【二轮复习】高考数学 题型16 11类数列通项公式构造（解题技巧）.zip

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技法01 用与关系求通项公式的解题技巧
用与关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可.
知识迁移
例1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系得到为等比数列求解即可;
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，
所以，
即，
又因为，满足上式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）因为，
所以.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系分析可得数列是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为，可得，
两式相减得，
整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则
，
所以．
3．（2023·广东·统考二模）记数列的前n项和为，已知，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若，，，求.
【答案】(1)
(2)-36672
【分析】（1）利用得到数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解；
（2）求出，然后利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）因为，则当时，，
两式相减可得，则，
且当时，，解得，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，
即；
（2）因为，
则
.
技法02 已知用累加法求通项公式的解题技巧
累加法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累加的类型，需强化练习.
知识迁移
例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{}中，，，求通项公式．
原递推式可化为，则，
，…，，逐项相加，得，故．
1．（2023上·江苏·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】.
【分析】得到，利用累加法求出通项公式.
【详解】由得，
则
2．（2023·江苏南京·校考二模）已知数列的前项和为，满足.
(1)求的值，并求数列的通项公式.
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据递推公式分别计算的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式；
（2）错位相减法求和.
【详解】（1），
当时，；当时，，
，
，
，
又
（2）由（1）得，
，
，
，
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当时，
则，当且仅当时等号成立，
，
由累乘法可得，且，
则，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
技巧技法03 已知用累乘法求通项公式的解题技巧
累乘法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累乘的类型，需强化练习.
知识迁移
例3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用累乘法计算；
（2）运用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意： ，
，
，
，将代入上式也成立， ；
（2） ，
.
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：由已知等式变形可得，计算出的值，再利用累乘法可求得数列的通项公式；
解法二：由已知条件计算出的值，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出，进而可证得结论成立.
【详解】（1）解：解法一：由题①，，即②，由①②得，
由得，
所以当时，，
也满足，
所以数列的通项公式为；
解法二：由题，①，，即②，由①②得，
由，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，
所以数列的通项公式为．
（2）证明：由（1）知，
所以，
两式作差得，
所以.
3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题，利用累乘法即可求解，进而可得，进而可证等差；
（2）由（1）得，由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由题可得，
所以当时，
，
易知满足，所以.
所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以
.
所以.
技法04 已知用求通项公式的解题技巧
已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解，是高考的常考题型，需强化练习
知识迁移
例4．
1．（2023·湖南张家界·统考二模）数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
，即.
（2）由（1）可知，，所以，
又由题知
.
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列中，，且，为其前项的和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的最小正整数的值；
(3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)14
(3)
【分析】（1）构造等比数列的形式即可求解；
（2）数列分组求和后代入已知条件即可求解；
（3）恒成立转化为最值即可求解
【详解】（1）因为，所以，所以
而，所以是以3为首项，为公比的等比数列；
所以，则.
（2），
所以，
由得，则，所以的最小值为14.
（3）恒成立，所以，
因为，而，
所以，所以，
由得，所以，则有，
所以，解得，
因为，所以解得.
【点睛】注意构造新数列，分组求和，并将恒成立转化为最值问题.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得;
（2）根据裂项求和法可求出结果.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）,
所以
.
4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
5．（2023·贵州遵义·统考三模）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）已知与的关系求解，然后证明即可；
（2）由（1）求出，进而由裂项相消法求出数列的前项和，求解不等式即可.
【详解】（1）当时，，解得：.
当时，，
所以，即，
所以
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以，.
.
所以时，即，所以，所以的最大值为.
技法05 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项，可以套模板来灵活解题，其本质是待定系数，需强化练习.
例5．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
（1）因为，
所以，又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即；
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简得，即可证明；
（2）应用错位相减法即可求解.
【详解】（1）令，得，则．
因为①，所以②．
①-②得，即．
因为，所以数列为常数列．
（2）由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，
所以．
因为，所以③，
④．
③-④得
，
所以．
2．（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）在数列中，，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得，即可得到证明；（2）由（1）的等比数列可得通项公式；（3）由错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：由于，所以，
又，所以.
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，所以.
（3）由题得，
所以，①
则，②
由①-②得，.
所以.
技法06 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例6．（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为
(1)试求数列的通项公式；
(2)求.
（1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即，
由等差数列的定义可知是以首项为、公差为的等差数列，
所以，即.
1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
2．（2022下·全国·高三校联考开学考试）已知数列中，，，.
(1)设，求证是等差数列；
(2)求的通项.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）式子变形后，可知是首项，公差为1的等差数列.
（2）利用累加法和错位相减法即可得出结论.
【详解】（1）解：由已知可得：
即
即，
所以是首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知
则
得到
①，
②
，得.
技法07 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是待定系数法，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例7．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)数列满足，求数列的前项和.
（1），．
已知，，得，可得，
数列为以2为首项，以2为公比的等比数列
1．（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）已知数列满足，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等比数列定义推理即得.
（2）利用（1）的结论结合等比数列通项公式，再利用累加法求解即得.
【详解】（1）数列中，，则，
由，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
当时，，满足上式，
所以数列的通项公式是.
2．（2023下·吉林白城·高二校考阶段练习）已知数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)设为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造新数列，利用累和法、等比数列前n项和公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】（1），
设，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当时，
，显然也适合，
故；
（2）由（1）可知，
，
，
所以有，
两式相减得
，由，
显然函数是正整数集上的增函数，当时，该函数有最小值，最小值为，所以有，
因此
3．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知数列满足，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列定义证明为等比数列，得到，再证明为等比数列，进而可求得；
（2）在第一问的基础上，分为奇数和为偶数两种情况，利用作差法得到的单调性，进而列出不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）∵，则，且，
故数列是首项为，公比为3为等比数列，
∴，则，
可得，且，
故数列首项为，公比为的等比数列，
∴，故.
（2）由（1）可得：，即，
故对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，
设，则当时恒成立，
故数列是递增数列，
当为奇数时，则对任意的恒成立，，可得，解得；
当为偶数时，则对任意的恒成立，，可得，解得；
综上所述：实数的取值范围.
4．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知数列满足，，对任意的时，都有成立.
(1)令，，求证：，都是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由已知变形可得，代入，即可得出；由已知变形可得，代入，即可得出；
（2）由（1）知，，.作差即可得出.
【详解】（1）证明：因为，
故.
又，则，
所以.
又，
所以对任意的时，，
故是以为首项，公比为3的等比数列；
又因为，所以.
又，则，
所以.
又，
所以对任意的时，，
故是以为首项，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知，，.
即，，
两式作差可得，
整理可得.
技法08 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是除以，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例8．（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
（1）因为，，所以，
所以.
所以，
所以为等差数列，首项为，公差，
所以，
所以
1．（2023·河南安阳·统考三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知转化为，得出数列是等差数列，求出，继而得出答案.
(2)由(1)得出，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由，得，且，
所以，所以.
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，
故.
（2）由题知，，
所以
2．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义可得为公差为1的等差数列，即可求解，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由以及可得，
所以，，故为公差为1的等差数列，
所以，所以，
（2），
所以
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求k的最小值．
【答案】(1)，
(2)17
【分析】（1）通过变形得，则数列是以1为首项，3为公差的等差数列，则得到其通项.
（2），再通过裂项法得到的最小值.
【详解】（1）∵，，∴，，
又，∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，则，．
（2）由（1）知，
∴．
由得，解得，又，∴k的最小值为17．
技法09 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是取到数，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，求.
（1）由，可得.
因为，所以.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，即.
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析
(2)99
【分析】（1）由已知得再由等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出，再由等比数列的求和公式可得，令，根据的单调性可得答案.
【详解】（1），，
，，
是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）：，，
，
令，
因为在单调递增，
所以在单调递增，
单调递增，，
可得，所以满足条件的最大整数为.
2．（2023·山东·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）变形，是以为首项，1为公差的等差数列，即可求解；
（2）根据题意解得，，由此证明.
【详解】（1），又，
是以为首项，1为公差的等差数列，
.
（2）由（1），，
，
，
.
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
技法10 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是取对数，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例10．
1．（2023·浙江宁波·浙江省宁波市鄞州中学校考模拟预测）数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．存在正整数，使得B．存在正整数，使得
C．对任意正整数，都有D．数列单调递增
【答案】C
【分析】由，可判断A，由，得，两边取对数可得，从而可判断B，C,进一步可得，从而数列单调递减，可判断D.
【详解】数列满足.
，所以A不正确.
由，得
两边取以2为底的对数，可得
所以数列是等比数列，且
则，所以，即
当时，，，所以，即,所以B不正确.
所以，则数列单调递减. 所以D不正确.
故选:C.
【点睛】本题考查数列的递推关系，单调性，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.
【详解】∵，，∴.
在式两边取常用对数得，①
设，②
将①代入②整理得，
两边消去并整理，得，
则，故，
代入②式，得，③
由及③式，
得，则，
∴数列是以为首项，以5为公比的等比数列，
则，
因此
，
则.
【点睛】关键点点睛：对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，要注意对递推式等价变形.
3．（江西抚州·高一统考期中）已知，点在函数的图像上，其中.
（1）求的值；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．
【详解】试题分析：（1）将点代入函数中，可得递推公式，结合便可求得；（2）将代入比式中可求得为定值，且，所以等比数列，由首项及公比可求得通项，从而求得的通项公式；（3）对的递推公式进行变形整理可求得代入便可求得，从而可求得，便可得到的值．
试题解析：（1）
（2），所以是首项为，公比为2的等比数列，，
（3），
，
考点：递推公式的运用，等比数列的证明，数列的通项及前项和.
【方法点睛】先由点在函数图像上，可得出数列的递推公式，再结合首项便可逐一求得前几项；对于等比数列的证明，要注意等比数列必须满足，所以先要求得公比，其次求首项，均不能为，并能求得通项，同时也可求得数列的通项，然后在代入新的数列中，进行化简整理便可得到通项从而利用倒序，错位，拆项，分组等方法求得前项和．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.
【详解】∵，，∴.
在式两边取常用对数得，①
设，②
将①代入②整理得，
两边消去并整理，得，
则，故，
代入②式，得，③
由及③式，
得，则，
∴数列是以为首项，以5为公比的等比数列，
则，
因此
，
则.
【点睛】关键点点睛：对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，要注意对递推式等价变形.
技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧
构造常数列的题在近年模拟题中越来越多，也是考向标的一种风向，能替代部分累加累乘，能做到快速求解.
例11．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
（1）由，得当时，，两式相减得：，
从而，即数列是常数列，因此，
所以数列的通项公式是.
1．（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义和增位相减以及累乘法即可求解；（2）根据等比数列求和和二项式定理即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
即①，
所以②，
由②－①可得，
即，
所以.
（2）由（1）可得，
则，
所以，
所以
所以除以3的余数为2.
2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知数列递推式可得时的递推式，两式相减可得，结合首项即可求得答案；
（2）结合（1）的结论可得的通项公式，利用错位相减法即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，①
得，②
②式－①式，得，
化简得，即有，
则时，，即，
当时，满足该式，
所以，的通项公式．
（2）由，得，则，
所以，③
则有，④
③式－④式，得
，
所以．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以.