【二轮复习】高考数学 题型19 10类球体的外接及内切（解题技巧）.zip

这是一份【二轮复习】高考数学 题型19 10类球体的外接及内切（解题技巧）.zip，文件包含二轮复习高考数学题型1910类球体的外接及内切解题技巧原卷版docx、二轮复习高考数学题型1910类球体的外接及内切解题技巧解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧
技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧
技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧
技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧
技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧
技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧
对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练.
知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝eq \f(4,3)πR3
底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
正棱锥类型 h-R2+r2=R2, 解出 R
例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，
所以，这个球的表面积为.
例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
球的直径是长方体的体对角线，所以，
解得，所以球的表面积为：
例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，
在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积
1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A．3a2B．6a2C．12a2D．24a2
3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．B．C．D．
4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 .
6．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ．
8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
技法02 墙角问题的应用及解题技巧
墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可用公式快速求解.
知识迁移 墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为
A．B．C．D．
由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积
1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国阶段练习）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧
对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.
知识迁移
推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体, 补全的长方体体对角线为外接球直径, 设长方体的长宽高为别为 a,b,c
AD=BCAB=CDAC=BD⇒a2+b2=BC2=λ2b2+c2=AC2=μ2c2+a2=AB2=k2⇒a2+b2+c2=λ2+μ2+k22⇒R=λ2+μ2+k28VA-BCD=abc-16abc×4=13abc
或者
例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
，则 故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧
侧棱垂直底面问题可直接补形为直棱柱，进而用公式直接计算，可快速求解.
知识迁移侧棱垂直与底面-垂面型
R=r2+h22
例4-1．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
先计算底面截面圆半径,由R=r2+h22=2，表面积
例4-2．（辽宁·高考真题）已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于
A．4B．3C．2D．
球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为，所以
1．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2023·四川·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧
侧面垂直于底面是切接问题中相对较难的模型，需要先确定球心位置，然后求出半径即可求解，需重点强化练习.
知识迁移 侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 PAC⊥ 平面 BAC,AB⊥BC ( AC 为小圆直径)
（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;
（2）在△PAC中,可根据正弦定理asinA=2R,解出R
如图：:平面PAC⊥平面BAC,PA=PC,AB⊥AC
（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;
（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h
（3）勾股定理:OH2+AH2=OA2
⇒h-R2+r2=R2，解出R
例5-1．（江西·高考真题）矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
如图：
矩形中，因为，所以，
设交于，则是和的外心，
所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，
所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积.
例5-2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
由可知，，，可求，，，
因为平面平面ABEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC为外接球直径，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面积为．
1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西九江·统考一模）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧
本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习.
知识迁移 基本原理
如下图, 所示为四面体 P-ABC, 已知二面角 P-AB-C 大小为 α, 其外接球问题的步骤如下:
(1) 找出 △PAB 和 △ABC 的外接圆圆心, 分别记为 O1 和 O2.
(2) 分别过 O1 和 O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂线, 其交点为球心, 记为 O.
(3) 过 O1 作 AB 的垂线, 垂足记为 D, 连接 O2D, 则 O2D⊥AB.
(4) 在四棱雉 A-DO1OO2 中, AD 垂直于平面 DO1OO2, 如图所示, 底面四边形 DO1OO2 的四个顶点共圆且 OD 为该圆的直径.
如图, 设 O1、O2 为面 PAB 与面 CAB 的外接圆圆心, 其半径分别为 r1、r2, 两相交面的二面角 P-AB-C 记为 α, 公共弦为 AB 的弦长为, 四面体 P-ABC 球 O 的半径 R.两圆 O1、O2 的弦心距: DO12=r12-l2,DO22=r22-l2;
两圆 O1、O2 的圆心距: O1O2​2=DO12+DO22-2DO1MO2⋅csα, 由于四边形 DO1OO2 的四个顶点共圆且 OD 为该圆的直径, 而 sinα=1-cs2α, 则由正弦定理: DO=O1O2sinα,于是外接球 O 的半径 ROA2=DO2+l2 可得，进一步整理：
R2=r12+r22-2l2-2r12-l2r22-l2⋅csαsin2α+l2
特别地, 当 α=π2 时, 代入 R2=r12+r22-2l2-2r12-l2r22-l2⋅csαsin2α+l2 可得:
R2=r12+r22-l2
例6-1．（2023·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．60πB．45πC．30πD．20π
BD=2l=6⇒l=3, 面 BCD, 面 PCD 的外接圆半径分别为 r1,r2, 则 r1=r2=23, 代入公式: R2=r12+r22-l2, 可得: R2=15, 故外接球的表面积为 4πR2=60π
例6-2．（2023上·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
由于设 r1,r2 分别为面 ABC, 面 ABD 的外接圆半径, 则 R=5,r1=1,r2=2,l=2, 代入: R2=r12+r22-2l2-2r12-l2r22-l2⋅csαsin2α+l2, 可得: ∠OEF=30∘, 故平面 CAB 与平面 DAB 的夹角为 60∘, 故其余弦值为 12.
1．（2023上·浙江杭州·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧
数学文化与球体综合是高考中的常考考点，从数学文化切入一方面弘扬古代数学思想，另一方面要建立数学模型，提炼解题突破口，题型难度不一，需重点强化练习
例7-1．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
设的外接球半径为r，
则的外接球的体积为．．
又阳马的体积为，
所以阳马体积的最大值为．
例7-2．（2023·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
如图，连接AC，BD，设，
因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，
则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．
连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，
连接EP，FQ，在与中，易知，
所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．
设，球O的半径为R，连接OE，OA，
当O在线段上时，由球的性质可知，
易得，则，此时无解．
当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，
，解得，所以，
所以球O的表面积，
1．（2023·全国·模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 ．

2．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.
（注：图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑）
上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2023·山东日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为 .

技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧
最值与球体综合是本节内容中难度较大的知识点，也是高考中的难点，需要同学们多总结类型题，需重点强化练习
例8-1．（全国·高考真题）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为
例8-2．（2023·云南·统考模拟预测），，，在同一个球面上，是边长为6的等边三角形；三棱锥的体积最大值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
如图，三角形ABC的中心为M，球心为O，当时，三棱锥体积最大，，设，
则，，外接圆体积为
1．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，.若四棱锥的外接球的体积为，设是该球上的一动点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，分别为，，，的中点，为上一点，，当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
技法09 内切球综合的应用及解题技巧
内切球综合的应用在于命题载体的特殊性，特殊几何体较为简单，非特殊几何体可以用万能公式求解
知识迁移 内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为r,建立等式:VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC
⇒VP-ABC=13SABC+SPAB+SPAC+SPBC⋅r;
（3）解出r=3VP-ABCSABC+SPAB+SPAC+SPBC
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
例9-1．（全国·高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A．B．C．D．
【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径
例9-2．（2023·浙江台州·统考模拟预测）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，
所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，
设等边三角形的内切圆半径为，
则，解得，
所以内切球的半径为，其表面积为.
1．（2023·广东·统考模拟预测）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知四面体，且，，面面，则四面体的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧
球心不确定类型是本节内容中方法论最少的类型，需要从试题中去总结命题特点，难度最大，需重点强化复习
例10．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，
取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线.
因为，平面，所以平面，
所以平面，平面，，，平面，
所以平面，所以，所以，易得，
所以由正弦定理得的外接圆半径为，即.
过作平面，且，连接，由平面，
可知，则四边形为矩形，所以，则平面.
根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心，
因为，所以四棱锥的外接球的表面积为.

1．（2023·甘肃·模拟预测）如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．C．D．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（ ）

A．64B．C．D．
3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．