人教B版高中数学必修第三册第7章微专题1三角函数的图像与性质学案

这是一份人教B版高中数学必修第三册第7章微专题1三角函数的图像与性质学案，共7页。

微专题1　三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质一直是高考考查的热点，重点考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、图像变换及由图像求解析式等． 类型1　单调性【例1】　(1)函数f(x) ＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x) 的单调递减区间为(　　)A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈ZB．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈ZC．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈ZD．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z(2)已知f(x) ＝－8coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28π,5)，a))上是单调函数，则实数a的最大值为________．(1)D　(2)eq \f(22,3)π　[由题图知，函数f(x) 的最小正周期T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(1,4)))×2＝2，所以ω＝π，又点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))可以视为余弦曲线与x轴正半轴的第一个交点，所以eq \f(π,4)＋φ＝eq \f(π,2)，解得φ＝eq \f(π,4)，所以f(x) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4)))．由2kπ<πx＋eq \f(π,4)<2kπ＋π，k∈Z，解得2k－eq \f(1,4)0，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图像向右平移eq \f(4π,3)个单位后与原图像重合，则ω的最小值为(　　)A．eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)C．eq \f(3,2) D．3(2)要得到函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图像，可把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像(　　)A．向右平移eq \f(π,6)个单位 B．向右平移eq \f(π,12)个单位C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,12)个单位(1)C　(2)D　[(1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图像向右平移eq \f(4π,3)个单位后，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,3)))＋2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(4πω,3)＋\f(π,3)))＋2的图像．∵两图像重合，∴ωx＋eq \f(π,3)＝ωx－eq \f(4πω,3)＋eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，解得ω＝eq \f(3,2)k，k∈Z．又ω>0，∴当k＝1时，ω取最小值，最小值为eq \f(3,2)．(2)由于coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,6)))．故要得到函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图像，可将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像向左平移eq \f(π,12)个单位．]在函数图像的左右平移中，平移的单位是相对x而言的，在函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)中，ωx＋φ＝ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))，所以由函数y＝Asin ωx的图像得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，平移的单位不是|φ|，而是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，这点很容易出错． 类型4　由图像求解析式【例6】　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图像如图所示，求函数的一个解析式．[解]　法一(最值法)：由图像可知函数的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3)，∵A>0，∴A＝eq \r(3)．由图像知eq \f(T,2)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2．∵eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(5π,6)))＝eq \f(7π,12)，∴所给图像上的最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，\r(3)))，∴eq \r(3)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2·\f(7π,12)＋φ))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋φ))＝1，可取φ＝－eq \f(2π,3)，故函数的一个解析式为y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))．法二(五点对应法)：由图像可知A＝eq \r(3)，又图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，根据五点法作图原理，以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,3)·ω＋φ＝0，,\f(5π,6)·ω＋φ＝π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝－\f(2π,3)．))故函数的一个解析式为y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))．法三(图像变换法)：由图像可知A＝eq \r(3)，eq \f(T,2)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2．由图像可知，该函数的图像可由y＝eq \r(3)sin 2x的图像向右平移eq \f(π,3)个单位得到．故所求函数的一个解析式为y＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))，即y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))．确定函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(ω>0)的方法1．最值法(1)A：一般可由图像的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|，|A|＝eq \f(fxmax－fxmin,2)．(2)ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过函数的图像来确定T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq \f(T,2)，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T．(3)φ：常以五点法作图中的最高(低)点作为突破口，即当ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＝－\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)时，y有最大(小)值，或者由五点法作图中的第一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口，但要从图像的升降情况找准“第一点”的位置．(4)k：可由图像的最高点和最低点的纵坐标来确定k，k＝eq \f(fxmax＋fxmin,2)．2．五点对应法①“第一点”：ωx＋φ＝0；②“第二点”：ωx＋φ＝eq \f(π,2)；③“第三点”：ωx＋φ＝π；④“第四点”：ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；⑤“第五点”：ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．