连接QR，AR,如图：
.
∵Q是的中点，.而.
∴四边形ABQR是平行四边形，.
在正方形中，∵P，R分别是的中点，
.
，
即.
【点睛】
此题考查线线垂直的证明，通过平行关系的转化，结合平面几何的知识进行证明.
3. 如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？
【答案】直线与平面ABCD相交，直线与平面ABCD相交.证明见解析.
【解析】
【分析】
如图，根据题意可得四边形是梯形，由平面得出直线与平面的交点一定在平面内，进而直线与平面相交，同理可得直线与平面相交.
【详解】
①直线与平面相交.理由如下：
在长方体中，点P为的中点，
所以，且，
所以四边形是梯形，所以与AB相交，设交点为M，如图，
所以，又平面，所以平面，
故点M是直线与平面的公共点，
所以直线与平面相交；
②直线与平面相交.理由如下：
如图，连接BD，在长方体中，点P为的中点，
所以，且，
所以四边形是梯形，所以与BD相交，设交点为N，
所以，又平面，所以平面，
故点N是直线与平面的公共点，
所以直线与平面相交.
4.已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【答案】(1)证明见解析；(2) 45°.
【解析】
【详解】
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
5. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由图形可得与不平行，，的延长线相交于一点，设此点为，推得为平面与平面的公共点，即可得证．
【详解】
证明：因为在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，
所以AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，所以G∈AA1，G∈BE.
又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，
所以G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，
所以平面ACC1A1与平面BEF相交.
6. 如图，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
【答案】
【解析】
【分析】
连接，得到，根据题意，得到，再求得，，结合，即可求解.
【详解】
如图，连接，在四棱柱中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以（或其补角）为和所成的角，
因为异面直线和所成的角为，所以，
因为四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，
所以是等腰直角三角形，所以，
因为底面四边形是菱形且，，
所以，，
所以.
7. 设是正方体的面､面的中心，正方体的棱长为1．
（1）求线段的长；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）连接，利用中位线定理得出线段的长；
（2）由，得出异面直线与所成角为，再由等边三角形的性质求解即可.
【详解】
（1）如下图所示，连接
是正方体的面､面的中心
分别为线段的中点
在中，
（2）连接
由（1）可知，分别为线段的中点，则
异面直线与所成角为
为等边三角形
即异面直线与所成角的大小为
【点睛】
本题主要考查了求异面直线的夹角，涉及了中位线定理的应用，属于中档题.
课程标准
课标解读
初步掌握空间直线与直线，直线与平面、平面与
平面的位置关系的条件.
掌握异面直线所成角的范围.会求异面直线所成
的角.
能用定义判断两个空间中两个平面的位置关系.
会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面
与平面之间的位置关系．
通过本节课的学习，要求会用三种语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，能判断出空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，会求民面直线所成的角，能用平面几何的解题策略解决空间几何的问题.