人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定精品巩固练习

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专训12.2.5 尺规作图+尺规作图为背景的几何证明
一、单选题
1．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．
作法：（1）以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作⊕，则∠DEF即为所求作的角．

A．△表示点E B．○表示PQ
C．*表示ED D．⊕表示射线EF
【答案】D
【分析】
根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：由图可得作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；
（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
2．如图所示的是已知，求作的作图痕迹， 则下列说法正确的是（ ）

A．因为边的长度对角的大小无影响， 所以弧的半径长度可以任意选取
B．因为边的长度对角的大小无影响， 所以弧的半径长度可以任意选取
C．因为边的长度对角的大小无影响， 所以弧的半径长度可以任意选取
D．以上三种说法都正确
【答案】A
【分析】
根据作一角等于已知角的方法可得出边的长度对角的大小无影响，BC弧的半径长度可以任意选取进而得出答案．
【详解】
已知，求作的作图痕迹，
边的长度对角的大小无影响， 得出弧的半径长度可以任意选取 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，根据一角等于已知角的方法得出是解题的关键．
3．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：

①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；
④过点画射线；
根据以上操作，可以判定≌，其判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】A
【分析】
由步骤②得半径= ，由步骤③半径=，半径OD=，即可利用三边对应相等证明≌（SSS）．
【详解】
解：由步骤②得半径= ，
由步骤③半径= ，半径OD=，
在和中，

∴≌（SSS）．
故选择A．
【点睛】
本题考查尺规作图的依据，仔细阅读作法，找出用两次半径OC与CD解决问题是关键．
4．嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．

下列说法正确的是（ ）
A．m－p>0 B．1－p>0 C．p=n>0 D．m=n>0
【答案】D
【分析】
利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论．
【详解】
解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
则m=n>0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
5．如图，用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的原理是：因为，所以．由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解．
【详解】
解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以根据“SSS”可判断△D′O′C′≌△DOC．
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【详解】
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
7．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）

A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
8．观察下列尺规作图的痕迹：

其中，能够说明的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】
根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．
【详解】
解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；
如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定;
如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即;
如图③为作∠ACB的平分线，无法判定;
综上，①③正确．
故选C．

【点睛】
本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键．
9．已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）

A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
【答案】C
【分析】
根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】
解：由题意可知，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，

，
，
在和中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，

，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若，，
则，
而根据题意不能证明，
故不能证明，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
10．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：

已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】
根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．
【详解】
解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．
11．如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．
【详解】
解：如图：

以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．
12．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（ ）

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】
由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（ ）
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．

A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【分析】
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【详解】
甲的作法如图一：

∵为等边三角形，AD是的角平分线
∴



由甲的作法可知，

在和中，

故甲的作法正确；
乙的作法如图二：



在和中，

故乙的作法正确；
故选：A．
【点睛】
本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．


二、填空题
14．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；②以点为圆心，长为半径在内画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④作射线交于点．若，，则的度数为_______．

【答案】．
【分析】
根据作图可知∠PBC=∠C=45°，根据三角形内角和求出∠ABC=75°，即可求的度数．
【详解】
解：由作图可知，∠PBC=∠C=45°，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作一个角等于已知角和三角形内角和，解题关键是理解作图方法，熟练运用三角形内角和定理求角．

三、解答题
15．尺规作图：如图，已知点为直线外一点，求作直线，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】
作直线交于，作即可．
【详解】
解：如图，直线即为所求作．

【点睛】
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．作图题
（1）如图，已知线段m，n．求作△ABC，请在右面的空白处作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）婷婷将（1）中自己画的△ABC剪下来，放在同桌悦悦所画的△ABC上，发现两三角形完全重合，这一过程验证了三角形全等的哪一种判定定理： （直接写出答案，不写过程）．
【答案】（1）见解析；（2）HL
【分析】
（1）①用直尺任意画一条线，用圆规的两脚量取等于长度的线段，交直线与A、C两点；②以C为圆心，任意长半径作圆；③分别以圆与直线的交点为圆心，画两个等圆，连接两个等圆的交点，可作出直线的垂线；④以A为圆心，线段长为半径作圆，交垂线于点B；⑤连接AB即可
（2）根据两个直角三角形对应的斜边和一条直角边相等即可得到结论
【详解】
（1）如图，

步骤①用直尺任意画一条线，用圆规的两脚量取等于长度的线段，交直线与A、C两点；②以C为圆心，任意长半径作圆；③分别以圆与直线的交点为圆心，画两个等圆，连接两个等圆的交点，可作出直线的垂线；④以A为圆心，线段长为半径作圆，交垂线于点B；⑤连接AB即可
（2），
在中，直角边，斜边
在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等
可用证明两个三角形全等
【点睛】
本题考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，解题关键是掌握垂线的画法，以及全等三角形的判定定理．
17．尺规作图：如图，已知线段a，b，c，求作，使，，（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】
首先作线段BD=a，在BD上截取AD=b，再分别以A、B为圆心，b，c为半径画弧，两弧相交点C，连接BC，AC，则△ABC即为所求作．
【详解】
解：如图，为所作．

【点睛】
此题主要考查了复杂作图，关键是作出线段．
18．尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）

【答案】见解析．
【分析】
利用基本作图来解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．
【详解】
解：如图，为所作．

【点睛】
本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图中的基本作图，会用基本作图解决问题是解题关键．
19．已知：两边及其夹角，线段，，．
求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

请你根据所学的知识，说明尺规作图作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．
【答案】作图见解析；SSS，SAS．
【分析】
（1）首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a，AB=c，再连接AC；
（2）根据三角形全等的判定定理可得．
【详解】
解：（1）如图所示：

（2）尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS．
【点睛】
本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．
20．尺规作图题
已知：如图，线段，，直角．
求作：，使，，．
（注：不写作法，保留作图痕迹）

【答案】作图见解析
【分析】
先作∠ECF=，在射线CF上截取点B，使，以B为圆心，c的长为半径作弧，交射线CE于点A，连接AB即可．
【详解】
解：先作∠ECF=，在射线CF上截取点B，使，以B为圆心，c的长为半径作弧，交射线CE于点A，连接AB，如图所示，即为所求．

【点睛】
此题考查的是作直角三角形，掌握作角等于已知角和作线段等于已知线段是解决此题的关键．
21．已知线段a和∠α，按要求作图：作一个△ABC，使AB=2a，BC=3a，∠ABC=∠α．（保留作图痕迹，不必写作法和证明）

【答案】作图见解析
【分析】
可作∠ABC=∠α，然后在∠ABC的两边上分别截取BC =3a，BA=2a,连接AC即可．
【详解】
解：如图，

22．小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取．
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？

【答案】见解析
【分析】
利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．
【详解】
解：由作法得：
OE=OD，CE=CD，
而OC为公共边，即OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．

【点睛】
本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．已知：如图1，在中，．求作：射线，使得．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；
④作射线．所以射线就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．

【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】
解：（1）如图，射线即为所求作．

（2）连接，．
，，．
，
，
（同位角相等两直线平行）．
故答案为：，，同位角相等两直线平行．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．如图，在中，，点在上．请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】答案见详解．
【分析】
利用作一个角等于已知角确定以A与P圆心,，以同样长度为半径，再以EF为半径，以点G为圆心画弧交前弧于H，作射线PH交AC与D得出即可．
【详解】
解：以点A为圆心，任意长为半径，画弧交AP于E，AB与F，以P为圆心，以AE长为半径画弧交PC与G，以G为圆心，以EF长为半径，画弧，交前弧于H，过H作射线PH交AC于D，即可得出．
如图所示：

则点D即为所求．
【点睛】
本题主要考查了基本尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握相关知识是解本题的关键．
25．如图，B，C分别为射线的端点，连接，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母）

（1）在的右侧，作，交射线于点E；
（2）在（1）的条件下，求作（点F在内）使得．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用基本作图作出∠BCE；
（2）分别以C、B点为圆心，BE、CE为半径画弧，两弧交于点F，则△CBF为所作．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作．

【点睛】
本题考查了作图，解决此类问题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
26．求证：全等三角形的对应角平分线相等．

（1）在图②中，作出相应的角平分线,保留作图痕迹；
（2）根据题意，写出已知、求证，并加以证明。
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的作图方法即可求解；
（2）根据已知条件证明△ABD≌△A’B’D，故可得到AD=A’D’，即全等三角形的对应角平分线相等．
【详解】
（1）如图，A’D’即为所求；
（2）已知，△ABC≌△A’B’C’,AD，A’D’分别是△△ABC，△A’B’C’的角平分线；
求证：AD=A’D’；
证明：∵△ABC≌△A’B’C’
∴AB=A’B’,∠B=∠B’，∠BAC=∠B’A’C’
∵AD，A’D’分别是△△ABC，△A’B’C’的角平分线
∴∠BAD=∠B’A’D’
∴△ABD≌△A’B’D（ASA）
∴AD=A’D’
即全等三角形的对应角平分线相等．

【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
27．嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．

【答案】（1）BE；BF；（2）见解析
【分析】
（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；
（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话，得到AE=BF
故答案为：BE；BF；
（2）证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在△ABE与△FCB中，

∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
【点睛】
本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．
28．如图所示，已知△ABC.
（1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线；
（要求：不写作法，但需要保留画图痕迹）
（2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明.

【答案】（1）见解析 （2）BE=CF.
【分析】
（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC相交，再以这两点为圆心，以大于它们长度的为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与交点作射线即为∠A的平分线；分别以点B、C为圆心，以大于BC长度为半径画弧，在BC的两边分别相交于一点，过这两点作直线即为BC的垂直平分线；
（2）结论BE=CF．利用全等三角形的性质即可证明.
【详解】
解：（1）



（2）BE=CF.
连接PB和PC
∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE=PF.
∵l2垂直平分BC边,
∴PC=PB.
由HL证明△PFC≌△PEB
∴BE=CF.
【点睛】
本题考查了作图—复杂作图与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图与线段垂直平分线的性质.
29．尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．(　　　)
（2）过两点作一条直线．(　　　)
（3）画一条长为3㎝的线段．(　　　)
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　)
（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：使

作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，____________________；
（4）过点画射线，则．

说理：由作法得已知：
求证：
证明：
(　　　)
所以(　　　)
（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线与直线外一点A．
求作：过点A的直线，使得．

（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．

【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析．
【分析】
[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
【详解】
解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；
（2）过两点作一条直线．可以求作；
（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；
（3）以点C为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D画射线OB，则∠AOB＝∠AOB．

说理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD，
求证：∠AOB＝∠AOB．
证明：在△OCD和△OCD中，
∴△OCD≌△OCD（SSS），
∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
；
[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【点睛】
本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
30．动手操作：
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.
问题解决：

(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证：△CAN≌△CMN.
实验探究：
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.
【答案】(1) ∠MAB =51°；(2)详见解析；(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.
【分析】
（1）利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题；
（2）根据AAS即可判断；
（3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；
【详解】
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=78°，
∴∠CAB=102°.
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=51°；
(2)证明：由作法知，AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA，
∵CN⊥AM，
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又∵CN=CN，
∴△CAN≌△CMN.
(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图.
31．综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．

实践操作
（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；
探究发现
（2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由；
探究应用
（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段的长为9
【分析】
（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于; 　
（2）根据平行和（1）中作的图证明，根据全等得出对应边相等、再根据对应角相等得出平行；
（3）由（2）的全等得出，再根据线段之间的关系算出．
【详解】
（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于，如图为所求图形：

（2）理由如下：
在和中，

∴．
∴，．
∴．
（3）由（2）得，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴线段的长为9．
【点睛】
本题考查尺规作图和全等三角形的性质和判定，熟练掌握尺规作图和全等三角形的边角代换是解题关键．