【二轮复习】高考数学 题型07 3类导数综合问题（解题技巧）.zip

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技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧
技法02 函数凹凸性解题技巧
技法03 洛必达法则解题技巧
技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧
导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:
①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值;
②直接（或移项转化）求导＋分类讨论.
但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，抑或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。
基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.
知识迁移
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【法一】端点效应一
令 ，得 ，且 在 上恒成立
画出草图
根据端点效应, 需要满足 ，而
则 , 令 , 得
当 时, 由于 , 只需证 即可，而 含有参数 , 故可对 进行放缩
即
令 , 其中 ，设 ，则
令 ，则 , 故 在 上递减, 得
则 , 得 在 上单调递增, 则 ，即 , 满足 成立
当 时，，故存在 , 使得在 上 ,
所以 在 上单调递增, 则 , 不成立，特上所述: .
【法二】【法三】见解析版
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
技法02 函数凹凸性解题技巧
函数凹凸性是函数的一种特殊特征,近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜,这些试题情景新颖,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,常作为压轴题出现.虽然在高中课本中没有这方面的内容,但高中教师若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识,可以“登高望远”,便于找到问题的本质内涵,确定解题方向,寻找简捷的解题途径.
知识迁移
凹函数：对于某区间内 , 都有 .
凸函数：对于某区间内 , 都有 .
例2-1．在 中, 求 的最大值.
因为函数 在区间 上是上凸函数, 则
即 , 当且仅当 时, 即 时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在 中,
例2-2（2021·黑龙江模拟）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
因为，
所以，
，
因为在上为“凸函数”，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
令，则，
因为，所以在单调递增，
所以，
所以，
【答案】C
1．（全国·高考真题）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
3．（陕西·高考真题）已知函数.
(1)若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(2)设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(3)设a