人教B版高中数学必修第三册第7章章末综合提升学案

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类型1　三角函数的定义高考对三角函数定义的考查主要是利用三角函数定义求三角函数值，利用三角函数线比较大小，判断三角函数的符号，利用三角函数线求定义域．既单独考查，也常与单位圆、实际问题、三角变换求值相结合考查．解决此类问题的关键是利用三角函数定义求出三角函数值，体现了直观想象核心素养．1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．【例1】　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________．－8　[r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(16＋y2)，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，所以sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以θ为第四象限角，解得y＝－8．] 类型2　同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq \f(sin α,cos α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．应用中，要注意掌握解题的技巧，体现了数学中的数学运算核心素养．诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．【例2】　已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)eq \f(cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋cos－π－θ)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)),1＋tanπ－θ)；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解]　由根与系数的关系得：sin θ＋cos θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sin θcos θ＝eq \f(m,2)．(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cos θ)＋eq \f(cos θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cos θ)＋eq \f(cos θ,1－\f(sin θ,cos θ))＝eq \f(sin2θ,sin θ－cos θ)－eq \f(cos2θ,sin θ－cos θ)＝sin θ＋cos θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)．(2)由sin θ＋cos θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝eq \f(4＋2\r(3),4)，1＋2×eq \f(m,2)＝1＋eq \f(\r(3),2)，所以m＝eq \f(\r(3),2)．(3)由m＝eq \f(\r(3),2)可解方程：2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，得两根eq \f(1,2)和eq \f(\r(3),2)．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(1,2)，,cos θ＝\f(\r(3),2)，)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cos θ＝\f(1,2)．))因为θ∈(0,2π)，所以θ＝eq \f(π,6)或eq \f(π,3)． 类型3　三角函数的性质重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧，体现了逻辑推理的核心素养．【例3】　已知函数f(x) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x) 的单调区间；(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x) 的最大值为4，求a的值；(3)求f(x) 取最大值时x的取值集合．[解]　(1)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，所以函数f(x) 的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．(2)因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，所以－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1，所以f(x) 的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1．(3)当f(x) 取最大值时，2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，所以x＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，所以当f(x) 取最大值时，x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))． 类型4　三角函数模型的应用在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．这一问题充分体现了数学建模的数学核心素养．【例4】　已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f (t)，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y＝f (t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b．(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？[解]　(1)由表中数据知周期T＝12，所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6)，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5．由t＝6，y＝0.5，得－A＋b＝0.5．所以A＝0.5，b＝1，所以y＝eq \f(1,2)cos eq \f(π,6)t＋1．(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，所以eq \f(1,2)cos eq \f(π,6)t＋1>1，所以cos eq \f(π,6)t>0，所以2kπ－eq \f(π,2)<eq \f(π,6)t<2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即12k－3