2021中考数学专题《倍长中线模型构造全等三角形》

2021中考数学专题《倍长中线模型构造全等三角形》

【专题说明】

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【知识总结】

题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E，使DE=AD，连接BE 

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE  

延长MD到N，使DN=MD，连接CD

1、     如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。

解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,

∵D为AC中点

∴AD=DC,

在△ABD和△CED中，

BD=DE,

∠ADB=∠CDE

AD=CD

∴△ABD≌△CED（SAS）

∴EC=AB=10

在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC

10-6＜BE＜10+6

∴4＜2BD＜16

∴2＜BD＜8

2、如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．

证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴

在和中

∴∴

在中，

∴．

3、如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

【答案】详见解析

【分析】

延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．

【详解】

如图，延长至点，使得，并连结，

∵是三角形的中线，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，即．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．

4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.

解析：

延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC

∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线

∴∠1=∠4=∠ADB,∠3=∠5=∠ADC

又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2

∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°

∴△EFD≌△HFD（AAS）

∴EF=FH

在△BDE和△CDH中，

DE=DH

∠1=∠2

BD=DC

∴△BDE≌△CDH（SAS）

∴BE=CH

在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH

∵CH=BE,FH=EH

∴BE+CF＞EF.

5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？

解析：

连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,

∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G

在△DFC和△BDG中，

∠DFC=∠G

∠FCD=∠DBG

BD=CD

∴△DFC≌△BDG(AAS)

∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB

又∵ED⊥FD,∴EF=EG

∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°

∴△EBG为直角三角形

∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.

【跟踪练习】

1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.

2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

[来源:学+科+网]

3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.

4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：AB=AC．

6、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．

（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．

（2）求证：△ACD≌△EBD．

（3）求证：AB+AC>2AD．

（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：AB=AC．

[来源:Z*xx*k.Com]

8、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．

求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

9、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：∠AEF=∠EAF．

10、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．

求证：AD为△ABC的角平分线．

[来源:学科网]

11、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．

[来源:Z,xx,k.Com

12、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：EG=CG且EG⊥CG．

参考答案：

1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.

【解析】

倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）

∵AF=EF

∴∠FAE=∠FEA，BE=BM

∴AC=BM=BE

2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.

【解析】[来源:学科网ZXXK]

倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS）

所以EF=CM=AC

∴∠CAD=∠EFD=∠BAD

∴EF∥AB

3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.

【解析】倍长CE至点M，连BM，证△DCB≌△MCB

如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE

求证：AM⊥CD

【解析】倍长AM至点F，连BF和EF

可证△ABF≌△CAD（SAS）

∠C+∠CAF=∠BAF+∠CAF=90°

∴AM⊥CD

4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？

[来源:Z§xx§k.Com]

解：如图，延长GE交CB的延长线于点H

∵AD∥BC[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴∠GAE=∠HBE

∵E为AB边的中点

∴AE=BE

在△AGE和△BHE中，

∴△AGE≌△BHE（ASA）

∴BH=AG，HE=GE

∵GE⊥EF

∴GF=HF

∵BF=2，AG=1

∴GF=HF=BF+BH

        =BF+AG

        =2+1

        =3

5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：AB=AC．

方法1：

如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

∴AC=BE，∠E=∠2[来源:学科网ZXXK]

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com]

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

方法2：

如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E

∵BE∥AC

∴∠E=∠2

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（AAS）

∴BE=AC

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

6、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．

（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．

（2）求证：△ACD≌△EBD．

（3）求证：AB+AC>2AD．

（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

解：（1）如图，

（2）证明：如图，

∵AD为BC边上的中线

∴BD=CD

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

（3）证明：如图，

∵△BDE≌△CDA

∴BE=AC

∵DE=AD

∴AE=2 AD

在△ABE中，AB+BE>AE

∴AB+AC>2AD

（4）在△ABE中，

ABBE<AE<AB+BE

由（3）得AE=2AD，BE=AC

∵AC=3，AB=5

∴53<AE<5+3

∴2<2AD<8

∴1<AD<4

[来源:学&科&网Z&X&X&K

7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：AB=AC．

证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC=EB，∠2=∠E

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

8、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．

求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF

∴CF=2CD

∵CD是△ABC的中线

∴BD=AD

在△BDF和△ADC中

∴△BDF≌△ADC（SAS）

∴BF=AC，∠1=∠F

∵CB是△AEC的中线

∴BE=AB

∵AC=AB

∴BE=BF

∵∠1=∠F

∴BF∥AC

∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°

又∵AC=AB

∴∠1+∠2=∠5

又∵∠4+∠5=180°

∴∠4=∠5+∠6

即∠CBE=∠CBF

在△CBE和△CBF中

∴△CBE≌△CBF（SAS）

∴CE=CF，∠2=∠3

∴CE=2CD

CB平分∠DCE

[来源:学科网ZXXK]

9、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：∠AEF=∠EAF．

证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM

∵D是BC边的中点

∴BD=CD

在△ADC和△MDB中[来源:学科网ZXXK]

∴△ADC≌△MDB（SAS）

∴∠1=∠M，AC=MB

∵BE=AC

∴BE=MB

∴∠M=∠3[来源:Zxxk.Com]

∴∠1=∠3

∵∠3=∠2

∴∠1=∠2

即∠AEF=∠EAF

10、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．

求证：AD为△ABC的角平分线．

证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM

∵点E是BC的中点

∴BE=CE

在△CFE和△BME中

∴△CFE≌△BME（SAS）

∴CF=BM，∠F=∠M

∵BG=CF

∴BG=BM

∴∠1=∠M

∴∠1=∠F

∵AD∥EF

∴∠3=∠F，∠1=∠2

∴∠2=∠3

即AD为△ABC的角平分线

11、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．

解：如图，延长AF交BC的延长线于点G

∵AD∥BC

∴∠3=∠G

∵点F是CD的中点

∴DF=CF

在△ADF和△GCF中

∴△ADF≌△GCF（AAS）

∴AD=CG

∵AD=2.7

∴CG=2.7

∵AE=BE

∴∠1=∠B

∵AB⊥AF

∴∠1+∠2=90°

∠B+∠G=90°

∴∠2=∠G

∴EG=AE=5

∴CE=EGCG

=52.7

=2.3

12、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：EG=CG且EG⊥CG．

证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M

由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°

∴∠DCB+∠FEB=180°

∴EF∥CD

∴∠FEG=∠M

∵点G为FD的中点

∴FG=DG

在△FGE和△DGM中

∴△FGE≌△DGM（AAS）

∴EF=MD，EG=MG

∵△FEB是等腰直角三角形

∴EF=EB

∴BE=MD

在正方形ABCD中，BC=CD[来源:学科网]

∴BE+BC=MD+CD

即EC=MC

∴△ECM是等腰直角三角形

∵EG=MG

∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°

∴∠2=∠3=45°

∴EG=CG