2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习01（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习01（含答案），共19页。
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC的周长最小，请求出点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点M，使S△MAC=2S△BCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D(点D位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S△DCA＝S△ABC，直接写出点D的坐标．
定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点.
(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.
(2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，eq \r(3))是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.
(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标.
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5，0)，C(0，4)，过C作CD∥x轴交抛物线于D，连结BC、AD两个动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点P沿着线段AB向B点运动，点Q沿着折线B→C→D的路线向D点运动，设这个两个动点运动的时间为t(秒)(0＜t＜7)，△PQB的面积记为S．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
(4)是否存在这样的t值，使得△PQB是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
抛物线y＝x2﹣4x＋c与直线I：y＝kx交于点G(1，m)和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．
(1)求c和k的值(用含m的代数式表示)；
(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点(M在N的左侧)，交y轴于点C．求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．
已知对称轴为直线x＝eq \f(3,2)的抛物线经过A(﹣1,0)，C(0,﹣4)两点，抛物线与x轴的另一个交点为B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接OP，BC交于点D，连接BP，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)如图2，若点Q为抛物线上一点，且当tan∠BCQ＝eq \f(1,4)，求点Q的坐标．
如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点.
(1)当m=2时,a= ,当m=3时,a= ；
(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系，并证明你的结论；
(3)如图2,在图1的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a和n的关系式为 a= ；
(4)利用(2)(3)中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m＋3)．其中，m≠0．
(1)当m＝1时．
①该二次函数的图象的对称轴是直线 ．
②求该二次函数的表达式．
(2)当|eq \f(1,2)m|≤x≤|eq \f(3,2)m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．
(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．
\s 0 答案
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x﹣3)，
∵抛物线过点(0，﹣3)，
∴﹣3=a(0＋1)(0﹣3)，∴a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴M(1，﹣4)．
(2)连接BC，与对称轴交于P点，
∵点A，B关于对称轴对称，
所以直线BC与对称轴的交点就是所求的点，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=1时，y=﹣2，
∴P点坐标为(1，﹣2)，
(3)如图，∵D(1，﹣4)，P(1，﹣2)，∴PD=2，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，
∴S△BCD=S△BDP＋S△CDP=eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×1=3，∴S△MAC=2S△BCD=2×3=6，
∵A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∴直线AC解析式为y=﹣3x﹣3，AC=eq \r(10)
过点A作AM⊥AC，∴直线AM解析式为y=eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)，
设N(m，eq \f(1,3)m＋eq \f(1,3))，(m＞﹣1)∴AN==|m＋1|
∵S△MAC=eq \f(1,2)×AC×AN=eq \f(1,2)×eq \r(10)×AN=6，∴AN=，
∴|m＋1|=，∴m=，或m=﹣(舍)，∴N(，)，
过点M作MN∥AC，∴直线MN解析式为y=﹣3x＋9①，
∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3②，
联立①②得，或，
∴P(3，0)，或(﹣4，21)．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将A(4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)代入y＝ax2＋bx＋c，
∴，解得，
∴y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x﹣2；
(2)存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设P(t，﹣eq \f(1,2)t2＋eq \f(5,2)t﹣2)，则M(t，0)，1＜t＜4，∴PM＝﹣eq \f(1,2)t2＋eq \f(5,2)t﹣2，
∵A(4，0)，
∴AM＝4﹣t，
∴tan∠MAP＝，
∵C(0，﹣2)，
∴OC＝2，OA＝4，
∴tan∠OAC＝eq \f(1,2)，
①当∠PAM＝∠OAC时，＝，解得t＝2或t＝4(舍)，
∴P(2，1)；
②当∠PAM＝∠OCA时，＝2，解得t＝4(舍)或t＝5(舍)，
∴此时P不存在；
综上所述：P点坐标为(2，1)；
(3)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∴，∴，
∴直线AC的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣2，
过点B作直线AC的平行线y＝eq \f(1,2)x＋m，
∴eq \f(1,2)＋m＝0，∴m＝﹣eq \f(1,2)，∴y＝eq \f(1,2)x﹣eq \f(1,2)，
联立方程组，解得(舍)或，
∴D(3，1)．
解：(1)抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为(0，1)；
(2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A(0，0)，
如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为(1，eq \r(3))，
∴AG=1、PG=eq \r(3)，PA==2，
∵tan∠PAB==eq \r(3)，
∴∠PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB==4，∴点B坐标为(4，0)，
设y=ax(x﹣4)，
将点P(1，eq \r(3))代入得：a=﹣eq \f(\r(3),3)，
∴y=﹣eq \f(\r(3),3)x(x﹣4)=﹣eq \f(\r(3),3)x2+eq \f(4\r(3),3)x；
(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为eq \r(3)，
则有﹣eq \f(\r(3),3)x2+eq \f(4\r(3),3)x=eq \r(3)，解得：x1=3，x2=1(不符合题意，舍去)，
∴点Q的坐标为(3，eq \r(3))；
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣eq \r(3)，
则有﹣eq \f(\r(3),3)x2+eq \f(4\r(3),3)x=﹣eq \r(3)，解得：x1=2+eq \r(7)，x2=2﹣eq \r(7)，
∴点Q的坐标为(2+eq \r(7)，﹣eq \r(3))或(2﹣eq \r(7)，﹣eq \r(3))；
综上，满足条件的点Q有3个：(3，eq \r(3))或(2+eq \r(7)，﹣eq \r(3))或(2﹣eq \r(7)，﹣eq \r(3)).
解：(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5，0)，B(﹣3，0)，
∴设y=a(x+3)(x﹣5)，
∴4=a(0+3)(0﹣5)，解得：a=﹣eq \f(4,15)，
∴抛物线解析式为y=﹣eq \f(4,15)(x+3)(x﹣5)=﹣eq \f(4,15)x2+eq \f(8,15)x+4；
(2)①∵C(0，4)，抛物线对称轴为：x=1，∴D(2，4)，
(i)当0＜t≤5时，QB=t，PB=8﹣t，
如图所示：过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=0.8t，
∴S=eq \f(1,2)PB×QF=eq \f(1,2)(8﹣t)×eq \f(4,5)t=﹣eq \f(2,5)t2+eq \f(17,5)t；
(ii)当5≤t＜7时，Q点的纵坐标为4，PB=8﹣t，S=eq \f(1,2)(8﹣t)×4=﹣2t+16；
(3)(i)当0＜t≤5时，S=﹣eq \f(2,5)t2+eq \f(17,5)t=﹣eq \f(2,5)(t﹣4)2+eq \f(17,5)，
∵﹣0.4＜0，∴当t=4时，S有最大值，为3.2，
(ii)当5≤t＜7时，S=﹣2t+16，
∵﹣2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=5时，S最大=6，
综合(i)(ii)，当t=4时，S有最大值，最大值为3.2；
(4)存在，t=3或t=5时，△PQB是直角三角形；
当点Q在线段BC上(不与C重合)时，要使得△PQB是直角三角形，必须使得∠PQB=90°，这时，∠CBO=∠PBQ，∠BQP=∠OC，∴△BOC∽△BQP，
∴=，即=，解得：t=3，当点Q与C重合时，符合要求，
∵BO=3，CO=4，
∴BC=5，
∴Q点从A到需要5秒，即此时t=5秒．

解：(1)∵抛物线y＝x2﹣4x＋c与直线I：y＝kx交于点G(1，m)，
∴m＝12﹣4×1＋c，m＝k×1，
∴c＝m＋3，k＝m；
(2)∵直线x＝m﹣1交直线l于点A，
∴y＝m(m﹣1)＝m2﹣m，
∴A(m﹣1，m2﹣m)，
∵直线x＝m﹣1交抛物线于点B，
∴y＝x2﹣4x＋m＋3＝(m﹣1)2﹣4(m﹣1)＋m＋3＝m2﹣5m＋8，
∴B(m﹣1，m2﹣5m＋8)，
∴AB＝﹣4m＋8，
∵过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点(M在N的左侧)，交y轴于点C，
∴C(0，m2﹣m)，点M的纵坐标与点A的纵坐标相等，
∴m2﹣m＝x2﹣4x＋m＋3，
解得：x1＝m＋1，x2＝﹣m＋3，
∴M(m＋1，m2﹣m)，N(﹣m＋3，m2﹣m)，
∴AM＝m＋1﹣(m﹣1)＝2，
∴＝＝﹣2m＋4，
∵﹣2＜0，且﹣1≤m＜0，
∴的值随着m的增大而减小，
当m＝﹣1时，＝﹣2×(﹣1)＋4＝6，
当m＝0时，＝﹣2×0＋4＝4，
∴4≤≤6；
(3)∠MEN＝2∠ABC．理由如下：
∵BD∥x轴，
∴点D的纵坐标与点B的纵坐标相等，
∴m2﹣5m＋8＝x2﹣4x＋m＋3，解得：x1＝m﹣1，x2＝﹣m＋5，
∴D(﹣m＋5，m2﹣5m＋8)，
∵点E是线段BD的中点，
∴E(2，m2﹣5m＋8)，
如图，设直线x＝2交直线MN于点F，则F(2，m2﹣m)，
∴MF＝NF＝﹣m＋1，EF＝m2﹣5m＋8﹣(m2﹣m)＝﹣4m＋8，
∵AC＝0﹣(m﹣1)＝﹣m＋1，AB＝﹣4m＋8，
∴tan∠ABC＝＝，
∵tan∠MEF＝＝，tan∠NEF＝＝，
∴∠MEF＝∠NEF＝∠ABC，
∴∠MEN＝2∠ABC．
解：(1)设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值是1；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)如图1，
∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B(2m，0)，
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=eq \r(3)m，OM=m，∴A(m，eq \r(3) m)，
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，∴
当m=2时，a=﹣eq \f(\r(3),2)，当m=3时，a=﹣eq \f(\r(3),3).
(2)a=﹣理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，∴B(2m，0)，
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=eq \r(3)m，OM=m，∴A(m，eq \r(3)m)，
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，∴∴a=﹣，
(3)如图2，∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A(e，d+n)，∴P(e﹣n，d)，Q(e+n，d)，
∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，
∴，∴，
①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，
④﹣⑤化简得，an=﹣1，∴a=﹣故答案为a=﹣，
(4)∵OB的长度为2m，AM=eq \r(3)m，∴S△AOB=eq \f(1,2)OB×AM=2m×eq \r(3)m=eq \r(3)m2，由(3)有，AN=n
∵PQ的长度为2n，∴S△APQ=eq \f(1,2)PQ×AN=eq \f(1,2)×2m×n=n2，
由(2)(3)有，a=﹣，a=﹣，∴﹣=﹣，∴m=eq \r(3)n，
∴===，
∴△AOB与△APQ的面积比为3eq \r(3)：1．
解：(1)①∵A(0，3)、B(2m，3)，
∴A、B两点关于抛物线对称轴对称，
∵m＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1；
②设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵m＝1，
∴B(2，3)、C(1，4)，
将点A、B、C代入y＝ax2＋bx＋c，
∴，解得，
∴y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵A(0，3)、B(2m，3)两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
设抛物线的解析式为y＝a(x﹣m)2＋m＋3，
将点A(0，3)代入，
∴am2＋m＋3＝3，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣ (x﹣m)2＋m＋3，
当m＞0时，eq \f(1,2)m≤x≤eq \f(3,2)m，
∴当x＝m时，函数有最大值m＋3，
∴m＋3＝4，
∴m＝1；
当m＜0时，﹣eq \f(1,2)m≤x≤﹣eq \f(3,2)mm，
∴当x＝﹣eq \f(3,2)mm时，函数有最大值，
∴4＝﹣ (﹣m﹣m)2＋m＋3，解得m＝﹣；
综上所述：m的值为1或﹣；
(3)∵A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m＋3)，
∴AB＝|2m|，AC＝eq \r(2)|m|，BC＝eq \r(2)|m|，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，eq \f(1,2)AB为半径，
如图1，当m＞0时，∵⊙M与x轴相切，
∴MN＝AM＝|m|＝3，
∴m＝3，
∴C(3，6)；
如图2，当m＜0时，∵⊙M与x轴相切，
∴CM＝AM＝3＝|m|，
∴m＝﹣3，
∴C(﹣3，0)；
综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为(3，6)或(﹣3，0)．