【二轮复习】高考数学 题型21 3类对称与4类切线（解题技巧）.zip

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技法01 点对称问题解题技巧
合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习.
知识迁移 点 x,y 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标x−2AAx+By+CA2+B2,y−2BAx+By+CA2+B2.
例1．点关于直线的对称点的坐标是 ．
直线中，,所以，所以，
答案为：.
1．（2024上·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.
【详解】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，
故选：C.
2．（2024上·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.
【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直，
结合的斜率为1，得直线的斜率为-1，
所以，化简得，①
再由的中点在直线上，，化简得，②
联立①②，可得，所以对称点的坐标为.
故选：A.
3．（2023上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】首先化简直线方程，求出定点的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解.
【详解】由直线化为，
令，解得，于是此直线恒过点．
设点P关于直线的对称点为，
则，解得，∴．
故答案为：
技法02 直线对称问题解题技巧
直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习
例2．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A．B．
C．D．
【法一】x的y系数绝对值为1:1型，可反解，，代入，即.
【法二】转化为例1，先求交点坐标，再线任取异于交点的坐标，用公式求出对称点坐标，再求出直线方程
【法三】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，代入，得：，所以直线的方程为.
1．（2022上·江苏南京·高二统考期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，再求出直线与直线的夹角，再根据对称性即可得出答案.
【详解】解：直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
则直线与直线的夹角为
设直线与直线的夹角为，则，
所以直线的倾斜角为.
故选：B.
2．（2022上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）直线关于直线的对称直线的方程为 .
【答案】
【分析】设出为所求直线上一点，找出其关于的对称点，代入直线即可求出.
【详解】设为所求直线上一点，它关于的对称点为，
则可得，
由题可得在直线上，
所以，整理可得所求的对称直线方程为.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
技法03 圆对称问题解题技巧
圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式求解即可.
例3．（2023下·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，用例1公式求解，解得，所以圆的标准方程为.
1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程.
【详解】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等，
因为圆，即，
所以圆心，半径为，
设圆关于直线对称点为，
则，解得，即，
所以圆的方程为，即.
故选：A.
2．（2023上·四川成都·高二期末）圆关于直线对称后的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果.
【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
所以，解得：，
所以所求圆的圆心为，半径为,
故所求圆的方程为：.
故选：A.
3．（2023上·河北·高二校联考期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.
【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，
直线的斜率.
由圆与圆关于对称，得的斜率.
因为的中点在上，所以，即.
故选：C.
技法04 圆中的切线问题解题技巧
圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
例4-1．（2023·北京·统考模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ．
代入求解即可，答案为：
例4-2．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
代入求解即可，答案为：
例4-3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为，代入求解即可
答案为:
1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】设圆的一般方程为，
由题意可得，解得，
所以，圆的方程为，圆心为，
直线的斜率为，
因此，圆在点处的切线方程为，即.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中学校考模拟预测）过点与圆相切的直线是 ．
【答案】
【分析】由点在圆上，可得切线的斜率为圆心与点连线斜率的负倒数，从而根据点斜式即可求解.
【详解】解：由题意，因为，所以点在圆上，
所以过点与圆相切的直线的斜率，
所以切线方程为，即，
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
技法05 椭圆中的切线问题解题技巧
椭圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2+yy0b2=1
设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1
例5．（2022上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期末）设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 .
代入切线方程为:xx0a2+yy0b2=1，求解即可，答案为：
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.
【详解】∵椭圆，
∴y>0时，，∴，
∴x＝1时，，即切线斜率，
∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，
即．
故答案为：．
2．（2023下·天津·模拟）圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.
【详解】在点处的切线方程为，
类比得到在点处的切线方程为，
故椭圆在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆在点处的切线方程为 类似地,可以求得椭圆在点(4,2)处的切线方程为
【答案】
【分析】把写成，切线方程写成，根据圆方程与其切线方程的结构形式可以得到椭圆相应的切线方程.
【详解】圆的方程可写成,圆在点处的切线方程为,类似地,因椭圆方程为：，故椭圆在点处的切线方程为即，
故答案为：.
技法06 双曲线中的切线问题解题技巧
双曲线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2−yy0b2=1
过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为xx0a2−yy0b2=1
例6．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
代入切点弦方程为xx0a2−yy0b2=1求解即可，答案为：
1．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
【答案】
【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程
【详解】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，消去可得：，
整理可得：，
因为与双曲线相切，
所以，
，
即，
，代入可得：，即，
所以，
即，
同理，切线的方程为，
在切线上，所以有，
满足直线方程，而两点唯一确定一条直线，
直线AB的方程为
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
【答案】.
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.
【详解】由可得，
根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，
∴曲线在点P处的切线斜率为
∴曲线在点P处的切线方程为
化简得
∴双曲线C在点P处的切线的方程为．
技法07 抛物线中的切线问题解题技巧
抛物线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0=px+x0
设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:yy0=px+x0
例7．（2023·高三阶段练习）抛物线在处的切线方程为 ．
代入切线方程为yy0=px+x0，求解即可，答案为：
1．（2023·高三阶段练习）抛物线在点处的切线方程为 ．
【答案】/y＝2x－2
【分析】利用导数的几何意义即可求解.
【详解】，，
∴在（1,0）处切线为：，即.
故答案为：.
2．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【分析】由，消去得，由求出，从而求得准线方程．
【详解】由，消去得，
由题意，解得，
则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，即．
故答案为：．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．
设．由，求导得，
则直线，直线．
由解得所以，
又在直线上，得．
所以
．
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.