初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定课时训练

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定课时训练，文件包含专题26倍长中线法与截长补短法构造全等三形两大类型原卷版docx、专题26倍长中线法与截长补短法构造全等三形两大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

【题型一：倍长中线法构造全等三角形】
【题型二：截长补短法构造全等三角形】
【方法技巧】
【题型一：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE


方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN


倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中）
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相
【典例1】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
【变式1-1】如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
【变式1-2】如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为 ．
【变式1-3】如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
【变式1-4】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【变式1-5】已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【变式1-6】（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．
【变式1-7】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【变式1-8】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【变式1-9】（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【变式1-10】（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系，并加以证明．
【模型二：截长补短法构造全等三角形】
截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起
【典例2】模型分析
当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．
问题：
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．
截长法：
在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．
补短法：
延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．
请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．
请结合右边的【模型分析】证明结论．
求证：AB+BD＝AC．
【截长法】

【补短法】

【变式2-1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．
【变式2-2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．
【变式2-3】（2022秋•天河区校级期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；
（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【变式2-4】（镇江期中）阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
【变式2-4】截长或补短都是为了构造全等三角形，将线段和差问题转化为线段相等的问题．
如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD，求证：CD⊥AC．
【变式2-5】在△ABC中，AB＝AC．D为△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝60°．求证：CD＝AB﹣BD．
【典例3】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【变式3-1】（昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【变式3-2】（北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．
（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；
（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．