【二轮复习】高考数学 题型13 6类解三角形公式定理（解题技巧）.zip

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技法01 海伦公式的应用及解题技巧
海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材料题在高考及模考中出现，需加以练习.
知识迁移
海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为
其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（ ）．
A．B．C．10D．12
【答案】D
【分析】根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.
【详解】依题意，，则，
所以，，
所以的面积最大值是12.
故选：D
2．（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】C
【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
【详解】∵，∴，
∵周长为，即，
∴，∴，
∴的面积．
故选：C．
3．（2023·海南·校联考模拟预测）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（ ）
A．角A，B，C构成等差数列B．的周长为36
C．的内切圆面积为D．边上的中线长度为
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理和余弦定理可知，满足，即A正确；根据海伦公式可得，所以周长为，故B错误；由等面积法可知内切圆的半径，可知C正确，由利用余弦定理可得边上的中线长度为，即D正确.
【详解】对于A，由正弦定理可知，
设，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C构成等差数列，故A正确；
对于B，根据海伦公式得，，得，
所以，，，所以的周长为，故B错误；
对于C，设内切圆的半径为r，则，得，
所以的内切圆面积为，故C正确；
对于D，设的中点为，则，
在中，，故D正确．
故选：ACD
技法02 射影定理的应用及解题技巧
三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习
知识迁移
射影定理，，
例2．（全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则 ．
在△ABC中，acsC＋ccsA＝b，∴条件等式变为2bcsB＝b，∴csB＝.
又0