人教版（B版2019课标）高中数学必修三7.2任意角的三角函数 学案

任意角的三角函数

【学习目标】

1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。

2．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

【学习重难点】

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。

难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。

【学习过程】

一、提出问题

问题1：在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？

问题2：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

问题3：如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

问题4：你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化？

二、新课导学

1．单位圆的概念：

在直角坐标系中，我们称以          为圆心，以           为半径的圆为单位圆。

2．三角函数的概念

我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数。

图2

如图2所示，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；

（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）。

所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

注意：

（1）正弦、余弦、正切、都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。

（2）sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的。

（3）由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变。

3．例1：已知角α的终边与单位圆的交点是            求角α的正弦、余弦和正切值。

练习1：已知角α的终边经过点            ，求角α正弦、余弦和正切值。

例2：求      的正弦、余弦和正切值。

练习2：用三角函数的定义求     的三个三角函数值

4． 探究 三角函数的定义域

5．例题讲解

例3．已知角的终边经过点P（-3，-4），求角的正弦、余弦和正切值 。

练习3．已知角的终边过点P（-12，5） ，求的正弦、余弦和正切三个三角函数值。

例4．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角。反之也对。

变式训练

（1）已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是（    ）

A．第一或第二象限角                 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角                 D．第一或第四象限角