【二轮复习】高考数学 题型25 8类排列组合与4类二项式定理（解题技巧）.zip

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排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习.
知识迁移 求解排列应用问题方法汇总
例1-1．（2023春·重庆·高三校考）有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．108种
不同排法种数为种
例1-2．（2023秋·黑龙江·高三校考）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12B．36C．48D．72
先排丙、丁、戊三人，共有种排法，甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，共有种排法，故排法种数为．
例1-3．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（ ）
A．360B．720C．1080D．2160
第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法，
第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法，
第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为，
例1-4．（2023春·广东·高三统考阶段练习）2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（ ）
A．8B．18C．19D．24
不同选法种数为.
例1-5．（2023·甘肃·高三校联考阶段练习）某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（ ）
A．126种B．84种C．72种D．48种
将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，所以不同的分配方案有种.
例1-6．（2023·浙江·高三统考）将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有( )
A．B．C．D．
将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，甲、乙、丙的排列为种，
因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种．
例1-7．（2023·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有 种不同的分堆方法.
6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
例1-8．（2022·安徽·高三校考）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．1512种B．1346种C．912种D．756种
1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．
2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．
故不同的涂色方法共有756种．
1．（2023·全国·高三专题练习）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．72种B．81种C．144种D．192种
【答案】D
【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.
【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，
由间接法可知，满足条件的排法种数为种.
故选：D.
2．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144B．864C．1728D．2880
【答案】C
【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.
【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，
最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，
则所有不同站法的种数为．
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，
则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，
余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；
②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，
编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，
余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
故选：D.
4．（2023·江苏·高三校考）某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（ ）
A．192种B．120种C．96种D．24种
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用排除法、组合应用问题列式计算作答.
【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，
所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）.
故选：C
5．（2023·河北·高三校考阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.
【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选：B.
【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．（2023·全国·高三专题练习）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
【答案】A
【分析】利用间接法和缩倍法求解.
【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，
如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.
故选：A.
7．（2023·福建·高三校考阶段练习）为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（ ）种．
A．66B．72C．85D．96
【答案】B
【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教研员去同一所高中的情况.
【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有种安排方法，
若甲、乙两位教研员去同一所高中则有种安排方法，
综上可得不同的调研安排方案有种.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为 .
【答案】240
【分析】将甲、乙视为一个整体，根据圆排列的方法确定其排列数，再排甲、乙即可.
【详解】将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，
甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72B．96C．108D．144
【答案】B
【详解】设四种颜料为，
①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；
②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；
③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；
④若区域A填涂颜色2，则区域D、F填涂颜色1，4，或4，3，
若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，
综合①②③④，由分步计数原理可得，共有种不同的填涂法．故选B．
10．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）

A．120B．180C．221D．300
【答案】B
【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解.
【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，
Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，
Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法，
综上共有种不同的着色方法.
故选：B.
技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧
二项式定理是新高考卷的常考内容，一般会和项、系数、三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查，需重点复习.
知识迁移
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq \\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．
二项式系数的性质
二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝.
例2-1．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，第四项为（ ）
A．160B．C．D．
在的展开式中，第四项为.
例2-2．（山东·统考高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
第项的二项式系数为，
例2-3．（2023·北京·统考高考真题）的展开式中的系数为（ ）．
A．B．C．40D．80
的展开式的通项为
令得，所以的展开式中的系数为
例2-4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．10C．D．30
【详解】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含的项为，
故展开式中的系数为.
例2-5．（全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
1．（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式的常数项为第_____项
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【详解】试题分析：由二项式定理可知,展开式的常数项是使的项,解得为第19项,答案选C.
考点：二项式定理
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则 .
【答案】5
【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果.
【详解】依题意可得，得，即.
故答案为：.
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则
又因为的展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的项的系数为．
故选：B.
4．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1680B．210C．－210D．－1680
【答案】A
【分析】相当于在7个因式中有3个因式选，余下的4个因式中有2个因式选，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可.
【详解】相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，
余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，
最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，
而，所以项的系数为.
故答案为：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq \\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法种eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
间接法
正难则反、等价转化的方法
分组分配
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法
将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题
(1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为
(2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为
(3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性
当k＜eq \f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；
当k＞eq \f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n是偶数时，中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；
当n是奇数时，中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或