北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题全等三角形模型——截长补短与倍长中线(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题全等三角形模型——截长补短与倍长中线(原卷版+解析)，共28页。

截长补短
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：
截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
在线段上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
延长，使得
中，是的平分线，且．若，则的大小为
A．B．C．D．
阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在中，，平分．求证：．证明：在上截取，连接
（2）如图2，，，分别平分，，过点，求证：．
如图，在中，平分交于，在上截取．
（1）求证：；
（2）若，，，求的周长．
（2020秋•武昌区期中）如图，中，，、分别平分、，、相交于点
（1）求的度数；
（2）若，，求线段的长．
如图，在中，，是的平分线，且，求的度数．
如图，五边形中，，，，，连接．求证：平分．
已知：如图，在中，是延长线上一点，是的平分线，是上的一点（点不与点重合），连接，．通过观察，测量，猜想与之间的大小关系，并加以证明．
已知中，，平分交边于．
（1）如图（1），当时，证明：；
（2）如图（2），当时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于，若有请写出结论并完成证明．
（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：．”
李老师给出了如下简要分析：要证，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：
方法一：“截长法”．如图2，在上截取，连接，只要证 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ △ ，得出及 ，再证出 ，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是“已知平分，将沿直线对折，使点落在边上的点处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图3，延长至点，使．只要证即可，此时先证 ，再证出△ △ ，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
倍长中线
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形；
其本质是转移边和角．
倍长中线常见题型：
已知角平分线+中线证等腰三角形，
已知角平分线+高证等腰三角形，
已知中线+高证等腰三角形．
其中，延长使得，则．
三角形中，是中线，且，，求的取值范围是 ．
（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，则得到，小明证明用到的判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以的边，为边向外作和，，，，是中点，连接，．当时，求的长．
如图，中，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
如图，平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，、分别为轴负半轴，轴正半轴上的点，，，，连．如图，为的中点，求证：．
如图，是的边上的中线，，是的边上的中线．求证：．
如图，在中，，是边上的两点，，是边上的中线，则求证．
如图1，中，为的中线，点在上，且．
（1）求证：．
（2）如图2，连接，若，，则的度数为 （直接写出结果），
如图，中，点是中点，连接并延长到点，连接．
（1）若要使，应添上条件： ；
（2）证明上题：
（3）在中，若．，可以求得边上的中线的取值范围．请看解题过程：
由得：，，因此，即，而，则请参考上述解题方法，可求得，则的值为 ．
（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）
全等三角形模型——截长补短与倍长中线
截长补短
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：
截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
在线段上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
延长，使得
中，是的平分线，且．若，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】可在上取，则由题中条件可得，即，再由三角形的外角性质即可求得的大小．
【解答】解：如图，在上取，
是角平分线，
，
△，
，
又，，
，
，
．
故选：．
阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在中，，平分．求证：．证明：在上截取，连接
（2）如图2，，，分别平分，，过点，求证：．
【分析】（1）在上截取，连接，证明，得到，再证明即可；
（2）由等腰三角形的性质知，再证明即可解决本题．
【解答】证明：在上截取，连接，如图
平分，
，
在和中，
，
，
，，又，
，
而，
，
，
；
（2）延长、交于，
，平分，
，
在和中，
，
，
，
．
如图，在中，平分交于，在上截取．
（1）求证：；
（2）若，，，求的周长．
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．
【解答】证明：（1）平分，
，
在与中，
，
，
（2），
，
的周长
（2020秋•武昌区期中）如图，中，，、分别平分、，、相交于点
（1）求的度数；
（2）若，，求线段的长．
【分析】（1）利用，、分别平分，，即可得出答案；
（2）由题中条件可得，进而得出，通过角之间的转化可得出，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1），、分别平分，，
，，
，
．
（2）如图，在上截取，连接．
平分，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
如图，在中，，是的平分线，且，求的度数．
【分析】在上截取，根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得到，根据等边对等角可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据三角形的内角和定理列方程求出，即可得解．
【解答】解：如图，在上截取，
平分，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
，
，
即，
在中，，
，
解得，
．
如图，五边形中，，，，，连接．求证：平分．
【分析】连接，将绕点旋转到，由，，得到与重合，并且，又由，得到，即，，在一条直线上，而，得，则易证，于是．
【解答】证明：如图，连接，将绕点旋转到，
，，
与重合，并且，
又，
而，
，
，，在一条直线上，
而，，
，
又，
，
，
即平分．
已知：如图，在中，是延长线上一点，是的平分线，是上的一点（点不与点重合），连接，．通过观察，测量，猜想与之间的大小关系，并加以证明．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．
【解答】解：，理由如下：
在的延长线上截取，连接，
在和中，
，
，
．
在中，，
即．
已知中，，平分交边于．
（1）如图（1），当时，证明：；
（2）如图（2），当时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于，若有请写出结论并完成证明．
【分析】（1）如图1中，在上截取．只要证明，即可解决问题；
（2）结论：．如图2中，在、上分别截取，．则，再证明即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，在上截取．
，，，
，
，，
，
，，
，
，
．
（2）结论：．
理由：如图2中，在、上分别截取，．则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：．”
李老师给出了如下简要分析：要证，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：
方法一：“截长法”．如图2，在上截取，连接，只要证 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ △ ，得出及 ，再证出 ，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是“已知平分，将沿直线对折，使点落在边上的点处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图3，延长至点，使．只要证即可，此时先证 ，再证出△ △ ，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
【分析】方法一、如图2，在上截取，由“”可证，可得，，由角的数量关系可求，即可求解；
方法二、如图3，延长至点，使，由“”可证，可得，可得结论．
【解答】解：方法一、在上截取，连接，如图
平分，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
而，
，
，
，
故答案为：，转化，，，，，；
方法二、如图3，延长至点，使，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为，，．
倍长中线
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形；
其本质是转移边和角．
倍长中线常见题型：
已知角平分线+中线证等腰三角形，
已知角平分线+高证等腰三角形，
已知中线+高证等腰三角形．
其中，延长使得，则．
三角形中，是中线，且，，求的取值范围是 ．
【分析】延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．
【解答】解：延长到，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，则得到，小明证明用到的判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以的边，为边向外作和，，，，是中点，连接，．当时，求的长．
【分析】问题背景：先判断出，由对顶角相等，进而得出；
问题解决：先证明，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；
拓展应用：如图2，延长到，使得，连接，同（1）的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解．
【解答】解：问题背景：如图1，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
问题解决：如图1，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
在中，
，
，
，
在中，，
，，
，即，
，
，
；
拓展应用：如图2，延长到，使得，连接，
由问题背景知，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
如图，中，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
【分析】（1）再延长至，使，构造，再根据三角形的三边关系可得；
（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再计算即可．
【解答】（1）证明：由，再延长至，使，
为的中点，
，
在和中，
，
，
在中，，
；
（2），，
，
．
如图，平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，、分别为轴负半轴，轴正半轴上的点，，，，连．如图，为的中点，求证：．
【分析】延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明；
【解答】证明：延长至点，使，连接，
在和中，，
，
，，
，，
在和中，，
，
，
．
如图，是的边上的中线，，是的边上的中线．求证：．
【分析】延长至点，使，连接，由证得，得出，，易证，得出，证明，由证得，即可得出结论．
【解答】证明：延长至点，使，连接，如图所示：
是的边上的中线，
，
在与中，，
，
，，
是的边上的中线，，
，
，
，
在与中，，
，
．
如图，在中，，是边上的两点，，是边上的中线，则求证．
【分析】如图，延长至，使，连接，，延长交于点，通过证明，，可得，，利用三角形的三边关系可求解．
【解答】证明：如图，延长至，使，连接，，延长交于点，
是边上的中线，
，且，，
，，且，
，
在中，，
在中，，
，
，
．
如图1，中，为的中线，点在上，且．
（1）求证：．
（2）如图2，连接，若，，则的度数为 （直接写出结果），
【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，可得，，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，延长到，使，连接，
为的中线，
，且，且，
，
，，
，
，
，
；
（2），为的中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，中，点是中点，连接并延长到点，连接．
（1）若要使，应添上条件： ；
（2）证明上题：
（3）在中，若．，可以求得边上的中线的取值范围．请看解题过程：
由得：，，因此，即，而，则请参考上述解题方法，可求得，则的值为 ．
（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）
【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件；
（2）易证，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；
（3）根据三角形三边关系即可解题；
（4）已知中，是斜边中线，求证；证明：延长到点使得，连接，易证，可得，，即可证明，可得，即可解题．
【解答】解：（1）应添上条件：，
故答案为；
（2）点是中点，
，
在和中，，
；
（3）三角形两边之差小于第三边，
，即，
，
，
故答案为 1；
（4）已知中，是斜边中线，求证，
证明：延长到点使得，连接，
点是中点，，
在和中，，
；
，，
，，即，
在和中，，
；
，
．