人教版（B版2019课标）高中数学必修三7.2任意角的三角函数 学案

任意角的三角函数

【学习目标】

1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义。2．熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号。

【学习重难点】

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

【学习过程】

【第一课时】

知识梳理

1．任意角三角函数的定义

设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________。

2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

【达标检测】

一、填空题

1．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________。

2．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________。

3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角。

4．角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，则b的值为________。

5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是________。

6．α是第一象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x＝________。

7．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________。

8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________。

9．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为________。

10.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________。

二、解答题

11．确定下列各式的符号：

（1）tan 120°·sin 273°；（2）；

（3）sin ·cos ·tan π。

12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值。

能力提升

13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________。

①sin ；②cos ；③tan ；④cos 2θ；⑤sin 2θ。

14．已知角α的终边上一点P(－15a，8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值。

【学习反思】

1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定。即三角函数值的大小只与角有关。

2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积。

参考答案

知识梳理

1．　　

达标检测

1．－　2．－

3．三

解析　∵sin α<0，∴α是第三、四象限角。又tan α>0，

∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角。

4．3

解析　r＝，cos α＝＝＝－。

∵α的终边经过点P，cosα＝－，

∴α为第二象限角，

∴b>0，∴b＝3．

5．{－1，3}

解析　若x为第一象限角，则f(x)＝3；

若x为第二、三、四象限，则f(x)＝－1．

∴函数f(x)的值域为{－1，3}。

6．

解析　r＝，cos α＝，

由＝(x>0)，

解得x＝。

7．－2<a≤3

解析：　

∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，

∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2<a≤3．

8．负号

解析　

∵<2<π，∴sin 2>0，

∵<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<π，∴tan 4>0.

∴sin 2cos 3tan 4<0.

9．

解析　由任意角三角函数的定义，

tan θ＝＝＝＝－1．

∵sinπ>0，cosπ<0，

∴点P在第四象限。∴θ＝π。

10.2

解析：

∵y＝3x，sin α<0，

∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m。

∴OP＝＝|m|＝－m＝。

∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2．

11．解：

（1）

∵120°是第二象限角，

∴tan 120°<0.

∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0.

从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正。

（2）

∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0.

∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.

从而<0，∴式子符号为负。

（3）

∵是第三象限角，是第二象限角，是第四象限角，

∴sin<0，cos<0，tan<0，

从而sin ·cos ·tan <0，

∴式子符号为负。

12．解：　

sin α＝＝y。

当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.

当y≠0时，由＝，解得y＝±。

当y＝时，P，r＝。

∴cos α＝－，tan α＝－。

当y＝－时，P(－，－)，r＝，

∴cos α＝－，tan α＝。

13．③⑤

解析　

∵θ为第一象限角，

∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z。

∴kπ<<kπ＋，k∈Z，

4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z。sin 2θ>0.

当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)。

∴为第一象限角，

∴sin >0，cos >0，tan >0.

当k＝2n＋1 (n∈Z)时，

2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)。

∴为第三象限角，

∴sin <0，cos <0，tan >0，

从而tan >0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，

cos 2θ有可能取负值。

14．解：　

∵x＝－15a，y＝8a，

∴r＝＝17|a| (a≠0)。

（1）若a>0，则r＝17a，于是

sin α＝，cos α＝－，tan α＝－。

（2）若a<0，则r＝－17a，于是

sin α＝－，cos α＝，tan α＝－。

任意角的三角函数

【学习目标】

1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。

2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。

3．会用三角函数线比较三角函数值的大小。

【学习重难点】

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

【学习过程】

【第二课时】

知识梳理

1．三角函数的定义域

正弦函数y＝sin x的定义域是________；余弦函数y＝cos x的定义域是________；正切函数y＝tan x的定义域是________________。

2．三角函数线

如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点。过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点。单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________。

【达标检测】

一、填空题

1．

如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________。

①正弦线PM，正切线A′T′；②正弦线MP，正切线A′T′；③正弦线MP，正切线AT；④正弦线PM，正切线AT。

2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________。

3．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围为______。

4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是________(用“>”连接)。

5．集合A＝[0，2π]，B＝{α|sin α<cos α}，则A∩B＝________________。

6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是________。

7．如果<α<，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________。

8．不等式tan α＋>0的解集是______________。

9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β。

10.求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________。

二、解答题

11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合。

（1）sin α≥；　（2）cos α≤－。

12．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小。

能力提升

13．求下列函数的定义域。

f(x)＝＋ln。

14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？

当α∈时，求证：sin α<α<tan α。

【教学反思】

1．三角函数线的意义

三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便。

2．三角函数的画法

定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT。

注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒。

参考答案

知识梳理

1．R　R　{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}

2．MP　OM　AT　MP　OM　AT

达标检测

1．③

2．或

解析　角α终边落在直线y＝－x上。

3．

4．sin 1．5>sin 1．2>sin 1

解析　∵1，1．2，1．5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，

∴sin 1．5>sin 1．2>sin 1．

5．∪　6．∪

7．cos α<sin α<tan α

解析　

如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α。

8．

解析　不等式的解集如图所示(阴影部分)，

∴。

9．>

解析　作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β。

10.，k∈Z

解析　如图所示。

∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－<sin x<。

∴x∈∪ (k∈Z)。

即x∈ (k∈Z)。

11．解：（1）

图1

作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA．OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围。

故满足条件的角α的集合为

{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}。

（2）

图2

作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC．OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围。故满足条件的角α的集合为

{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}。

12．解　

∵θ是第二象限角，

∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，

故kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)。

作出所在范围如图所示。

当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos <sin <tan 。

当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，

sin <cos <tan 。

13．解　由题意，自变量x应满足不等式组

　即

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

∴。

14．证明　

如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α。

因为S△AOP＝OA·MP

＝sin α，

S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，

又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT，

所以sin α<α<tan α，

即sin α<α<tan α。