2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习03（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习03（含答案），共23页。试卷主要包含了∴∠OPA+∠CPQ1=90°等内容，欢迎下载使用。
(1)求抛物线的解析式及点C坐标；
(2)如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q(﹣4，0)作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM＋QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
(3)如图3，长度为eq \r(5)的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上)，连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(﹣3，﹣7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点)，是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
如图，抛物线y=ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D.点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s).
(1)当x= 时，PQ⊥AC，x= 时，PQ⊥AB；
(2)设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为 ；
(3)当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵OB＝3OA＝3，
∴B(3，0)，A(﹣1，0)，
将(3，0)，(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得
，解得，
∴y＝﹣x2＋2x＋3，
将x＝0代入y＝﹣x2＋2x＋3得y＝3，
∴点C坐标为(0，3)．
(2)设直线BC解析式为y＝kx＋b，将(3，0)，(0，3)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣x＋3，
作PF⊥x轴交BC于点F，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE，
设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则点F坐标为(m，﹣m＋3)．
∴PF＝PE＝﹣m2＋2m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∴m＝eq \f(3,2)时，PE的最大值为eq \f(9,4)，此时点P坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))．
(3)①如图，PM＝CM，
设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则M(m，﹣m＋3)，由(2)得PM＝﹣m2＋3m，
∵点C坐标为(0，3)，
∴CM＝＝eq \r(2)m，
∴﹣m2＋3m＝eq \r(2)m，解得m＝0(舍)或m＝3﹣eq \r(2)，
∴GC＝CM＝3eq \r(2)﹣2，
∴OG＝OC＋CG＝3＋3eq \r(2)﹣2＝3eq \r(2)＋1，
∴点G坐标为(0，3eq \r(2)＋1)．
②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形，
∵PM＝﹣m2＋3m，点C坐标为(0，3)，
∴点G坐标为(0，m2﹣3m＋3)，作GN⊥PM，
∵∠CBO＝45°，
∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，
∴GN＝PN，即m＝﹣m2＋2m＋3﹣(m2﹣3m＋3)，解得m＝0(舍)或m＝2，
∴点G坐标为(0，1)．
③如图，PM＝CM，
由①可得m2﹣3m＝eq \r(2)m，解得m＝3＋eq \r(2)，
∴PM＝CG＝CM＝3eq \r(2)＋2，
∴点G坐标为(0，1﹣3eq \r(2))．
综上所述，点G坐标为(0，3eq \r(2)＋1)或(0，1)或(0，1﹣3eq \r(2))．
解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋3中，
则，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x＋3；
(2)假设存在这样的点N，设直线MC与x轴交于点D，直线MN与x轴交于点E，如图：
∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，
∴M(2，﹣1)
令x＝0，则y＝3，
∴C(0，3)，
设直线MC的解析式为y＝kx＋m，
则，解得：，
∴直线MC的解析式为y＝﹣2x＋3，
令y＝0，则﹣2x＋3＝0，解得x＝eq \f(3,2)，
∴点D坐标为(eq \f(3,2)，0)，
∴S△MAC＝eq \f(1,2)(xD﹣xA)(yC﹣yM)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×4＝1，
S△MBN＝eq \f(1,2)|xE﹣xB|×(yN﹣yM)＝eq \f(1,2)|xE﹣3|×4＝2|xE﹣3|，
∵S△MBN＝2S△MAC，
∴2|xE﹣3|＝2，解得：xE＝4或xE＝2，
∴点E的坐标为(4，0)或(2，0)，①当M为(2，﹣1)，E为(2，0)时，直线MN的表达式为：x＝2，
∴点N的坐标为(2，3)，
②当M为(2，﹣1)，E为(4，0)时，
设直线MN的表达式为y＝nx＋g，
则，解得：，
∴直线MN的表达式为y＝x﹣2，
联立，得，
∴点N的坐标为(10，3)，
∴点N的坐标为(2，3)或(10，3)；
(3)如图所示，将CP绕点C顺时针旋转45°交原抛物线于点P′，
∵CP′与x轴的夹角为45°，
∴CP′与直线y＝x平行，则lCP′：y＝x＋3，
联立，解得，
∴P′(5，8)，
∴CP′＝5eq \r(2)，
∴CP＝5eq \r(2)，
∴点P坐标为(0，3＋5eq \r(2))．
解：(1)将点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)代入y＝ax2＋bx，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x；
(2)4QM＋QN的值为定值，设P(t，eq \f(1,2)t2＋eq \f(5,2)t)，﹣5＜t＜0，
设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)tx＋eq \f(5,2)t，
设直线PO的解析式为y＝k'x，∴eq \f(1,2)t2＋eq \f(5,2)t＝tk'，
∴k'＝eq \f(1,2)t＋eq \f(5,2)，∴y＝(eq \f(1,2)t＋eq \f(5,2))x，
∵点Q(﹣4，0)，∴M(﹣4，eq \f(1,2)t)，
∴N(﹣4，﹣2t﹣10)，∴QM＝﹣eq \f(1,2)t，QN＝2t＋10，
∴4QM＋QN＝﹣2t＋2t＋10＝10，
∴4QM＋QN的值不变；
(3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝﹣eq \f(1,2)x﹣eq \f(5,2)，设D(m，﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2))，
∵CD＝eq \r(5)，点C在点D的左边，
∴C(m﹣2，﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,2))，
设直线OD的解析式为y＝k'x，
∴﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2)＝k'm，
∴k'＝﹣﹣，∴y＝(﹣﹣)x，
∵CE∥OD，
∴直线CE的解析式为y＝(﹣﹣)x﹣＝﹣x﹣ (x＋1)，
当eq \f(1,2)x＋1＝0时，x＝﹣2，此时y＝1，∴直线CE经过定点F(﹣2，1)，
过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K，过点E作EG∥FK交AB于点G，
∴＝，
∵点F(﹣2，1)，
∴K(﹣2，﹣eq \f(3,2))，
∴FK＝eq \f(5,2)，∴当GE最大时，的值最小，
设E(n，eq \f(1,2)n2＋eq \f(5,2)n)，则G(n，﹣eq \f(1,2)n﹣eq \f(5,2))，∴GE＝﹣eq \f(1,2)(n＋3)2＋2，
∴当n＝﹣3时，GE有最大值2，
∴的最小值为1.25．
解：(1)二次函数表达式为：y=a(x﹣1)2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+8…①，
则点B(3，5)，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y=2x﹣1；
(2)存在，理由：
二次函数对称轴为：x=1，则点C(1，1)，过点D作y轴的平行线交AB于点H，
(3)设点Q(m，0)、点P(s，t)，t=﹣s2+2s+8，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q(m，0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m﹣4，﹣16)，即为点P，
即：m﹣4=s，﹣6=t，而t=﹣s2+2s+8，
解得：s=6或﹣4，
故点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：m+s=﹣2，t=2，而t=﹣s2+2s+8，
解得：s=1±eq \r(7)，故点P(1+eq \r(7)，2)或(1﹣eq \r(7)，2)；
综上，点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)或(1eq \r(7)，2)或(1﹣eq \r(7)，2)．
解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x＋2)(x﹣4)，
∴﹣8a=4，∴a=﹣eq \f(1,2)，
∴抛物线解析式为y=﹣eq \f(1,2)(x＋2)(x﹣4)=﹣eq \f(1,2)x2＋x＋4；
(2)如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由(1)知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴=eq \f(1,2)，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′(2h，h＋4)
∵点E′在抛物线上，
∴﹣eq \f(1,2)(2h)2＋2h＋4=h＋4，
∴h=0(舍)h=eq \f(1,2)
∴E′(1，4.5)，
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EF⊥CD，垂足为F，
由(1)知，OC=4，∵∠ACO=∠ECF，
∴tan∠ACO=tan∠ECF，∴=eq \f(1,2)，
设线段EF=h，则CF=2h，
∴点E(2h，4﹣h)
∵点E在抛物线上，
∴﹣eq \f(1,2)(2h)2＋2h＋4=4﹣h，∴h=0(舍)h=1.5
∴E(3，2.5)，
点E的坐标为(1，4.5)，(3，2.5)
(3)①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，
设点P′(m，﹣eq \f(1,2)m2＋m＋4)，在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=eq \r(2)m，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴直线BC的解析式为y=﹣x＋4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′(m，﹣m＋4)，
∴P′N′=﹣eq \f(1,2)m2＋m＋4﹣(﹣m＋4)=﹣eq \f(1,2)m2＋2m，
∴eq \r(2)m=﹣eq \f(1,2)m2＋2m，∴m=0(舍)或m=4﹣2eq \r(2)，
菱形CM′P′N′的边长为eq \r(2)(4﹣2eq \r(2))=4eq \r(2)﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P(n，﹣eq \f(1,2)n2＋n＋4)，
∴CQ=n，OQ=n＋4，∴n＋4=﹣0.5n2＋n＋4，∴n=0(舍)，
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4eq \r(2)﹣4．
解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．
在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C(2，﹣4)，
∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，
∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP＋PB＝4＋2＝6，
∴点A(﹣2，0)，点B(6，0)，
把点A(﹣2，0)，点B(6，0)，点C(2，﹣4)代入函数解析式得
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝eq \f(1,4)x2﹣x﹣3．
故答案为：y＝eq \f(1,4)x2﹣x﹣3．
(2)设过点D(2，0)的直线MN解析式为y＝k(x﹣2)＝kx﹣2k，
联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝eq \f(1,4)x2﹣x﹣3，
化简得＝0，
xN＋xM＝﹣＝4(k＋1)，xNxM＝＝8k﹣12.①，
联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝(＋2)2﹣(＋2)﹣3，
化简得y2＋(﹣﹣1)y﹣4＝0，yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2..②，
线段MN的中点就是圆的圆心，∴xO＝eq \f(1,2)(xN＋xM)＝2(K＋1)，
代入直线方程得yO＝2k2，
∴圆心坐标为(2k＋2，2k2)，
直径MN＝＝，
把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，
设圆上某一点(x，y)到圆心的距离等于半径，
∴＝，
化简整理得16k2＋12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x＋y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx＋x2﹣4x＋y2，
圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，
k2、k的系数，常量对应相等，
得﹣8＝﹣4x，x＝2，
16＝﹣4y，y＝﹣4，
由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．
故答案为：以线段MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．
解：(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；
∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，
∴4﹣x=2×2x，∴x=eq \f(4,5)；
当x=eq \f(4,5)(Q在AC上)时，PQ⊥AC；如图：①
当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=eq \f(1,2)x，AC＋AQ=2x；
∵AC=4，∴AQ=2x﹣4，
∴2x﹣4＋eq \f(1,2)x=4，
∴x=3.2，故x=3.2时PQ⊥AB；
综上所述，当PQ⊥AB时，x=eq \f(4,5)或3.2.
(2)y=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x，
如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=eq \r(3)x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=eq \f(1,2)BC=2，∴DP=2﹣x，
∴y=eq \f(1,2)PD•QN=eq \f(1,2)(2﹣x)•eq \r(3)x=﹣eq \f(\r(3),2)x2＋eq \r(3)x；
(3)当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，∴BP=NC，
∵BD=CD，∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
解：(1)由题意可知；A(0，2)、B(﹣1，0)、C(4，0)．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
则，解得：．
所以抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x+2．
(2)如图1所示：
∵四边形ABNM为菱形，∴OA=ON．∴点N的坐标为(0，﹣2)．
如图2所示：由勾股定理可知：AB=eq \r(5)．
∵四边形ABMN为菱形，∴NA∥BM，AN=AB，
∴点N的坐标为(﹣eq \r(5)，2)．如图3所示；
∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=AB．
∴点N的坐标为(eq \r(5)，2)．如图4所示：
∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=NB．
设点N的坐标为(x，2)．由两点间的距离公式可知：
(x+1)2+22=x2．解得：x=﹣2.5．
∴点N的坐标为(﹣2.5，2)．
∴点N的坐标为(0，﹣2)，(eq \r(5)，2)，(﹣eq \r(5)，2)，(﹣2.5，2)．
(3)如图5所示：使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的
坐标为Q1(eq \f(7,2)，eq \f(3,2))，Q2(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(3,2))，Q3(2，eq \f(7,2))，Q4(﹣2，eq \f(1,2))．
说明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．
∵x=﹣=，∴P(eq \f(3,2)，0)．∴OP=eq \f(3,2)．
由题意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．∴∠OPA+∠CPQ1=90°．
∵∠APO+∠OAP=90°，∴∠OAP=∠MPQ1．
在△AOP和△PMQ1中，
，∴△AOP≌△PMQ1．
∴Q1M=0P=eq \f(3,2)，PM=OA=2∴OM=OP+PM=eq \f(3,2)+2=eq \f(7,2)．
∴点Q1的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(7,2))．